8te wurzel aus eins < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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aussagekräftige lsg der fragestellung:
berechne sie alle lösungen des 8ten grades von wurzel 1?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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verstehs nicht..
also meines erachtens müssten das ja die lsg der 4 achsen sein + 4 komplexe, weil einheitskreis in 8 stücke zerteilt wird...
mit 45° = pi/4
1,
-1,
i,
-i,
1 + i* pi/4,
-1 + i* pi/4
1 - i* pi/4,
-1 - i* pi/4
trotzdem würde ich nicht drauf kommen mit der formel?!
und was wäre bei ner ungeraden wurzel? 5 wurzel aus 1
oder 5 wurzel aus -2?
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> verstehs nicht..
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> also meines erachtens müssten das ja die lsg der 4 achsen
> sein + 4 komplexe, weil einheitskreis in 8 stücke zerteilt
> wird... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ich glaube, du meinst das Richtige
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> mit 45° = pi/4
>
> 1,
> -1,
> i,
> -i,
> 1 + i* pi/4,
> -1 + i* pi/4
> 1 - i* pi/4,
> -1 - i* pi/4
>
> trotzdem würde ich nicht drauf kommen mit der formel?!
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> und was wäre bei ner ungeraden wurzel? 5 wurzel aus 1
> oder 5 wurzel aus -2?
Hallo Stephan,
also die Lösungen von [mm] z^8=1 [/mm] liegen - wie du richtig vermutest - auf dem Einheitskreis. Wenn du sie verbindest, erhältst du ein regelmäßiges 8-Eck.
4 der Lösungen liegen auf den 4 Achsen, auf jeder Achse eine, denn [mm] i^8=(-i)^8=1^8=(-1)^8=1.
[/mm]
Bei den 5-ten Einheitswurzeln, also den Lösungen von [mm] z^5=1 [/mm] liegen ebenfalls alle 5 Lösungen auf dem Einheitskreis, wenn du diese verbindest, erhältst du ein regelmäßiges 5-Eck.
Hier liegt aber nur 1 Lösung - nämlich die 1 auf den Achsen, denn [mm] 1^5=1 [/mm] und [mm] (-1)^5=-1,i^5=i, (-i)^5=-i [/mm] , [mm] alle\ne1
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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danke...
tja trotzdem frage ich mich jetzt wie ich die anderen nicht auf den achsen rauskriegen... ist das irgendwie möglich? so dass sowas wie pi/?
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Hi,
bedenke, dass mit [mm] z^8=1 [/mm] gilt:
[mm] |z^8|=|z|^8=|1|=1 \Rightarrow [/mm] |z|=1 [mm] \Rightarrow \left|\wurzel[k]{z}\right|=1
[/mm]
Weiter ist [mm] 1=|1|\cdot{}(cos(0)+i\cdot{}sin(0))=cos(0)+i\cdot{}sin(0)
[/mm]
Damit solltest du die Lösungen [mm] $z_0,....z_7$ [/mm] gem. der Formel, die Herby dir aufgeschrieben hat doch lösen können.
Einfach sukzessive berechnen 
Probier's mal, die Formel ist echt gut
Gruß
schachuzipus
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
