3 gleichungen mit 4 unbekannte < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | E1: [mm] \overrightarrow{x}=\pmat{ 4 \\ 0\\3 }+k*\pmat{ -6 \\ 6\\2 }+l*\pmat{ -4 \\ 2\\0 }
[/mm]
E2: [mm] \overrightarrow{x}=\pmat{ 4 \\ 6\\2 }+m*\pmat{ -4 \\ -4\\1 }+n*\pmat{ 0 \\ -6\\1 }
[/mm]
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Hallo,
ich habe keine Ahnung wie ich auf die 4 Unbekannten mit nur 3 Gleichungen komme. Wir hatten diese noch im unterricht und der LK soll dieses nach den ferien dem GK erklären.
also ich hab die 2 ebenengleichungen schon gleich gesetzt und auch schon mit gauss aufgeschrieben, doch nun komme ich nicht weiter
Gaus:
-6 -4 -4 0 l 0
6 2 4 -6 l 6
2 0 1 1 l -1
ich weiß das ich irgendwie erstmal nur drei unbekannte ausrechen muss, doch wie und welche und wie gehts dann weiter???
danke für jede hilfe ich verzweifel echt dran
liebe grüße
romppelstielzchen
PS: ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> E1: [mm]\overrightarrow{x}=\pmat{ 4 \\ 0\\3 }+k*\pmat{ -6 \\ 6\\2 }+l*\pmat{ -4 \\ 2\\0 }[/mm]
>
> E2: [mm]\overrightarrow{x}=\pmat{ 4 \\ 6\\2 }+m*\pmat{ -4 \\ -4\\1 }+n*\pmat{ 0 \\ -6\\1 }[/mm]
Was genau sollst du bei der Aufgabe machen?
Nur die Lagebeziehung der Ebenen überprüfen oder Schnittgeraden bestimmen?
> Hallo,
> ich habe keine Ahnung wie ich auf die 4 Unbekannten mit
> nur 3 Gleichungen komme. Wir hatten diese noch im
> unterricht und der LK soll dieses nach den ferien dem GK
> erklären.
> also ich hab die 2 ebenengleichungen schon gleich gesetzt
> und auch schon mit gauss aufgeschrieben, doch nun komme ich
> nicht weiter
>
> Gaus:
> -6 -4 -4 0 l 0
> 6 2 4 -6 l 6
> 2 0 1 1 l -1
Hier sind Tippfehler drin.
Richtig:
[mm] \pmat{- 6 & -4 & 4 & 0 & | & 0\\ 6 & 2 & 4 & 6 & | & 6\\ 2 & 0 & -1 & -1 & | & -1}
[/mm]
(Reihenfolge der Spalten: k,l,m,n).
Nun musst du, wie schon richtig von dir bemerkt, erstmal Gauß-Algorithmus durchführen, also die Matrix auf Zeilenstufenform bringen.
Tu' das, und schreib beim nächsten Mal gleich, ob Lagebeziehungen oder Schnittgeraden oder was auch immer gesucht ist.
Grüße,
Stefan
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Danke für den tipfehler hinweis. also ich muss die schnittgerade bestimmen. ich weiß wie man gauß benutzt aber nur wenn ich 3 gleichungen mit 3 unbekannten haben, mit 4 unbekannten weiß ich nicht was ich machen muss um die richtigen k,l,m,n raus zu bekommen. denn wenn ich in der unterenzeile k und l =0 habe dann hab ich für m und n ja mehrer lösungen. und sonst würde mit ja für eine eine lösung fehlen
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Mi 17.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Danke für den tipfehler hinweis. also ich muss die
> schnittgerade bestimmen. ich weiß wie man gauß benutzt
> aber nur wenn ich 3 gleichungen mit 3 unbekannten haben,
> mit 4 unbekannten weiß ich nicht was ich machen muss um
> die richtigen k,l,m,n raus zu bekommen. denn wenn ich in
> der unterenzeile k und l =0 habe dann hab ich für m und n
> ja mehrer lösungen. und sonst würde mit ja für eine eine
> lösung fehlen
> LG
Hallo,
würde es eine eindeutige Lösung für k, l, m und n geben, so hättest du DEN gemeinsamen Punt beider Ebenen gefunden (der sich entweder mit k und l in der einen Ebenengleichung oder mit m und n in der anderen Ebenengleichung konkret angeben ließe).
Zwei Ebenen KÖNNEN aber NICHT nur einen gemeinsamen Punkt haben. Wenn sie sich schneiden, dann haben sie eine gemeinsame Gerade - und eine Gerade braucht für ihre Darstellung einen nicht festen, sondern veränderlichen Parameter (als Faktor vor dem Richtungsvektor).
Forme also das GS so weit um, dass 3 der 4 Unbekannten verschwunden sind und die 4. Unbekannte ein veränderlicher Parameter bleibt (mit dem die drei vorher eliminierten Größen variabel ausgedrückt werden können).
Gruß Abakus
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mh ich versteh es immer noch nicht und weiß nicht wie ich auf lösungen komme solle, aber egal. dann muss ich wohl bis nach den ferien warten und meinen mathelehrer fragen
danke für die antworten
LG
romppelstielzchen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Do 18.03.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Nicht so pessimistisch.
Du hast doch:
[mm] \pmat{-6&-4&4&0&|&0\\6&2&4&6&|&6\\2&0&-1&-1&|&-1}
[/mm]
[mm] \gdw\pmat{-6&-4&4&0&|&0\\0&-2&8&6&|&6\\0&4&1&-3&|&-3}
[/mm]
[mm] \gdw\pmat{-6&-4&4&0&|&0\\0&-2&-4&6&|&6\\0&0&17&9&|&9}
[/mm]
[mm] \gdw\pmat{3&2&-2&0&|&0\\0&1&-4&-3&|&-3\\0&0&17&9&|&9}
[/mm]
Weiter kann ich leider nicht in die Dreiecksform gelangen, also setze mal den letzten Parameter (hier n) als [mm] \lambda, [/mm] so dass du folgendes LGS bekommst
[mm] \gdw\pmat{3&2&-2&0*\lambda&|&0\\0&1&-4&-3*\lambda&|&-3\\0&0&17&9*\lambda&|&9}
[/mm]
[mm] \gdw\pmat{3&2&-2&|&0\\0&1&-4&|&+3\lambda-3\\0&0&17&|&9-9\lambda}
[/mm]
[mm] \gdw\pmat{3&2&-2&|&0\\0&1&-4&|&+3\lambda-3\\0&0&1&|&\bruch{9-9\lambda}{17}}
[/mm]
Jetzt hast du ja: [mm] n=\lambda [/mm] und [mm] m=\bruch{9-9\lambda}{17}
[/mm]
Das reicht uns erstmal schon, da du ja m und n aus einer Ebene entommen hast, jetzt kannst du diese Werte In die Ebenengleichung einsetzen, also:
[mm] \vec{x}=\pmat{4\\6\\2}+m\pmat{-4\\-4\\1}+n\pmat{0\\-6\\1}
[/mm]
[mm] =\pmat{4\\6\\2}+\bruch{9-9\lambda}{17}\pmat{-4\\-4\\1}+\lambda\pmat{0\\-6\\1}
[/mm]
[mm] =\pmat{4\\6\\2}+\left(\bruch{9}{17}-\bruch{9}{17}\lambda\right)\pmat{-4\\-4\\1}+\lambda\pmat{0\\-6\\1}
[/mm]
[mm] =\pmat{4\\6\\2}+\bruch{9}{17}\pmat{-4\\-4\\1}-\bruch{9}{17}\lambda\pmat{-4\\-4\\1}+\lambda\pmat{0\\-6\\1}
[/mm]
[mm] =\pmat{4\\6\\2}+\pmat{-\bruch{36}{17}\\-\bruch{36}{17}\\\bruch{9}{17}}+\lambda\pmat{\bruch{36}{17}\\\bruch{36}{17}\\-\bruch{9}{17}}+\lambda\pmat{0\\-6\\1}
[/mm]
[mm] =\pmat{4-\bruch{36}{17}\\6-\bruch{36}{17}\\2+\bruch{9}{17}}+\lambda*\left(\pmat{\bruch{36}{17}\\\bruch{36}{17}\\-\bruch{9}{17}}\pmat{0\\-6\\1}\right)
[/mm]
Wenn du das jetzt noch weiter zusammenfasst, bekommst du eine Geradengleichung, das ist dann die gesuchte Schnittgerade.
(Sofern ich mich nicht verrechnet habe...) Aber das Prinzip funktioniert genau so.
Marius
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DANKE DANKE DANKE!!!!! :) hätte ich alleine nicht so gemacht und geschafft
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