9.043 Stetige ZV-MIt Dichtef. < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Zufallsvariable X hat die Dichtefunktion
f mit [mm] =y=\begin{cases} c, & \mbox{für } x \in \mbox{ [0;6]} \\0,& \mbox sonst \end{cases}
[/mm]
a.) Ermitteln Sie c.
b.) Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion F.
c.) Zeichnen Sie die WSK-Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion.
d.) Berechenn Sie Erwartungswert und Standardabweichung. |
Ich habe vor mir dieses Beispiel Schritt für Schritt mit jemanden zu erarbeiten.
Wäre schon wenn sich jemand dazu meldet!!
a.) Was bedeutet sonst?
Kann mir bitte jemand erklären was das alles heißt im Ausdruck:
f mit [mm] =y=\begin{cases} c, & \mbox{für } x \in \mbox{ [0;6]} \\0,& \mbox sonst \end{cases}
[/mm]
Das Einige was ich mir selber denken kann ist das die Dichtefunktion der Verteilung im Bereich 0 bis 6 liegen wird und die Fläche
1=100% als Bedingung anzunehmen ist.
Wenn nun in der Lösung steht:
[mm] \integral_{0}^{6}{c dx}=1 [/mm] habe ich hierbei die Bedingung. Aber warum steht dann 1/6 für c als Lösung.
Ich weiß noch, dass es irgendetwas mit der Stammfunktion des Integrals zu tun hat.
Leider hatte ich noch kein Integral, kann ich es trotzdem in allgemeiner Gültigkeit verstehen oder muss ich mir vorher die ganze Integralrechnung vornehmen?
Was bedeutet die Konstante c ist das irgendein Punkt zwischen 0 und 5 auf meiner X-Achse oder von dem aus das Intervall nach "sonst" (was immer das heisst??). Und damit bekomme ich meine Dichtefunktion p(x)=y?
-----------------------------------
b.) [mm] F(x)=P(X\lex)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f(t) dt} [/mm] heißt Verteilungsfunktion
Was soll ich da jetzt rechnen wenn ich keine Werte habe?
------------------------------------
c.) Würde ich gerne machen aber dazu fehlt mir das "c" und die Verteilungsfunktion "F".
------------------------------------
d.) Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen:
[mm] E(X)=\mu=\integral_{-\infty}^{\infty}x*{f(x) dx}
[/mm]
Standardabweichung mit [mm] \sigma=\wurzel\sigma^2
[/mm]
-----------------------------------
Mit freundlichen Grüßen, spikemike.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 So 29.03.2015 | | Autor: | hippias |
> Die Zufallsvariable X hat die Dichtefunktion
>
> f mit [mm]=y=\begin{cases} c, & \mbox{für } x \in \mbox{ [0;6]} \\0,& \mbox sonst \end{cases}[/mm]
>
> a.) Ermitteln Sie c.
>
> b.) Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion F.
>
> c.) Zeichnen Sie die WSK-Dichtefunktion und die
> Verteilungsfunktion.
>
> d.) Berechenn Sie Erwartungswert und Standardabweichung.
> Ich habe vor mir dieses Beispiel Schritt für Schritt mit
> jemanden zu erarbeiten.
> Wäre schon wenn sich jemand dazu meldet!!
>
>
>
> a.) Was bedeutet sonst?
>
> Kann mir bitte jemand erklären was das alles heißt im
> Ausdruck:
>
> f mit [mm]=y=\begin{cases} c, & \mbox{für } x \in \mbox{ [0;6]} \\0,& \mbox sonst \end{cases}[/mm]
>
Dies ist eine sogenannte stueckweise definierte Funktion. In diesem Falle heisst das folgendes: $f(x)$ nimmt den Wert $c$ an, wenn $x$ zwischen $0$ und $6$ liegt; in allen anderen Faellen (=sonst) nimmt $f(x)$ den Wert $0$ an.
> Das Einige was ich mir selber denken kann ist das die
> Dichtefunktion der Verteilung im Bereich 0 bis 6 liegen
> wird und die Fläche
> 1=100% als Bedingung anzunehmen ist.
Vermutlich drueckst Du eine richtige Ueberlegung schlecht aus.
>
> Wenn nun in der Lösung steht:
>
>
> [mm]\integral_{0}^{6}{c dx}=1[/mm] habe ich hierbei die Bedingung.
> Aber warum steht dann 1/6 für c als Lösung.
> Ich weiß noch, dass es irgendetwas mit der Stammfunktion
> des Integrals zu tun hat.
> Leider hatte ich noch kein Integral, kann ich es trotzdem
> in allgemeiner Gültigkeit verstehen oder muss ich mir
> vorher die ganze Integralrechnung vornehmen?
Stochastik auf Hochschulniveau bedeutet Integralrechnung. Daher wirst Du nicht darum herumkommen. Dies siehst Du ja auch an den anderen Aufgaben: ueberall tauchen Integrale auf.
Locker gesagt geht es dabei um Flaechen, die einerseits durch ein Intervall der $x$-Achse begrenzt werden und andererseits durch eine Randfunktion $f$. [mm] $\int_{a}^{b}f(x)dx$ [/mm] steht fuer den Inhalt dieser Flaeche (wenn das Intervall $=[a,b]$ ist). In einfachen Faelle laesst sich also ein Integral durch elementar-geometrische Ueberlegungen berechnen.
Im diesem Beispiel hast Du ein Rechteck der Laenge $6$ und Breite $c$. Sein Flaecheninhalt muss $1$ sein. Also folgt [mm] $c=\frac{1}{6}$.
[/mm]
>
> Was bedeutet die Konstante c ist das irgendein Punkt
> zwischen 0 und 5 auf meiner X-Achse oder von dem aus das
> Intervall nach "sonst" (was immer das heisst??). Und damit
> bekomme ich meine Dichtefunktion p(x)=y?
> -----------------------------------
>
> b.) [mm]F(x)=P(X\lex)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f(t) dt}[/mm]
> heißt Verteilungsfunktion
Das hast Du falsch aufgeschrieben. Korrigiere es.
>
> Was soll ich da jetzt rechnen wenn ich keine Werte habe?
Nichts weiter muss da gerechnet werden. Vermutlich wird von Dir erwartet, dass Du das Integral aufloest. Dann laesst sich fuer $F$ eine aehnliche Beschreibung wie fuer $f$ angeben.
>
> ------------------------------------
>
> c.) Würde ich gerne machen aber dazu fehlt mir das "c" und
> die Verteilungsfunktion "F".
S.o.
>
> ------------------------------------
>
> d.) Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen:
>
> [mm]E(X)=\mu=\integral_{-\infty}^{\infty}x*{f(x) dx}[/mm]
Dieses Integral muss berechnet werden. In Deinen Beispiel laeuft es auf $E(X)= [mm] \int_{0}^{6}\frac{1}{6}xdx$ [/mm] hinaus.
>
> Standardabweichung mit [mm]\sigma=\wurzel\sigma^2[/mm]
Das ist zwar richtig, aber kaum hilfreich. Eine Definition lautet [mm] $\sigma(X)= \sqrt{\integral_{-\infty}^{\infty}(x-E(X))^{2}*f(x) dx}$.
[/mm]
> -----------------------------------
>
>
> Mit freundlichen Grüßen, spikemike.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 So 29.03.2015 | | Autor: | spikemike |
Stochastik auf Hochschulniveau bedeutet.....
Vielen Dank für den Hinweis, denn ich will die Berufsreifeprüfung machen.
Ich mache jetzt in meinem Buch einmal mit der standardisierten Normalverteilung weiter. Aber später wenn ich noch Zeit habe werde ich vielleicht dieses Gebiet nocheinmal streifen.
DANKE!
Mit freundlichen Grüßen, spikemike.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:38 Mo 30.03.2015 | | Autor: | hippias |
Ich wollte Dich mit meiner Bemerkung nicht abschrecken; ich habe nur deswegen vom Niveau gesprochen, weil Schueler in Deutschland mit Integralen in der Stochastik weitestgehend verschont werden.
Es aendert sich dadurch jedoch nichts fuer Dich: die Aufgaben, die Du loesen sollst, setzen Integralrechnung voraus. Wobei ich mir aber sicher bin, dass Du den weitaus groessten Teil der Stochastik-Aufgaben ohne Integralrechnung bearbeiten kannst und die Integrale, die Du loesen musst, wohl nicht sonderlich schwierig werden.
Du wirst sehen, dass die Standardnormalverteilung auch auf einem Integral beruht, das aber nicht wirklich berechnet werden muss (kann), sondern man die benoetigten Werte Tabellen, Taschenrechner etc. entnimmt.
|
|
|
|
