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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Fr 25.05.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Zeigen sie dass [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \sum_{k=0}^n [/mm] 1/k! < 3 |
Ich hatte gedacht man könnte die SUmme durch eine geometrische SUmme nach unten abschätzen. Hat aber bei mir nicht geklappt, da ich keine geometrische Summe finde.
[mm] \sum_{k=0}^n [/mm] 1/k! < n/n! = [mm] \frac{1}{(n-1)!}
[/mm]
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Hallo Lu-,
> Zeigen sie dass [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]\sum_{k=0}^n[/mm] 1/k! < 3
> Ich hatte gedacht man könnte die SUmme durch eine
> geometrische SUmme nach unten abschätzen. Hat aber bei mir
> nicht geklappt, da ich keine geometrische Summe finde.
>
> [mm]\sum_{k=0}^n[/mm] 1/k! < n/n! = [mm]\frac{1}{(n-1)!}[/mm]
Probier's mal damit:
[mm] \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}=1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\le1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^{k-1}}
[/mm]
Schönes Pfingstwochenende!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Fr 25.05.2012 | | Autor: | Lu- |
Pfingswochende wird ein Durchlernwochenende ;)
Dir aber auch ein schönes verlängertes Wochenende.
Warum gilt:
k! >= [mm] 2^{k-1} [/mm] ?
SO:
> $ [mm] \sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}=1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\le1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^{k-1}} [/mm] $
= 1 + [mm] \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2^{k}} [/mm] = 1+ [mm] \frac{1 - \frac{1}{2^{n}}}{1/2}= \frac{2*(2^n-1)}{2^n}
[/mm]
LG
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> Pfingswochende wird ein Durchlernwochenende ;)
> Dir aber auch ein schönes verlängertes Wochenende.
>
> Warum gilt:
> k! >= [mm]2^{k-1}[/mm] ?
[mm] k!=1\cdot2\cdot3\cdot4\ldots
[/mm]
[mm] 2^{k-1}=1\cdot2\cdot2\cdot2\ldots
[/mm]
Nun vergleiche mal.
>
> SO:
> >
> [mm]\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}=1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\le1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^{k-1}}[/mm]
> = 1 + [mm]\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2^{k}}[/mm] = 1+ [mm]\frac{1 - \frac{1}{2^{n}}}{1/2}= \frac{2*(2^n-1)}{2^n}[/mm]
Der letzte Schritt stimmt nicht.
Beachte [mm] \frac{1 - \frac{1}{2^{n}}}{1/2}\le2.
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Fr 25.05.2012 | | Autor: | Lu- |
hallo,
Ich habe beim letzten schritt +1 vergessen.
= 1+ $ [mm] \frac{1 - \frac{1}{2^{n}}}{1/2}=1+ \frac{2\cdot{}(2^n-1)}{2^n} [/mm] $= [mm] \frac{2^n + 2^{n} *2 -2}{2^n} [/mm] = [mm] \frac{3* 2^n - 2}{2^n} [/mm] < [mm] \frac{3*2^n}{2^n} [/mm] = 3
danke, aber auf den schritt mit dem zweierpotenzen wäre ich nicht gekommen
lg
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> hallo,
> Ich habe beim letzten schritt +1 vergessen.
>
> = 1+ [mm]\frac{1 - \frac{1}{2^{n}}}{1/2}=1+ \frac{2\cdot{}(2^n-1)}{2^n} [/mm]=
> [mm]\frac{2^n + 2^{n} *2 -2}{2^n}[/mm] = [mm]\frac{3* 2^n - 2}{2^n}[/mm] <
> [mm]\frac{3*2^n}{2^n}[/mm] = 3
So stimmt's!
LG
>
> danke, aber auf den schritt mit dem zweierpotenzen wäre
> ich nicht gekommen
>
> lg
>
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