2^n/n! & rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Mo 11.02.2008 | | Autor: | fvs |
| Aufgabe | Entscheiden Sie bei en nachsstehendenFolgen auf Konvergenz oder Divergenz, geben eine Begründung und bestimmen gegebenfalls den Limes:
(i) [mm] c_n [/mm] = [mm] \frac{2^n}{n!}
[/mm]
(ii) [mm] b_1 [/mm] = 4, [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{b_n}{2}+\frac{8}{b_n} [/mm] für n > 1 |
Hallo.
zu (i):
Die Folge konvergiert gegen den Grenzwert 0. Es handelt sich also um eine Nullfolge. Zeige nun, dass n! > [mm] 2^n [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 4 per vollständiger Induktion.
(IA) Sei n = 4. Dann gilt 4! = 4*3*2*1 = 24 > 16 = 2*2*2*2 = [mm] 2^4.
[/mm]
(IV) Die Behauptung gelte für ein beliebiges jedoch festgewähltes [mm] n\in\IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 4.
(IS) Es gilt nun (n+1)! = n! * (n+1) > [mm] 2^n [/mm] * 2 = [mm] 2^{n+1}. [/mm] Da n+1>2, da n>1 nach Voraussetzung gilt.
Somit gilt die Behauptung.
Reicht das schon, dass es sich dann bei der Folge um eine Nullfolge handelt oder muss man jetzt noch irgendetwas zeigen?
zu (ii)
Hier stehe ich ja nun völlig auf dem Schlauch. Da ich gar nicht daraus schlau werde, was diese Aufgabe eigentlich von mir möchte.
Es gilt ja [mm] b_1 [/mm] = 4, wie bestimme ich jetzt aber [mm] b_2, [/mm] was ich ja für [mm] b_3 [/mm] benötige?
Kann mir das kurz einer erklären? Danke.
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Hallo fvs!
Meines Erachtens reicht das nicht zwangsläufig aus, um die Nullfolge nachzuweisen. Denn aus [mm] $\text{Zähler}<\text{Nenner}$ [/mm] könnte auch der Grenzwert [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] entstehen.
Alternativvorschlag:
Zerlege den Bruch wie folgt und wende die  Grenzwertsätze an:
[mm] $$a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2^n}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\overbrace{2*2*2*...*2}^{= \ n \ \text{Faktoren}}}{\underbrace{1*2*3*...*n}_{= \ n \ \text{Faktoren}}} [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{ \bruch{2}{1}*\bruch{2}{2}*\bruch{2}{3}*...*\bruch{2}{n} }_{= \ n \ \text{Faktoren}}$$
[/mm]
Und nun den letzten Bruch speziell ins Auge fassen ...
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo fvs!
Setze doch einfach mal den Wert ein für [mm] $b_2$ [/mm] :
[mm] $$b_2 [/mm] \ = \ [mm] b_{\red{1}+1} [/mm] \ = \ [mm] \frac{b_{\red{1}}}{2}+\frac{8}{b_{\red{1}}} [/mm] \ = \ [mm] \frac{\red{4}}{2}+\frac{8}{\red{4}} [/mm] \ = \ 2+2 \ = \ 4$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Mo 11.02.2008 | | Autor: | fvs |
Hallo.
Danke für deine Antworten.
zu (ii): Du hast recht, dass ist auf jeden Fall so sinnvoller, wie du das gemacht hast und ist ja auch einleuchten...
zu (iii): Das habe ich auch schon versucht. Dann habe ich eine konstante Folge mit dem Wert 4. Was mich nur stutzig macht, ist das n>1 am Ende der Zeile. Somit muss mindestens n = 2 gelten und damit kann ich dann nur [mm] b_3 [/mm] berechnen...
Deswegen stehe ich da ein wenig auf dem Schlauch...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Mo 11.02.2008 | | Autor: | clwoe |
Ich bin mir absolut sicher, das hier ein Schreibfehler vorliegt und das eigentlich heißen soll: [mm] n\ge [/mm] 1
Sonst wäre es in meinen Augen nicht machbar.
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Mo 11.02.2008 | | Autor: | fvs |
Okay.
Dann muss ich morgen mein Ü-Leiter nochmal fragen, es handelt sich dabei jedoch eigentlich um eine Klausur an unserer Uni, aber keiner weiß wo der Fehlerteufel zuschläg ;)
Reicht das denn nun zu sagen. Sei [mm] b_1 [/mm] = 4, dann gilt [mm] b_2 [/mm] = 4 und dann weiter [mm] b_3 [/mm] = 4, usw. Somit handelt es sich um die konstante Folge 4, die gegen den Grenzwert 4 konvergiert, oder wie zeigt man das ganze bei einer konstanten Folge?
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Hallo fvs!
Man könnte auch mittels vollständiger Induktion zeigen, dass gilt: [mm] $b_n [/mm] \ = \ 4 \ = \ [mm] \text{const.}$ [/mm] .
Aber das halte ich doch für etwas übertrieben. Von daher sollte es ausreichen, wenn man zeigt, dass gilt [mm] $b_3 [/mm] \ = \ [mm] b_2 [/mm] \ = \ [mm] b_1 [/mm] \ = \ 4$ .
Gruß vom
Roadrunner
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