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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Mi 14.09.2005 | | Autor: | MrS |
Hi,
gegeben ist die Ebene E die den x1-Achsenabschnitt 4, den x2-Achsenabschnitt 6 und den x3-Achsenabschnitt 12 hat. Bestimme k so, dass die Ebene F:
[mm] \vec{x} [/mm] = (3|1|1) + s (1|0|-3) + t (2|-1|k)
parallel zur Ebene F ist!
Ich hab echt keine Ahnung wie ich anfangen soll ... ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
greetz mrs
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 17:04 Mi 14.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> gegeben ist die Ebene E die den x1-Achsenabschnitt 4, den
> x2-Achsenabschnitt 6 und den x3-Achsenabschnitt 12 hat.
> Bestimme k so, dass die Ebene F:
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = (3|1|1) + s (1|0|-3) + t (2|-1|k)
>
> parallel zur Ebene F ist!
Also entweder verstehe ich diese Aufgabe jetzt falsch, oder sie ist ganz einfach. Bedeuten die Achsenabschnitte nicht quasi, dass dieser Punkt in der Ebene liegt? Also der Punkt (4/6/12)? Und wenn dieser Punkt in der Ebene liegt, dann hast du schon mal einen Stützvektor für deine Ebene.
Was muss aber nun gelten, wenn zwei Ebenen parallel sind? Weißt du das? Was muss denn gelten, wenn zwei Geraden parallel sind? Sie haben den gleichen Richtungsvektor (können sie zumindest haben - also kannst du so eine parallele Gerade konstruieren). Also, welche Spannvektoren nehmen wir für unsere Ebene? Einfach die Spannvektoren der Ebene F - dann sind beide Ebenen parallel. Und schon ist die Aufgabe fertig gelöst. Oder habe ich da jetzt einen Denkfehler drin?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hi, MrS,
durch die Achsenabschnitte sind ja 3 Punkte der Ebene E gegeben:
A(4/0/0), B(0/6/0) und C(0/0/12).
(Da hat Bastiane nicht aufgepasst!)
Andererseits kannst Du nun die Achsenabschnittsform von E hinschreiben:
E: [mm] \bruch{x}{4} [/mm] + [mm] \bruch{y}{6} [/mm] + [mm] \bruch{z}{12} [/mm] = 1 (!!!)
Um einen Normalenvektor mit ganzzahligen Koordinaten zu kriegen, multipliziere mit 12:
E: 3x + 2y + z = 12.
Normalenvektor von E: [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
Wenn nun E und F parallel sein sollen, muss dieser Vektor auch auf der Ebene F senkrecht stehen und damit auch auf den beiden Richtungsvektoren von F.
Dies zu prüfen geschieht am schnellsten mit Hilfe des Skalarproduktes, denn dieses ist 0, wenn 2 Vektoren "orthogonal" sind.
Für den ersten Richtungsvektor ist das schon mal richtig:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -3} \circ \vektor{3 \\ 2 \\ 1} [/mm] = 3 + 0 - 3 = 0. (OK!)
Für den zweiten Richtungsvektor gilt:
[mm] \vektor{2 \\ -1 \\ k} \circ \vektor{3 \\ 2 \\ 1} [/mm] = 6 - 2 + k = 0,
woraus man k = -4 berechnet.
(Keine Garantie für Rechenfehler!)
Nachtrag: Sollte noch gefragt sein, ob E und F für k = -4 "echt parallel" sind, wäre nun noch der Aufpunkt von F, also P(3/1/1), in die Normalengleichung von E einzusetzen; da müsste dann eine falsche Aussage rauskommen!
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