2dim Kern einer lin. Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass es eine lineare Abbildung [mm] \phi: \IR^3 \to \IR^3 [/mm] mit [mm] \phi(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 5 \\ 7}, \phi(\vektor{2 \\ 1 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ -2} [/mm] gibt. Gibt es solche lineare Abbildungen, deren Kern 2-dimensional ist? |
Ich habe zuerst gezeigt, das solch eine lineare Abbildung besteht, in dem ich zuerst bewiesen habe, das [mm] \phi(\vektor{x \\ y \\ z}) [/mm] = [mm] \pmat{ ax & bx & cz \\ dx & ey & fz \\ gx & hy & iz }) [/mm] die allgemeine Form einer linearen Abbildung mit 3 Eingängen ist.
Für die gegebenen Werte habe ich dann Werte für die Koeffizienten a,b,d,e,g,h ausrechen können. Über c,f,i kann ich hier ja keine Angaben machen. Hier setzt dann mein Argument ein, das es unendlich viele solcher linearen Abbildungen gibt. Als Beispiel habe ich c = f = i = 0 gewählt. Sollte soweit passen, oder?
Nun gibt es an den zweiten Teil der Aufgabe. Wenn ich das richtig verstehe, muss ich eine Basis für den Kern solch einer Abbildung finden und schauen ob diese aus zwei Elementen besteht.
Nun bilde ich ein LGS, indem ich alle drei Gleichungen mit den mir (teilweise) bekannten Koeffizienten gleich Null setze.
I := x + y + cz = 0
II := 5x - 10y + fz = 0
III := 7x - 16y + iz = 0
Nach einigen Operationen komme ich zu diesem Schritt:
z * (20c - 46f + 30i) = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] z = 0 [mm] \vee [/mm] 20c - 46f + 30i= 0
Ich weiß also nun, das alle Vektoren aus [mm] \IR^3 [/mm] bei denen z=0 ist, im Kern liegen. Ist das richtig gefolgert?
Nun würde ich versuchen (20c - 46f + 30i) = 0 so umzuschrieben, das ich einen zweiten Basisvektor erhalte, nur scheitere ich hier, da ich hier 3 Variablen und eine Gleichung habe.
Hat hier jemand einen Tipp wie es weiter geht? Oder gibt es sogar keine lineare Abbildung, die zwei Elemente in der Basis des Kerns hat?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Mi 20.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Es ist viel einfacher: Eine lineare Abbildung ist eindeutig festgelegt durch die Bilder auf den Basiselementen und umgekehrt ist durch die Wahl eines Vektors zu jedem Basis-Element eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung festgelegt.
Damit kannst du wie folgt argumentieren:
1) [mm] $b_1:=(1,0,0)$ [/mm] und [mm] $b_2:=(2,1,0)$ [/mm] sind linear unabhängig, d.h. wir können sie zu einer Basis von [mm] $\IR^3$ [/mm] ergänzen, z.B. durch [mm] $b_3:=(0,0,1)$.
[/mm]
2) Nach obigem sind die linearen Abbildungen [mm] $\phi$ [/mm] mit den gewünschten Eigenschaften genau diejenigen, die durch [mm] $\phi(b_1)=(1,5,7)$, $\phi(b_2)=(3,0,-2)$ [/mm] und beliebigem [mm] $\phi(b_3)\in\IR^3$ [/mm] festgelegt sind. D.h. die Wahl eines solchen [mm] $\phi$ [/mm] entspricht genau der Wahl eines [mm] $v\in\IR^3$ [/mm] - nämlich der Wahl von [mm] $\phi(b_3)$. [/mm] Damit hast du schonmal gezeigt, dass solche [mm] $\phi$ [/mm] existieren.
3) Wäre der Kern 2-dimensional, so wäre das Bild 1-dimensional (warum?), aber das Bild ist die lineare Hülle von [mm] $\{(1,5,7),(3,0,-2),v\}$, [/mm] und die ist mindestens 2-dimensional! (warum?)
Gruß, Robert
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Nabend pelzig, danke dir für deine prompte Hilfe.
> 2) Nach obigem sind die linearen Abbildungen $ [mm] \phi [/mm] $ mit den gewünschten Eigenschaften genau diejenigen, die durch $ [mm] \phi(b_1)=(1,5,7) [/mm] $, $ [mm] \phi(b_2)=(3,0,-2) [/mm] $ und beliebigem $ [mm] \phi(b_3)\in\IR^3 [/mm] $ festgelegt sind. D.h. die Wahl eines solchen $ [mm] \phi [/mm] $ entspricht genau der Wahl eines $ [mm] v\in\IR^3 [/mm] $ - nämlich der Wahl von $ [mm] \phi(b_3) [/mm] $. Damit hast du schonmal gezeigt, dass solche $ [mm] \phi [/mm] $ existieren.
Ich versuche mir das gerade mal bildlich vorzustellen. Die beiden [mm] b_{1} [/mm] und [mm] b_{2} [/mm] sind ja linear unabhänglich und würden dann in in [mm] \IR^3 [/mm] ja schonmal eine Ebene aufspannen. Was genau hat dann [mm] b_{3} [/mm] damit zu tun?
> 3) Wäre der Kern 2-dimensional, so wäre das Bild 1-dimensional (warum?)
Wir betrachten einen 3-dimensionalen Raum. Mit der Dimensionformel für Vektorräume folgt dann, das [mm] dim_{K}(Im(\phi)) [/mm] + [mm] dim_{K}(Kern(\phi)) [/mm] = 3
> , aber das Bild ist die lineare Hülle von $ [mm] \{(1,5,7),(3,0,-2),v\} [/mm] $, und die ist mindestens 2-dimensional! (warum?)
Vermutlich weil schon festgestellt haben, das [mm] b_{1} [/mm] und [mm] b_{2} [/mm] linear unabhängig sind (und sie dann eine Ebene im [mm] \IR^3 [/mm] aufspannen)?
Wenn ja, wie bau ich das denn in meinen Ansatz ein? Den würde ich ungern "wegschmeißen" ;)
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> > 2) Nach obigem sind die linearen Abbildungen [mm]\phi[/mm] mit den
> gewünschten Eigenschaften genau diejenigen, die durch
> [mm]\phi(b_1)=(1,5,7) [/mm], [mm]\phi(b_2)=(3,0,-2)[/mm] und beliebigem
> [mm]\phi(b_3)\in\IR^3[/mm] festgelegt sind. D.h. die Wahl eines
> solchen [mm]\phi[/mm] entspricht genau der Wahl eines [mm]v\in\IR^3[/mm] -
> nämlich der Wahl von [mm]\phi(b_3) [/mm]. Damit hast du schonmal
> gezeigt, dass solche [mm]\phi[/mm] existieren.
>
> Ich versuche mir das gerade mal bildlich vorzustellen. Die
> beiden [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] sind ja linear unabhänglich und
> würden dann in in [mm]\IR^3[/mm] ja schonmal eine Ebene aufspannen.
> Was genau hat dann [mm]b_{3}[/mm] damit zu tun?
Hallo,
lineare Abbildungen sind durch ihre Werte auf einer Basis des Startraumes bereits eindeutig bestimmt.
Um [mm] (b_1, b_2) [/mm] zu einer Basis zu ergänzen, brauchst Du einen dritten, von den beiden linear unabhängigen Vektor.
Bildlich: _3 muß ein Vektor sein, der nicht in der [mm] b_1b_2-Ebene [/mm] liegt.
Mit der Zuweisung eines Funktionswertes [mm] fürb_3 [/mm] liegt Deine lineare Abbildung fest.
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> > 3) Wäre der Kern 2-dimensional, so wäre das Bild
> 1-dimensional (warum?)
> Wir betrachten einen 3-dimensionalen Raum. Mit der
> Dimensionformel für Vektorräume folgt dann, das
> [mm]dim_{K}(Im(\phi))[/mm] + [mm]dim_{K}(Kern(\phi))[/mm] = 3
Ja.
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> > , aber das Bild ist die lineare Hülle von
> [mm]\{(1,5,7),(3,0,-2),v\} [/mm], und die ist mindestens
> 2-dimensional! (warum?)
> Vermutlich weil schon festgestellt haben, das [mm]b_{1}[/mm] und
> [mm]b_{2}[/mm] linear unabhängig sind (und sie dann eine Ebene im
> [mm]\IR^3[/mm] aufspannen)?
Nein. Sondern weil [mm] \phi(b_1), \phi(b_2) [/mm] linear unabhängig sind. Damit hat das Bild mindestens die Dimension 2.
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> Wenn ja, wie bau ich das denn in meinen Ansatz ein? Den
> würde ich ungern "wegschmeißen" ;)
Du hattest ja eine Matrix A gesucht mit [mm] \phi( \vec{x})=A\vec{x}. [/mm] (ich hab' Dein Gleichungssystem als Multiplikation von [mm] \vec{x} [/mm] mit einer Matrix geschrieben.)
Von dieser hattest Du bereits die ersten beiden Spalten bestimmt.
Der Kern von [mm] \phi [/mm] ist der Kern dieser Matrix. Da ihr Rang mindestens =2 ist, kann der Kern höchstens eindimensional sein.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Soinapret |
Ich danke euch
> Nein. Sondern weil $ [mm] \phi(b_1), \phi(b_2) [/mm] $ linear unabhängig sind. Damit hat das Bild mindestens die Dimension 2.
Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr. So trivial die Aufgabe =)
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