4 aus 25 ohne Nachbarn < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Mo 08.12.2014 | | Autor: | yss |
| Aufgabe | Wir betrachten ein Glücksspiel ”4 aus 25“, bei dem 4 Zahlen aus [25] gezogen werden.
Es soll nicht auf die Reihenfolge der gezogenen Zahlen ankommen.
Es dürfen nur verschiedene Zahlen und nie zwei benachbarte Zahlen n und n+1 gezogen werden. (D. h., dass Ziehungen mit benachbarten Zahlen, z. B. 2, 5, 6, 17, nicht zulässig sind.)
Wie viele zulässige Ziehungen gibt es in diesem Fall?
Geben Sie einen arithmetischen Ausdruck für das Ergebnis an. |
Mein Ansatz für diese Aufgabe war bisher, dass ich die möglichen Zahlen in zwei Teile aufgeteilt haben. Einmal die Reihe 1,3,5,7..., also 13 Möglichkeiten und dann 2,4,6,8..., also 12 Möglichkeiten. Und nun schau ich mir an, wie viele ich aus diesen zwei Reihen ziehe, also wären die Möglichkeiten:
[mm]{13 \choose 4} + {12 \choose 0} + {13 \choose 3} + {12 \choose 4} + {13 \choose 2} + {12 \choose 2} + {13 \choose 1} + {12 \choose 3} + {13 \choose 0} + {12 \choose 4}[/mm]
Hab diese Vorgehensweise an einem kleinen Beispiel "2 aus 4" ausprobiert, leider stimmt es nicht...
Kann mir jemand erklären, wo mein Fehler ist und wie man an die Aufgabe anders rangeht?
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> Wir betrachten ein Glücksspiel ”4 aus 25“, bei dem 4
> Zahlen aus [25] gezogen werden.
> Es soll nicht auf die Reihenfolge der gezogenen Zahlen
> ankommen.
> Es dürfen nur verschiedene Zahlen und nie zwei
> benachbarte Zahlen n und n+1 gezogen werden. (D. h., dass
> Ziehungen mit benachbarten Zahlen, z. B. 2, 5, 6, 17, nicht
> zulässig sind.)
> Wie viele zulässige Ziehungen gibt es in diesem Fall?
> Geben Sie einen arithmetischen Ausdruck für das Ergebnis
> an.
> Mein Ansatz für diese Aufgabe war bisher, dass ich die
> möglichen Zahlen in zwei Teile aufgeteilt haben. Einmal
> die Reihe 1,3,5,7..., also 13 Möglichkeiten und dann
> 2,4,6,8..., also 12 Möglichkeiten. Und nun schau ich mir
> an, wie viele ich aus diesen zwei Reihen ziehe, also wären
> die Möglichkeiten:
>
> [mm]{13 \choose 4} + {12 \choose 0} + {13 \choose 3} + {12 \choose 4} + {13 \choose 2} + {12 \choose 2} + {13 \choose 1} + {12 \choose 3} + {13 \choose 0} + {12 \choose 4}[/mm]
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> Hab diese Vorgehensweise an einem kleinen Beispiel "2 aus
> 4" ausprobiert, leider stimmt es nicht...
> Kann mir jemand erklären, wo mein Fehler ist und wie man
> an die Aufgabe anders rangeht?
Hallo yss
wenn du voraussetzt, dass entweder alle 4 gezogenen Zahlen
ungerade oder aber alle 4 gerade sein sollen, dann erhältst
du zwar mit Sicherheit nur Viererauswahlen, in welchen keine
unmittelbaren Nachbarn vorkommen. Du verpasst dabei aber
alle die vielen Viererauswahlen, welche zwar sowohl gerade
als auch ungerade Zahlen enthalten, aber ebenfalls keine
Nachbarpaare !
Du kommst so zu einer viel zu kleinen Anzahl.
Um zur richtigen Lösung zu kommen, könntest du zum
Beispiel folgende Idee verwenden: Mach dir ein Modell,
indem du 4 "Dominosteine" mit den Aufschriften
[0|a] [0|b] [0|c] [0|d]
benützt, die du dann der Reihe nach entlang einer Strecke
der Länge 26 ( = Länge von 13 Dominosteinen) anordnest.
Die Einheitsintervalle auf dieser Grundstrecke sind von 0
bis 25 nummeriert. Nun musst du die 4 Dominosteine
jeweils nur in der richtigen Reihenfolge so auf die Basis-
strecke legen, dass a, b, c und d auf einer der Zahlen
1 bis 25 liegen, und natürlich so, dass keine Dominosteine
sich überlappen. Diese Regel und die Platzhalter-Nullen
auf den Steinen garantieren, dass 1 ≤ a < b < c < d ≤ 25 ist
und dass a und b , b und c , c und d nicht benachbart sein
können.
Dieses Modell sollte helfen, zu einer Formel für die gesuchte
Anzahl zu gelangen.
LG , Al-Chwarizmi
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Hallo
falls mein obiger Vorschlag für ein anschauliches Modell
noch nicht gefruchtet haben sollte:
Wir haben schon die Grundstrecke der Länge 1+25=26
und 4 Stäbchen ("Dominosteine") der Länge 2, die darauf
verteilt werden sollen. Man kann nun alle Zwischenräume,
die noch möglich sind, durch 26-(4*2)=18 Stäbchen der
Länge 1 repräsentieren. Diese darf man nach Belieben
platzieren, wo sie eben noch hineinpassen. Bezeichnen
wir nun etwa die langen Stäbchen (Länge 2) mit "L" und
die kurzen (Länge 1) mit "K" , so ergibt jede mögliche
Verteilung ein Wort aus genau 4 "L" und 18 "K". Ein
Beispiel: Das Wort
KKLKKKKKKKLLKKKKKKKKKL
steht für die Viererauswahl {3 , 12 , 14 , 25 } .
Beachte dabei: das erste "K" steht auf Position 0 der
Skala, die von 0 bis 25 reicht !
Um nun die Anzahl aller erlaubten Viererauswahlen zu
berechnen, kann man sich die dazu äquivalente Frage
stellen: Wieviele "Wörter" der Länge 22 gibt es, die
an genau 4 Stellen ein "L" und an allen übrigen 18
Stellen ein "K" besitzen ?
LG , Al-Chwarizmi
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