AWP - zwei Loesungen? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Mo 11.07.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | | Lösen Sie das AWP [mm] x*\sqrt{1-y^2}+y*\sqrt{1-x^2}*y'=0, [/mm] y(0)=1 |
Hallo,
das geht mit Variablentrennung:
[mm] \int \frac{y}{\sqrt{1-y^2}}dy=-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx
[/mm]
[mm] \Rightarrow -\sqrt{1-y^2}=\sqrt{1-x^2}+C
[/mm]
[mm] \Rightarrow 1-y^2=1-x^2+2C\sqrt{1-x^2}+C^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow y=\pm\sqrt{x^2-C^2-2C\sqrt{1-x^2}}
[/mm]
Mit AWP: [mm] y(0)=\sqrt{-C^2-2C}\stackrel{!}{=}1 \Rightarrow [/mm] C=-1
Also ist eine Lösung des AWP [mm] \sqrt{x^2-1+2\sqrt{1-x^2}}, [/mm] da y in einer Umgebung von 0 positiv sein muss.
Es gibt aber noch eine zweite offensichtliche Lösung: [mm] y\equiv1, [/mm] die haben wir anfangs bei der Division durch [mm] \sqrt{1-y^2} [/mm] verloren.
Stimmt es, dass es hier zwei Lösung für dsa AWP gibt?
Danke!
Gruß,
pyw
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Mo 11.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
stand da wirklich bei dem AWP y(0)=1 y'=0 ?
i.A. gibt man nur y(0) an. wenn wirklich noch y' da steht mußt du überprüfen, ob das bei deiner erstn Lösung auch gilt.
Aber es gibt dann unendlich viele lösungen, du kannst auf y=1 irgendein Stück etwa bis x=r<1 gehen und von da ab die lösung für y(r)=1 nehmen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Mo 11.07.2011 | | Autor: | pyw |
hallo leduart,
es ist nur y(0)=1 als Anfangsbedingung gegeben.
Die Differentialgleichung lautet $ [mm] x\cdot{}\sqrt{1-y^2}+y\cdot{}\sqrt{1-x^2}\cdot{}y'=0, [/mm] $
Das heißt, es gibt unendlich viele Lösungen?
Grüße,
pyw
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 Di 12.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
auf Normalform getrimmt, sieht das ganze so aus:
[mm] $y'=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}*\frac{\sqrt{1-y^2}}{y}=: [/mm] f(x,y)$
f(x,y) ist in keiner Umgebung von (0,1) Lipschitz-stetig im 2. Argument. Sobald Du von x=0 weggehst, verhält sich die Funktion mehr oder weniger wie
[mm] $K*\sqrt{1-y^2}$
[/mm]
und das ist bei y=1 senkrecht, also nicht Lipschitz-stetig. Deswegen greift Picard-Lindelöf nicht.
ciao
Stefan
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