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| Aufgabe 1 | Veranschaulichen Sie das Tilgungverhalten eines Annuitätendarlehens nach einem Jahr auf zwei verschiedene Arten anhand eines eigenen Beispiels. Setzen Sie dabei die monatliche (unterjährige) Annuität, den Zinsfaktor p und die Darlehenssumme D als bekannt voraus.
a) Mittels Tabellenkalkulation mit monatlicher Annuität.
b) Mittels Annuitätenformel. |
| Aufgabe 2 | Veranschaulichen Sie das Tilgungverhalten nach einem Jahr auf zwei verschiedene Arten anhand eines eigenen Beispiels. Setzen Sie dabei die monatliche (unterjährige) Annuität, den Zinsfaktor p und die Darlehenssumme D als bekannt voraus.
a) Mittels Tabellenkalkulation mit monatlicher Annuität.
b) Mittels Annuitätenformel. |
Wo ist der Fehler?
R := Jährliche Annuität r := Unterjährige Annuität
R = r(12+(p/2)11)
mit r = 208,33 € , p = 4% ist R = 2545,83 €
Wenn ich jetzt die Rechnung mit der jährlichen Annuität durchführe, bekomme ich nach einem Jahr eine höhere Tilgung heraus als bei der schrittweisen Berechnung in Excel.
Beispiel: Darlehen 50.000€, nach einem Jahr sind 4% v. 50.000€ = 2000€ Zinsen fällig. Verbleibt bei der jährlichen Annuität von 2.545,83€ eine Tilgung von 545,83€ übrig.
Wenn ich nun direkt mit Excel jeden Monat mir r=208,33 berechne summiert sich bei mir nach 12 Monaten eine Tilgung von nur 509,27€ auf.
Kennt jemand einen Weg die (bekannte) monatliche Annuität auf einen "Jahreswert" hochzurechnen, sodass ich über Jahre und nicht über hunderte Monate ein Darlehen ausrechnen kann. Mit der Formel scheint jedenfalls ein zu großer Wert herauszukommen.
Besten Gruß und vielen Dank schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Mi 23.01.2013 | | Autor: | Josef |
Hallo michael666m,
> Veranschaulichen Sie das Tilgungverhalten eines
> Annuitätendarlehens nach einem Jahr auf zwei verschiedene
> Arten anhand eines eigenen Beispiels. Setzen Sie dabei die
> monatliche (unterjährige) Annuität, den Zinsfaktor p und
> die Darlehenssumme D als bekannt voraus.
>
> a) Mittels Tabellenkalkulation mit monatlicher Annuität.
> b) Mittels Annuitätenformel.
> Veranschaulichen Sie das Tilgungverhalten nach einem Jahr
> auf zwei verschiedene Arten anhand eines eigenen Beispiels.
> Setzen Sie dabei die monatliche (unterjährige) Annuität,
> den Zinsfaktor p und die Darlehenssumme D als bekannt
> voraus.
>
> a) Mittels Tabellenkalkulation mit monatlicher Annuität.
> b) Mittels Annuitätenformel.
>
> Wo ist der Fehler?
>
> R := Jährliche Annuität r := Unterjährige Annuität
>
> R = r(12+(p/2)11)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> mit r = 208,33 € , p = 4% ist R = 2545,83 €
>
> Wenn ich jetzt die Rechnung mit der jährlichen Annuität
> durchführe, bekomme ich nach einem Jahr eine höhere
> Tilgung heraus als bei der schrittweisen Berechnung in
> Excel.
>
Der Betrag 208,33 enthält Zinsen und Tilgung und gilt daher als Annuität.
Durch die monatlichen höher werdenden Tilgungsbeträge verringern sich die Zinszahlungen. Diese gleichbleibenden Annuitäten verändert sich aber dadurch nicht.
> Beispiel: Darlehen 50.000€, nach einem Jahr sind 4% v.
> 50.000€ = 2000€ Zinsen fällig. Verbleibt bei der
> jährlichen Annuität von 2.545,83€ eine Tilgung von
> 545,83€ übrig.
>
siehe Vorhergehendes.
Die Annuität wird hier unterjährig verzinst!
> Wenn ich nun direkt mit Excel jeden Monat mir r=208,33
> berechne summiert sich bei mir nach 12 Monaten eine Tilgung
> von nur 509,27€ auf.
Das ist die richtige Ermittlung.
>
> Kennt jemand einen Weg die (bekannte) monatliche Annuität
> auf einen "Jahreswert" hochzurechnen, sodass ich über
> Jahre und nicht über hunderte Monate ein Darlehen
> ausrechnen kann. Mit der Formel scheint jedenfalls ein zu
> großer Wert herauszukommen.
>
Du kannst einen Tilgungsplan erstellen.
Die jährlichen Zinsbeträge und die Tilgungsbeträe ändern sich von Jahr zu Jahr, so dass es keine Formel hierfür gibt. (Ich kenne jedenfalls keine). Es wir ja auch nur mit der Annuität gerechnet.
Du kannst aber die Restschuld und die bisherige Tilgungszahlung ermitteln.
Beispiel nach einem Jahr:
[mm] K_{12} [/mm] = 50.000 - [mm] \bruch{1,003333^{12}-1}{0,003333}*(208,33-0,003333*50.000) [/mm] = 49.490,57
Restschuld nach einem Jahr = 49.490,57
Tilgungssumme nach einem Jahr = 50.000 - 49.490,57 = 509,43
Geringfüge Abweichung ergibt sich durch Rundungsfehler.
Viele Grüße
Josef
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Danke für die Antwort! Den Zinssatz einfach durch 12 zu teilen erschien mir zu einfach. Damit erkärt sich auf jedenfall der Weg zur Restschuld wenn man mit monatlichen Schritten rechnen möchte.
Dennoch würde ich gerne verstehen warum einmal 545,83 € getilgt werden und einmal nur 509,27€. Ich habe die monatliche Annuität ja mit der Formel aufs Jahr hochgerechnet (sonst wären bei 12x208,33€ = 2500 € nur 500 € Tilgung übrig geblieben). Trotzdem ist dort wo eigentlich das Gleiche herauskommen sollte eine Differenz von 36,56 € entstanden.
Der Betrag i.H.v. 545,83 € erscheint mir auch etwas hoch, aber was genau stellt er denn dar? Ich würde gerne ein Darlehen berechnen, das monatlich zurückgezahlt wird. Jedoch würde ich gerne mit einer jährlichen Annuität rechnen in der die monatlichen Zahlungen berücksichtigt werden.
Ich denke halt bei einer Laufzeit von ~30 Jahren wären bei dem monatlichen Zinssatz von q/12 und n=30*12=360 Monaten doch erhebliche Rundungsfehler unvermeidlich. Oder sehe ich das falsch?
Besten Gruß und nochmals vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:11 Fr 25.01.2013 | | Autor: | Josef |
Hallo,
Da bei unterjährlicher Annuität in jeder Tilgungsperiode die gesamte Annuität als Tilgungsrate verwendet wird, erübrigt es sich, besondere Formeln für die Höhe der Restschuld, der Tilgungsrate oder der Zinsbelastung pro Tilgungsperiode abzuleiten.
Es wird immer mit der monatlichen oder jährlichen Annuität gerechnet.
Der monatliche Zins beträgt [mm] \bruch{0,04}{12} [/mm] = 0,003333
Die monatlichen anfänglichen Zinsen betragen 50.000 * 0,00333 = 166,66
Die anfängliche Tilgungsrate beträgt 208,33 - 166,66 = 41.66
Die Restschuld nach dem ersten Jahr beträgt 50.000 - 41,66 = 49958,34
Die Zinsen im zweiten Jahr betragen dann 49958,34 * 0,003333 = 166,51
Der neue Tilgunsbetrag im zweiten Jahr beträgt 208,33 - 166,51 = 41,82
Der Tilgungssteigungsbetrag beträgt:
[mm] \bruch{41,82 - 41,66}{41,66} [/mm] = 0,003840614...
Anfangstilgung = 41,66
Die Jahresgesamttilgung ermittelt sich:
[mm] 41.66*\bruch{1,0038406^{12}-1}{0,0038406} [/mm] = 510,61 (Rundungsfehler)
Viele Grüße
Josef
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