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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Mi 01.02.2006 | | Autor: | Disap |
| Aufgabe | Der abgebildete Körper ist 90° drehsymmetrisch und entsteht durch Abschleifen eines Würfels mit einer Kantenlänge von 18 cm. Dabei sind die Punkte [mm] M_1 [/mm] bis [mm] M_8 [/mm] jeweils die Kantenmitten. Nach diesem Prinzip fertigt man Holzpfosten mit einem interessanten optischen Eindruck, wie die Abbildung unten rechts zeigt.
b) Um wieviel Prozent ist das Volumen des abgebildeten Körpers kleiner als das des ursprünglichen Würfels?
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Moin zusammen.
Bei dieser Aufgabe komme ich ganz schön ins Schwitzen und sehe nicht, wie ich sie lösen kann.
Die Erkenntnis, die ich bereits besitze:
Vier mal wird der selbe Flächeninhalt vom Würfel abgezogen. Dieser Flächeninhalt besteht nun aus den Punkten B, F, [mm] M_2 [/mm] und [mm] M_5.
[/mm]
A_Wuerfel = [mm] a^3 [/mm] = [mm] 18^3 cm^3
[/mm]
[mm] M_5(0|9|18)
[/mm]
[mm] M_2(9|18|0)
[/mm]
B (0|18|0)
F (0|18|18)
Ich habe als Ansatz versucht, mir zunächst ein Dreieck aus den Punkten [mm] M_5, [/mm] F und B zu basteln. Und dieses "Dreiecksstück" wollte ich dann noch mit der Strecke (besser gesagt dicke) zwischen B und [mm] M_2 [/mm] multiplizieren. War aber nicht so gut, denn ich hatte dafür den Flächeninhalt 1 herausbekommen. Entweder habe ich mich da verrechnet oder was mir logischer erscheint, der Ansatz geht gar nicht.
Als nächstes würde ich den selben Ansatz versuchen, nur mit dem Dreieck B, [mm] M_5 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] mit der Höhe zwischen B und F. Sieht aber auch hoffnungslos aus  .
Nun also meine Frage, wie kann ich diesen pyramidenartigen Körper da berechnen?
Das sind ja auch keine vier Punkte, die in einer Ebene liegen. Was mir die ganze Sache erschwert.
Auch mit der Formel [mm] A_{Pyramide} [/mm] = [mm] \bruch{g*h}{3} [/mm] weiß ich jetzt nicht, was ich dann als Höhe etc. nehmen müsste.
Hat jemand vielleicht nebenbei mal einen Tipp, wie ich meine geometrischen Mängel beseitigen könnte?
Viele Grüße,
Disap
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Mi 01.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Disap!
Der Ansatz mit der Pyramide ist doch schon sehr gut. Die Grundfläche wird gebildet z.B. durch das (rechtwinklige) Dreieck [mm] $\Delta FBM_2$ [/mm] . Die zugehörige Höhe ist [mm] $\overline{M_5 F}$ [/mm] .
Nun als das Volumen dieser Pyramide berechnen, mal $4_$ und Du hast das "Fehlvolumen".
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Mi 01.02.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo Loddar. Danke für die Erklärung - es ist eigentlich ganz einfach, wenn man erst einmal die entsprechende geometrische Figur entdeckt hat. Thx.
Schöne Grüße
Disap
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