3. Keplersches Gesetz < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Hans2 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ich muß folgende GLeichung nach "re" auflösen:
[mm] te^2 [/mm] / [mm] tm^2 [/mm] = [mm] re^3 [/mm] / ( re + rm [mm] )^3
[/mm]
Ich habe leider lange nichts mehr mit diesen Dingen zu tun gehabt. Über einen nachvollziehbaren Weg würde ich mich freuen.
PS: Es handelt sich um das 3. Keplersche Gesetz zur Planeten bewegung.
te = Umlaufzeit der Erde um die Sonne
tm = Umlaufzeit von Mars um die Sonne
re = Radius der Erdbahn
rm = Abstand Erde - Mars
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:12 Do 18.11.2004 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Hans2,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Wo liegen denn die exakten Probleme? Ich nehme mal an, weil die gesuchte Größe [mm] r_e [/mm] sowohl in einem Bruch als auch in der Potenz ^3 steht.
Los geht's:
[m]\bruch{t_e^2}{t_m^2} = \bruch{r_e^3}{(r_e + r_m)^3}[/m]
Zunächst erstmal die Potenzen "ausklammern":
[m]\left(\bruch{t_e}{t_m}\right)^2 = \left(\bruch{r_e}{r_e + r_m}\right)^3[/m]
Anschließend die [mm] \wurzel[3]{...} [/mm] auf beiden Seiten ziehen:
[m]\left(\bruch{t_e}{t_m}\right)^{\bruch{2}{3}} = \bruch{r_e}{r_e + r_m}[/m]
Zur Vereinfachung der Schreibaufwandes definiere ich mir mal
[m]a := \left(\bruch{t_e}{t_m}\right)^{\bruch{2}{3}}[/m]
Damit erhalte ich
[m]a = \bruch{r_e}{r_e + r_m}[/m]
Nun sieht der ursprüngliche Ausdruck ja um einiges überschaubarer aus.
Ich denke, von dieser Stelle an, schaffst Du das von alleine.
Sonst bitte den genauen "Knackpunkt" erläutern.
Am Ende den Ausdruck für $a_$ wieder einzusetzen nicht vergessen ... finito!
Grüße Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Do 18.11.2004 | | Autor: | Hans2 |
Hallo Lodar,
erst mal Danke für deine schnelle Anwort. Trotzdem habe ich noch Probleme bei der weiteren Umformung:
Ich zeige dir mal meinen Ansatz:
t $ [mm] \bruch{t_e^2}{t_m^2} [/mm] = [mm] \bruch{r_e^3}{(r_e + r_m)^3} [/mm] $
auf beiden Seiten die dritte Wurzel gezogen:
[mm] \wurzel[3]{\bruch{t_e^2}{t_m^2}} [/mm] = [mm] \bruch{r_e}{r_e + r_m}
[/mm]
-1 addiert um [mm] r_e [/mm] aus dem Zähler zu kriegen:
[mm] \wurzel[3]{\bruch{t_e^2}{t_m^2}} [/mm] -1 = [mm] \bruch{r_e}{r_e + r_m} [/mm] - [mm] \bruch{r_e + r_m}{r_e + r_m}
[/mm]
Den Bruch auf der rechten Seite zusammengefasst:
[mm] \wurzel[3]{\bruch{t_e^2}{t_m^2}} [/mm] -1 = [mm] \bruch{-r_m}{r_e + r_m}
[/mm]
re aus dem Zähler geholt:
[mm] {(r_e + r_m)} [/mm] *( [mm] \wurzel[3]{\bruch{t_e^2}{t_m^2}} [/mm] -1) = [mm] -r_m
[/mm]
nach [mm] r_e [/mm] aufgelöst:
[mm] r_e [/mm] = [mm] \bruch{-r_m}{ \wurzel[3]{\bruch{t_e^2}{t_m^2}} -1} [/mm] - [mm] r_m
[/mm]
In einem Astronomie-Lehrbuch gibt es folgende Lösung:
[mm] r_e [/mm] = [mm] \bruch{r_m}{ \wurzel[3]{\bruch{t_e^2}{t_m^2}} -1}
[/mm]
Die liefert auch den richtigen Wert wenn man Zahlen einsetzt. Hast du eine Idee was ich falsch gemacht habe?
Schon mal Danke vorab
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:23 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Hans2 |
Hallo Paul,
du hast vollkommen recht! Die Formel im Astronomie Buch sieht genauso aus wie du gesagt hast:
$ [mm] r_e [/mm] $ = $ [mm] \bruch{r_m}{ \wurzel[3]{\bruch{t_m^2}{t_e^2}} -1} [/mm] $
Ich bin wirklich ein Schussel.
Dein Tipp mit dem Kehrwert war genial, ich hab es jetzt eben von hier
$ [mm] \bruch{t_e^2}{t_m^2} [/mm] = [mm] \bruch{r_e^3}{(r_e + r_m)^3} [/mm] $
über den Kehrwert bis zu obiger Formel ohne Probleme durchrechnen können.
Danke
Viele Grüße aus dem verschneiten Aachen
Hans
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