A-A'-messbar, Bildmaß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Es sei der Maßraum [mm] (\Omega, \mathcal{A}, \mu) [/mm] mit [mm] \Omega [/mm] := [mm] \IR, \mathcal{A}:= [/mm] {A [mm] \subset \Omega [/mm] | A abzählbar oder [mm] A^c [/mm] abzählbar} und [mm] \mu [/mm] für A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] definiert durch [mm] \mu(A):= \begin{cases} 0, & \mbox{falls } A \mbox{ abzählbar} \\ 1, & \mbox{falls } A^c \mbox{ abzählbar} \end{cases} [/mm] gegeben.
Desweiteren seien [mm] \Omega':={0,1} [/mm] und [mm] \mathcal{A}':=\mathcal{P}(\Omega').
[/mm]
Zeigen sie, dass die Abbildung [mm] T:\Omega\to\Omega', w\mapsto T(w):=\begin{cases} 0, & \mbox{falls }w \in \IQ \\ 1, & \mbox{falls }w \in \IR \backslash \IQ \end{cases}
[/mm]
[mm] \mathcal{A}-\mathcal{A}'-messbar [/mm] ist und bestimmen sie das Bildmaß [mm] T(\mu).
[/mm]
b) Für n,p,q [mm] \in \IN [/mm] mit p+q=n zerlegen wir [mm] \IR^n [/mm] = [mm] \IR^p \times \IR^q. [/mm] Es bezeichne [mm] 0_{\IR^q} [/mm] den Nullpunkt 0 [mm] \in \IR^q. [/mm] Zeigen sie für A [mm] \subset \IR^p:
[/mm]
A [mm] \times [/mm] { [mm] 0_{\IR^q} [/mm] } [mm] \in \mathcal{B}^n \gdw [/mm] A [mm] \in \mathcal{B}^p. [/mm] |
Hallo zusammen,
bin an dieser Aufgabe. FÜr die b) habe ich noch gar keine Ideen.
Bei der a) will ich zeigen, dass [mm] T^{-1}(A') \in \mathcal{A} [/mm] liegen für alle A' [mm] \in \mathcal{A}'. [/mm] Weiss aber leider nicht, wie ich hierbei anfangen soll. Die Menge [mm] \mathcal{A}' [/mm] lässt sich ja leicht darstellen als [mm] {\emptyset, \Omega, {0}, {1}} [/mm] oder?! Muss ich das also für die 4 Elemente einzeln zeigen? Und wie genau gehe ich dabei vor?
Vielen Dank und Gruss
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Hiho,
> Bei der a) will ich zeigen, dass [mm]T^{-1}(A') \in \mathcal{A}[/mm] liegen für alle A' [mm]\in \mathcal{A}'.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Weiss aber leider nicht, wie ich hierbei anfangen soll. Die Menge [mm]\mathcal{A}'[/mm] lässt sich ja leicht darstellen als [mm]{\emptyset, \Omega, {0}, {1}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
oder?!
Denke nur dran, vor $\{$ ein \ zu setzen, sonst werden sie in der Matheumgebung nicht angezeigt, also gilt:
\mathcal{A}' = \left\{\emptyset, \Omega,\{0\},\{1\}\right\}$
> Muss ich das also für die 4 Elemente einzeln zeigen?
Jop, sind ja nur 4.
> Und wie genau gehe ich dabei vor?
Nachdenken 
Da kommen als Urbilder sehr bekannte Mengen raus, die dann offensichtlich auch in \mathcal{A} liegen.
Zur b): Ihr hattet bestimmt so einen Satz der Art: Seien $(X,\mathcal{X}),(Y,\mathcal{Y})$ Maßräume und $A \in \mathcal{X} \otimes \mathcal{Y}$ Element der Produkt-Sigma-Algebra, so ist jeder ist jeder X-Schnitt A_x und jeder y-Schnitt A_y meßbar.
Gruß,
Gono.
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> Denke nur dran, vor [mm]\{[/mm] ein \ zu setzen, sonst werden sie in
> der Matheumgebung nicht angezeigt, also gilt:
>
> [mm]\mathcal{A}'[/mm] = [mm]\left\{\emptyset, \Omega,\{0\},\{1\}\right\}$[/mm]
> Da kommen als Urbilder sehr bekannte Mengen raus, die dann
> offensichtlich auch in [mm]\mathcal{A}[/mm] liegen.
Wahrscheinlich verstehe ich die Aufgabe noch nicht so. Ich würde jetzt der Reihe nach durchgehen.
Angefangen mit A':= [mm] \emptyset
[/mm]
dann ist z.z. [mm] T^{-1}(A') \in \mathcal{A}
[/mm]
ich schreibe also hin [mm] T^{-1}(\emptyset). [/mm] Und das macht für mich irgendwie nicht so wirklich Sinn, wegen der Abbildung T. T(w) kann ja entweder =1 oder =0 sein, also kann ich hinter das Bild [mm] T^{-1} [/mm] doch nur einfügen (1) oder (0) oder? Also [mm] T^{-1}(1) [/mm] bzw [mm] T^{-1}(0).
[/mm]
Kannst du mir vielleicht nochmal einen Tipp geben?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Mo 13.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> >
> > Denke nur dran, vor [mm]\{[/mm] ein \ zu setzen, sonst werden sie in
> > der Matheumgebung nicht angezeigt, also gilt:
> >
> > [mm]\mathcal{A}'[/mm] = [mm]\left\{\emptyset, \Omega,\{0\},\{1\}\right\}$[/mm]
>
> > Da kommen als Urbilder sehr bekannte Mengen raus, die dann
> > offensichtlich auch in [mm]\mathcal{A}[/mm] liegen.
>
> Wahrscheinlich verstehe ich die Aufgabe noch nicht so. Ich
> würde jetzt der Reihe nach durchgehen.
> Angefangen mit A':= [mm]\emptyset[/mm]
> dann ist z.z. [mm]T^{-1}(A') \in \mathcal{A}[/mm]
> ich schreibe
> also hin [mm]T^{-1}(\emptyset).[/mm] Und das macht für mich
> irgendwie nicht so wirklich Sinn, wegen der Abbildung T.
> T(w) kann ja entweder =1 oder =0 sein, also kann ich hinter
> das Bild [mm]T^{-1}[/mm] doch nur einfügen (1) oder (0) oder? Also
> [mm]T^{-1}(1)[/mm] bzw [mm]T^{-1}(0).[/mm]
> Kannst du mir vielleicht nochmal einen Tipp geben?
>
>
[mm] $T^{-1}(\emptyset)= \{\omega \in \Omega: T(\omega) \in \emptyset\}= \emptyset$
[/mm]
FRED
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Okay das habe ich mir dann während ich die Antwort geschrieben hab auch so gedacht.
Für [mm] \Omega [/mm] gilt dann das gleiche also [mm] T^{-1}(\Omega)=\emptyset?!
[/mm]
Wie ist das mit den Mengen {0} und {1}?
Ist [mm] T^{-1}(\{0\}) [/mm] = [mm] T^{-1}(0)=\IQ?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Mo 13.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Allgemein: ist f:A [mm] \to [/mm] B eine Abbildung, so ist für eine Teilmenge C von B:
[mm] f^{-1}(C)=\{a \in A:f(a) \in C\}
[/mm]
FRED
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Hiho,
> Für [mm]\Omega[/mm] gilt dann das gleiche also [mm]T^{-1}(\Omega)=\emptyset?![/mm]
Das macht doch keinen Sinn.
Ausserdem muss doch da stehen [mm] $T^{-1}(\Omega')$.
[/mm]
Und welche Elemente landen denn bei einer Abbildung [mm] $T:\Omega \to \Omega'$ [/mm] in [mm] $\Omega'$ [/mm] ?
> Wie ist das mit den Mengen {0} und {1}?
> Ist [mm]T^{-1}(\{0\})[/mm] = [mm]T^{-1}(0)=\IQ?[/mm]
Ja.
Und was muss für [mm] \IQ [/mm] nun gelten, damit T meßbar ist?
Gruß,
Gono.
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> Hiho,
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> > Für [mm]\Omega[/mm] gilt dann das gleiche also
> [mm]T^{-1}(\Omega)=\emptyset?![/mm]
>
> Das macht doch keinen Sinn.
> Ausserdem muss doch da stehen [mm]T^{-1}(\Omega')[/mm].
Ja klar quatsch sorry! [mm] \Omega' [/mm] ist ja = {0,1}
Also nach der Def von Fred sind [mm] T^{-1}(\Omega') [/mm] alle Elemente A [mm] \in \Omega, [/mm] sodass T(A) [mm] \in [/mm] {0,1} liegt und das gilt ja für alle A [mm] \in \Omega. [/mm] Also ist
[mm] T^{-1}(\Omega')=\Omega.
[/mm]
> Und was muss für [mm]\IQ[/mm] nun gelten, damit T meßbar ist?
[mm] \IQ [/mm] muss abzählbar sein (oder sein Komplement) und die rationalen Zahlen [mm] \IQ [/mm] sind abzählbar.
Genauso für [mm] T^{-1}(\{1\})=\IR \backslash \IQ. [/mm] Davon das Komplement ist wieder [mm] \IQ.
[/mm]
Nun noch zum Bildmaß [mm] \mu(T).
[/mm]
Mit dem Bildmaß wird ja A' [mm] \mapsto \mu(T^{-1}(A') [/mm] abgebildet für alle A' [mm] \in \Omega'. [/mm]
Also folgt
[mm] T(\mu)(\Omega')=\mu(T^{-1}(\Omega')) [/mm] mit [mm] T^{-1}(\Omega')=\{\emptyset, \Omega, \IQ, \IR \backslash \IQ\}. [/mm]
In gleicher Reihenfolge also die Werte [mm] \mu [/mm] dafür: 0, 1, 0, 1
Stimmt das, wenn ichs ordentlich aufschreib?
Vielen Dank schonmal für die einzelnen Hilfen! :)
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Hiho,
> Also nach der Def von Fred
das ist nicht Freds Definition, sondern so ist das Urbild definiert!
Das solltest du wissen.
> Also ist [mm]T^{-1}(\Omega')=\Omega.[/mm]
> [mm]\IQ[/mm] muss abzählbar sein (oder sein Komplement) und die rationalen Zahlen [mm]\IQ[/mm] sind abzählbar.
> Genauso für [mm]T^{-1}(\{1\})=\IR \backslash \IQ.[/mm] Davon das Komplement ist wieder [mm]\IQ.[/mm]
> Mit dem Bildmaß wird ja A' [mm]\mapsto \mu(T^{-1}(A')[/mm] abgebildet für alle A' [mm]\in \Omega'.[/mm]
> [mm]T(\mu)(\Omega')=\mu(T^{-1}(\Omega'))[/mm] mit
> [mm]T^{-1}(\Omega')=\{\emptyset, \Omega, \IQ, \IR \backslash \IQ\}.[/mm]
Die Notation ist grauenhaft. Sauberes Aufschreiben ist die halbe Miete, oder umgekehrt wie bei dir, unsaubere Aufschreiben der gröbste Fehler!
> Stimmt das, wenn ichs ordentlich aufschreib?
Schreib es gleich ordentlich auf!
Um dir keinen Unsinn mal klar zu machen:
> mit [mm][mm] T^{-1}(\Omega')=\{\emptyset, \Omega, \IQ, \IR \backslash \IQ\}.
[/mm]
Links steht [mm] $\Omega$ [/mm] und rechts steht eine Teilmenge der Potenzmenge von [mm] $\Omega$
[/mm]
> Vielen Dank schonmal für die einzelnen Hilfen! :)
Dankbarkeit könntest du am ehesten Aufbringen, in dem du dir Mühe gibst.
Gruß,
Gono.
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