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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Do 07.10.2004 | | Autor: | Reiskorn |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:(www.matheboard.de)
HI Leute!
Also wir haben folgende Funktionen:
e^(ax+b) und [mm] e^x
[/mm]
Diese sollen sich in x=1 senkrecht schneiden.
Ich hab schon den Ansatz
1. e=e^(a+b)
Wie komm ich nun weiter?
(is ziemlich dringend)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Do 07.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Reiskorn,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:(www.matheboard.de)
Danke für den Hinweis!
Da ich mit den Antworten dort nichts anfangen kann und deine richtigen Ansätze dort auch verkannt wurden, rechne ich es hier etwas ausführlicher vor.
> HI Leute!
> Also wir haben folgende Funktionen:
> e^(ax+b) und [mm]e^x
[/mm]
>
> Diese sollen sich in x=1 senkrecht schneiden.
> Ich hab schon den Ansatz
> 1. e=e^(a+b)
Wie kommst du darauf? (Es ist aber richtig, s.u.)
Ich nenne die beiden Funktionen [mm] $f(x)=e^{ax+b}$ [/mm] und [mm] $g(x)=e^x$.
[/mm]
Wenn sich zwei Funktionen senkrecht schneiden, bedeutet diese, dass die Tangenten im Schnittpunkt senkrecht aufeinander stehen. Dieses wiederum bedeutet, dass für ihre Steigungen [mm] $m_g$ [/mm] und [mm] $m_f$ [/mm] gilt: [mm] $m_g*m_f=-1$.
[/mm]
Nun gilt für die Steigungen an der Stelle [mm] $x_0=1$: [/mm]
[mm] $m_f=f'(x_0)=a*e^{ax_0+b}=a*e^{a+b}$ [/mm] (Kettenregel beachten)
[mm] $m_g=g'(x_0)=e^{x_0}=e^1$
[/mm]
Es gilt nun:
[mm] $m_f*m_g=-1$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $a*e^{a+b}*e=-1$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $a*e^{a+b+1}=-1$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $e^{a+b+1}=-\bruch{1}{a}$ [/mm] | logarithmieren
[mm] $\gdw$ $a+b+1=\ln\left( -\bruch{1}{a} \right)$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $a+b=-\ln(-a)-1$ [/mm] (denn [mm] $\ln(1/a)=-\ln(a)$)
[/mm]
Für diese Gelichung gibt es nun mehrere Lösungen, und zwar für jedes negative a eine (a muß negativ sein, sonst wäre [mm] $\ln(-a)$ [/mm] nicht definiert).
Die Steigungen sind aber nicht die einzige Bedingung, die beiden Funktionen f und g müssen sich ja auch noch schneiden, es muss also auch gelten:
[mm] $f(x_0)=g(x_0)$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $f(1)=g(1)$
[mm] $\gdw$ $e^{a+b}=e$ [/mm] (ah, jetzt verstehe ich auch deinen Ansatz) | logarithmieren
[mm] $\gdw$ [/mm] $a+b=1$
[mm] $\gdw$ [/mm] $b=1-a$ (**)
Dieses b setze ich nun in die erste Gleichung (*) ein:
[mm] $a+1-a=-\ln(-a)-1$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $1=-\ln(-a)-1$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $-2=\ln(-a)$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $-a=e^{-2}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $a=-e^{-2}$
[/mm]
Also schneiden sich für [mm] a=-e^{-2} [/mm] und [mm] b=1+e^{-2} [/mm] die beiden Funktionen f und g senkrecht an der Stelle .
> Wie komm ich nun weiter?
> (is ziemlich dringend)
Du hast uns ja 24 Stunden gelassen, das ist ja nicht so dringend 
So, jetzt muss ich aber weg, bitte stelle aber trotzdem Fragen, falls du etwas nicht verstanden haben solltest.
Viele Grüße,
Marc
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