2 kleiner gleich p/q + q/p < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Di 13.07.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo,
ich bräuchte für eine Aufgabe die Wahrheit folgender Ungleichung:
[mm]2 \le \bruch{p}{q} + \bruch{q}{p},\ p,q \in \IR_{+},\ p \not= q[/mm]
Hoffentlich kann mir hier jemand helfen (wenn die Ungleichung dann mal stimmt).
Grüße
Frosty
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Di 13.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Frosty
> Hallo,
>
> ich bräuchte für eine Aufgabe die Wahrheit folgender
> Ungleichung:
> [mm]2 \le \bruch{p}{q} + \bruch{q}{p},\ p,q \in \IR_{+},\ p \not= q[/mm]
>
Da würde ich vorerst mal gleichnamig machen:
$2 [mm] \le \bruch{p^{2}}{pq} [/mm] + [mm] \bruch{q^{2}}{pq}$
[/mm]
Unter der Voraussetzung, dass $p$ und $q > 0$ sind, kann die Ungleichung mit $pq$ multipliziert werden:
$2pq [mm] \le p^{2} [/mm] + [mm] q^{2}$
[/mm]
Dann noch alles auf eine Seite gebracht:
$0 [mm] \le p^{2} [/mm] - 2pq + [mm] q^{2}$
[/mm]
.. und mit der binomischen Formel:
$0 [mm] \le [/mm] (p - [mm] q)^{2}$
[/mm]
Hier steht rechterhand eine Quadratzahl, womit die Ungleichung als "wahr" entlarvt ist.
Mit $p [mm] \not [/mm] = q$ gilt sogar die noch strengere Ungleichung:
$0 < (p - [mm] q)^{2}$
[/mm]
Also sogar $2 < [mm] \bruch{p}{q} [/mm] + [mm] \bruch{q}{p};\, [/mm] p,q [mm] \in \IR_{+},\, [/mm] p [mm] \not= [/mm] q$
Womit dein Problem wohl gelöst ist. 
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