AWP Lösbarkeit < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | Man diskutiere die Lösbarkeit des Anfangswertproblem
y' = [mm] \wurzel{y}, [/mm] y(0)=0, x [mm] \ge [/mm] 0
und gebe zusätzlich eine Lösung des Problems zu dem Anfangswert y(5)=4 an. |
Hallo.
Ich kann die Aufgabe mittels Trennung der Veränderlichen lösen.
Reicht dies um die Lösbarkeit nachzuweisen oder gibt es da ein spezielles Vorgehen?
Viele Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Fr 30.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei deiner Lösung dividierst du durch [mm] \wurzel{y} [/mm] und vergisst dass das nur gilt für [mm] y\ne [/mm] 0
du verlierst also die Losung y=0
damit hast du zu y(0)=0 als AW unendlich viele Lösungen, z.B kannst du y=0 für x<3 [mm] y=1/4(x-3)^2 x\ge3 [/mm] als lösung haben und statt x=3 jeden anderen Wert einsetzen.
Du solltest aus dem beweis vom PL wissen warum es keine eindeutige Lösung geben muss
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Calculu |
> Hallo
> bei deiner Lösung dividierst du durch [mm]\wurzel{y}[/mm] und
> vergisst dass das nur gilt für [mm]y\ne[/mm] 0
> du verlierst also die Losung y=0
> damit hast du zu y(0)=0 als AW unendlich viele Lösungen,
Also meine Lösung zu y(0)=0 lautet: [mm] y=\bruch{x^{2}}{4}
[/mm]
Somit hab ich doch für x=0 meine Lösung y=0.
> z.B kannst du y=0 für x<3 [mm]y=1/4(x-3)^2 x\ge3[/mm] als lösung
> haben und statt x=3 jeden anderen Wert einsetzen.
Das hab ich jetzt nicht verstanden. ??
> Du solltest aus dem beweis vom PL wissen warum es keine
> eindeutige Lösung geben muss
Was ist PL ?
> Gruss leduart
Viele Grüße!
|
|
|
| |
|
Hallo Calculu,
> > Hallo
> > bei deiner Lösung dividierst du durch [mm]\wurzel{y}[/mm] und
> > vergisst dass das nur gilt für [mm]y\ne[/mm] 0
> > du verlierst also die Losung y=0
> > damit hast du zu y(0)=0 als AW unendlich viele
> Lösungen,
>
> Also meine Lösung zu y(0)=0 lautet: [mm]y=\bruch{x^{2}}{4}[/mm]
Verstehe ich nicht ...
Wenn du für die allg. Lösung im Verlaufe der Rechnung durch [mm]y=y(x)[/mm] teilst, kann die entstehende Lösung doch nicht für [mm]x=0[/mm] mit [mm]y(0)=0[/mm] definiert sein ...
Rechne doch bitte mal vor, wie du die allg. Lösung berechnet hast...
> Somit hab ich doch für x=0 meine Lösung y=0.
>
> > z.B kannst du y=0 für x<3 [mm]y=1/4(x-3)^2 x\ge3[/mm] als lösung
> > haben und statt x=3 jeden anderen Wert einsetzen.
>
> Das hab ich jetzt nicht verstanden. ??
Mit [mm]y=0[/mm] meint leduart die Funktion, die konstant 0 ist, also [mm]y\equiv 0[/mm] bzw. [mm]y:\IR^{\ge 0}\to\IR, x\mapsto 0[/mm]
Hier konkret meint leduart die Lösungsfunktion [mm]y=y(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{fuer } x< 3 \\
\tfrac{1}{4}(x-3)^2, & \mbox{fuer } x\ge 3 \end{cases}[/mm]
Die erfüllt [mm]y'=\sqrt{y}[/mm] und [mm]y(0)=0[/mm]
>
> > Du solltest aus dem beweis vom PL wissen warum es keine
> > eindeutige Lösung geben muss
>
> Was ist PL ?
Picard-Lindelöf
> > Gruss leduart
>
> Viele Grüße!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Fr 30.03.2012 | | Autor: | Calculu |
Also meine Rechnung:
y' = [mm] \wurzel{y}
[/mm]
y' = [mm] y^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] y^{ \bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{y^{\bruch{1}{2}}}dy [/mm] = 1dx
[mm] y^{-\bruch{1}{2}}dy [/mm] = 1dx
[mm] \integral_{}^{}y^{-\bruch{1}{2}}dy [/mm] = [mm] \integral_{}^{}1dx
[/mm]
[mm] 2y^{\bruch{1}{2}} [/mm] = x + c
[mm] y^{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{x}{2} [/mm] + [mm] c_{1}
[/mm]
y = [mm] \bruch{x^{2}}{4} [/mm] + [mm] 2xc_{1} [/mm] + [mm] (c_{1})^{2}
[/mm]
Nun AW einsetzen und [mm] c_{1} [/mm] bestimmen:
y(0) = [mm] \bruch{0^{2}}{4} [/mm] + [mm] 2*0*c_{1} [/mm] + [mm] (c_{1})^{2} [/mm] = 0
[mm] \to c_{1}=0
[/mm]
Also: y = [mm] \bruch{x^{2}}{4}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Fr 30.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nochmal: hast du die posts gelesen?
du hast recht, [mm] y=x^2/4 [/mm] ist eine der millarden Lösungen der Dgl zu dem gegebenen Anfangswert.
aber das AW problem ist nicht eindeutig lösbar! 2 andere lösungen habe ich hingeschrieben. warum gehst du nicht darauf ein? und darauf, dass du beim dividieren nicht durch 0 teilen darfst, weil du dann mögliche lösungen verlierst.
um das an einem anderen einfachen bsp zu zeigen:
Löse die Gl x*(x-2)*(x-3)*(x-4)=0
Dein Vorgehen: ich teile durch y, dann durch x-2 dann durch x-3 bleibt x-4=0 die gleichung hat die Lösung x=4
von den anderen 3 lösungen redest du nicht mehr.
dabei ist x=4 ja eine richtige Lösung aber eben nur eine von vielen!
Versuch die posts wirklich zu lesen, frag nach, wenn du nicht verstehst, aber schreib nicht 3 mal dasselbe, dass man mit Sep der variablen für [mm] y\ne0 [/mm] rechnen kann ist richtig.
Gruss leduart
|
|
|
|
