AWP - Variation der Konstanten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 Mo 19.04.2010 | | Autor: | babapapa |
| Aufgabe | | Man löse das AWP [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] + y cos(x) = sin(2x) für ( [mm] x_{0}, y_{0} [/mm] ) = (0, 0) |
Hallo!
Ich habe leider leichte Probleme beim Lösen der obigen Aufgabe.
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] + y P(x) = Q(x)
Diese Differentialgleichung würde ich mit Variation der Konstanten lösen wo
u(x) ist meine unbekannte Funktion
P(x) = cox(x)
Q(x) = sin(2x)
u(x) = [mm] e^{\integral_{}^{}{P(x) dx}} [/mm] = [mm] e^{sin(x) + C} [/mm] = [mm] e^{sin(x)} [/mm] * [mm] e^{C}
[/mm]
[mm] \bruch{d(uy)}{dx} [/mm] = u(x)Q(x)
u(x)y = [mm] \integral_{}^{}{u(x)Q(x) dx}
[/mm]
nun u(x) substituieren, aber da bekomme ich was ganz komisches raus..
Alles schön und gut, aber wie bekomme ich die AWP in das Beispiel?
Danke für jeden Tipp!
lg
Baba
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Hallo babapapa,
> Man löse das AWP [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] + y cos(x) = sin(2x) für
> ( [mm]x_{0}, y_{0}[/mm] ) = (0, 0)
> Hallo!
>
> Ich habe leider leichte Probleme beim Lösen der obigen
> Aufgabe.
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] + y P(x) = Q(x)
> Diese Differentialgleichung würde ich mit Variation der
> Konstanten lösen wo
> u(x) ist meine unbekannte Funktion
> P(x) = cox(x)
> Q(x) = sin(2x)
>
> u(x) = [mm]e^{\integral_{}^{}{P(x) dx}}[/mm] = [mm]e^{sin(x) + C}[/mm] =
> [mm]e^{sin(x)}[/mm] * [mm]e^{C}[/mm]
>
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> [mm]\bruch{d(uy)}{dx}[/mm] = u(x)Q(x)
> u(x)y = [mm]\integral_{}^{}{u(x)Q(x) dx}[/mm]
> nun u(x)
> substituieren, aber da bekomme ich was ganz komisches
> raus..
>
> Alles schön und gut, aber wie bekomme ich die AWP in das
> Beispiel?
Schreibe den ganzen Mist doch mal ohne diese blöden INtegrale im Exponenten und rechne konkret!
Die Lösung $y(x)$ setzt sich zusammen aus der homogenen und der inhomogenen Lösung: [mm] $y(x)=y_h(x)+y_p(x)$
[/mm]
Zur Lösung des homogenen Systems, also [mm] $y'+y\cdot{}\cos(x)=0$ [/mm] schreibe etwas um:
[mm] $y'=-y\cdot{}\cos(x)$
[/mm]
Also [mm] $\frac{1}{y} [/mm] \ dy \ = \ [mm] -\cos(x) [/mm] \ dx$
Beidseitig integrieren:
[mm] $\ln(|y|)=-\sin(x)+c$
[/mm]
Also [mm] $y_h(x)=\tilde{c}\cdot{}e^{-\sin(x)}$
[/mm]
Nun Variation der Konstanten:
[mm] $y(x)=\tilde{c}\red{(x)}$\cdot{}e^{-\sin(x)}$
[/mm]
Nun $y'$ berechnen, vergleichen mit der Ausgangsdgl. und Integrieren um [mm] $\tilde{c}(x)$ [/mm] zu bestimmen.
Das zu bestimmende Integral lautet (nachprüfen!)
[mm] $\tilde{c}(x)=\int{\sin(2x)\cdot{}e^{\sin(x)} \ dx}$
[/mm]
Hier nutze die Additionstheoreme und schreibe [mm] $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ [/mm] und substituiere anschließend: [mm] $u=u(x):=\sin(x)$
[/mm]
Das führt zu einem Integral, das du mit einer einfachen partiellen Integration verarzten kannst ...
>
> Danke für jeden Tipp!
>
> lg
> Baba
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Mo 19.04.2010 | | Autor: | babapapa |
Danke dir!
Konnte ich nachvollziehen. Aber wie sieht es nun mit der Einarbeitung des AWPs aus?
EDIT:
Achso einfach die Integralgrenzen...
Danke stimmt alles!
lg
Babapapa
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