2/sqrt(1-x^2) auf 2 Arten < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Fr 01.12.2006 | | Autor: | ManuP |
| Aufgabe | Bilde die unbestimmten Integrale.
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[mm] f(x)=\bruch{2}{\wurzel{1-x^2}}
[/mm]
Substitution: x=cos(u) |
Hallo.
Ich habe obige Gleichung und zwei Ansätze.
1. Substitution
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{2}{\wurzel{1-x^2}} dx}
[/mm]
wird mit
x=cos(u)
dx=-sin(u)du
zu
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{2}{\wurzel{sin(u)^2}} (-sin(u)) du}
[/mm]
durch kürzen
[mm] \integral_{}^{}{ -2 du}
[/mm]
2. ich weiß, dass [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} dx}=arcsin(x) [/mm] ist.
damit ergibt sich für das oben
F(x) = 2 arcsin(x).
Wo liegt der Fehler bei der Berechnung? Ich kann ihne par tout nicht finden.
lg Manu
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, ManuP,
> [mm]f(x)=\bruch{2}{\wurzel{1-x^2}}[/mm]
> Substitution: x=cos(u)
> Ich habe obige Gleichung und zwei Ansätze.
>
> 1. Substitution
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{2}{\wurzel{1-x^2}} dx}[/mm]
>
> wird mit
>
> x=cos(u)
> dx=-sin(u)du
>
> zu
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{2}{\wurzel{sin(u)^2}} (-sin(u)) du}[/mm]
>
> durch kürzen
>
> [mm]\integral_{}^{}{ -2 du}[/mm]
>
>
> 2. ich weiß, dass [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} dx}=arcsin(x)[/mm]
> ist.
> damit ergibt sich für das oben
> F(x) = 2 arcsin(x).
>
> Wo liegt der Fehler bei der Berechnung? Ich kann ihn par
> tout nicht finden.
Weil auch keiner drin ist!
Bei Deiner ersten Rechnung erhältst Du ja letztlich:
-2*arccos(x) [mm] \red{+\quad c} [/mm]
Die andere Lösung ist: F(x) = 2*arcsin(x) [mm] \red{+\quad d}
[/mm]
Die Integrationskonstanten sind hier wichtig, denn:
arcsin(x) = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] - arccos(x)
Demnach unterscheiden sich die Funktionen tatsächlich nur durch eine Konstante! (Hier merkt man, dass es eben KEIN Lapsus ist, die Konstante beim unbestimmten Integral wegzulassen!)
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 21:49 Fr 01.12.2006 | | Autor: | ManuP |
Danke Zwerglein für deine Antwort.
Wenigstens wird es mir zukünftig nie wieder passieren, dass ich die Konstanten vergesse! Immerhin habe ich über eine Stunde über diesem Problem gebrütet.
lg ManuP
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Zitat:
Hier merkt man, dass es eben KEIN Lapsus ist, die Konstante beim unbestimmten Integral wegzulassen!
Und ich ziehe gerade den umgekehrten Schluß. Da es auf die Integrationskonstante beim unbestimmten Integral nicht ankommt, kann man sich für irgendeine konkrete entscheiden. Ein formaler Parameter (der ja letztlich auch nur eine konkrete, wenn auch nicht näher benannte Konstante bezeichnet) ist nicht erforderlich.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Fr 01.12.2006 | | Autor: | ManuP |
Es kommt doch auf die Konstante an.
Z.b. wenn man eine Stammfunktion ermitteln soll, die durch einen bestimmten Punkt P geht.
oder eben siehe oben!
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In diesem Fall kommt es natürlich auf die Konstante an, aber das ist ja dann auch nicht das "unbestimmte" Integral, sondern eine konkrete Stammfunktion.
Der Witz des unbestimmten Integrals ist es ja gerade, sich nicht auf eine bestimmte Konstante festzulegen. Daher ist es dann auch kein Widerspruch, wenn sich zwei Stammfunktionen, die man durch "unbestimmte" Integration erhält, um eine additive Konstante unterscheiden.
Ganz banal:
[mm]\int~3x^2~\mathrm{d}x = x^3 + 1234{,}5678[/mm]
[mm]\int~3x^2~\mathrm{d}x = x^3 + 2006[/mm]
Das sind richtige Aussagen. Nur darf man jetzt nicht den Schluß ziehen, daß die beiden rechten Seiten übereinstimmen. Man sollte sich einfach merken, daß bei unbestimmter Integration das Gleichheitszeichen nur "Gleichheit modulo einer additiven Konstante" bedeutet. Das widerspricht dem sonstigen Gebrauch des Gleichheitszeichens und ist historisch bedingt. Versuche, statt [mm]=[/mm] ein anderes Zeichen einzuführen, haben sich gegen das Althergebrachte nicht durchgesetzt. So muß man mit dieser kleinen Inkonsistenz wohl leben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Leopold,
> In diesem Fall kommt es natürlich auf die Konstante an,
> aber das ist ja dann auch nicht das "unbestimmte" Integral,
> sondern eine konkrete Stammfunktion.
>
> Der Witz des unbestimmten Integrals ist es ja gerade, sich
> nicht auf eine bestimmte Konstante festzulegen. Daher ist
> es dann auch kein Widerspruch, wenn sich zwei
> Stammfunktionen, die man durch "unbestimmte" Integration
> erhält, um eine additive Konstante unterscheiden.
>
> Ganz banal:
>
> [mm]\int~3x^2~\mathrm{d}x = x^3 + 1234{,}5678[/mm]
>
> [mm]\int~3x^2~\mathrm{d}x = x^3 + 2006[/mm]
>
> Das sind richtige Aussagen. Nur darf man jetzt nicht den
> Schluß ziehen, daß die beiden rechten Seiten
> übereinstimmen. Man sollte sich einfach merken, daß bei
> unbestimmter Integration das Gleichheitszeichen nur
> "Gleichheit modulo einer additiven Konstante" bedeutet. Das
> widerspricht dem sonstigen Gebrauch des Gleichheitszeichens
> und ist historisch bedingt. Versuche, statt [mm]=[/mm] ein anderes
> Zeichen einzuführen, haben sich gegen das Althergebrachte
> nicht durchgesetzt. So muß man mit dieser kleinen
> Inkonsistenz wohl leben.
Wie man Dein obiges Beispiel interpretiert - das hängt von der Definition des Begriffes "unbestimmtes Integral" ab.
Nach der an den Schulen praktisch ausschließlich gewählten Definition gilt:
"Das unbestimmte Integral ist die [mm] \red{Menge} [/mm] aller Stammfunktionen (...)."
Siehe dazu auch hier:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Stammfunktion
Klar ist jedenfalls, dass das hierbei verwendete Gleichheitszeichen NICHT TRANSITIV verwendet werden darf!
Wie Du ja ganz deutlich schreibst, ist der folgende Schluss [mm] \red{falsch}:
[/mm]
[mm] \integral{f(x) dx} [/mm] = F(x) + c
[mm] \integral{f(x) dx} [/mm] = F(x) + d
=> c = d (!!)
mfG!
Zwerglein
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