AWP Matrix < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:14 So 08.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
| Aufgabe | | Lösen Sie das AWP [mm] \vec{y^{'}}(t)= \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }\vec{y}(t), \vec{y}(0)= \vektor{1 \\ 1}. [/mm] |
Hallo zusammen. Ich habe mehrere Fragen zu dieser Aufgabe.
1. Ich habe diese schon mittels der Laplace-Transformation gelöst. Gibt es dabei irgendwelche Einschränkungen, wann ich diese nutzen darf? Oder geht das immer? Im folgenden möchte ich den Lösungsweg über die Eigenwerte nachvollziehen.
2. Ich verstehe die Vorgehensweise nicht, wenn man doppelte Nst. hat. Kann mir das jemand Schritt für Schritt erklären?
Mein Ansatz:
[mm] EW_{1}=EW_{2}=1
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0}*\vektor{x_{1} \\ x_{2}}=0
[/mm]
[mm] x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{2}=0 [/mm] würde dieses Gls erfüllen. Dabei ist der Nullvektor kein möglicher Eigenvektor. Wir haben in der Matrix eine Nullzeile, weshalb die Dimension des Eigenraums 1 ist und es somit einen Eigenvektor geben muss. Angenommen, ich habe keine Nullzeile, dann gäbe es doch trotzdem Eigenvektoren? Die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte ist 2 und somit ungleich der geometrischen Vielfachheit (1), weshalb die Matrix nicht diagonalisierbar ist.
Mehr weiß ich noch nicht. Wie geht man weiter vor? Wäre nett, wenn mir das jemand Schritt für Schritt erklären könnte. Danke !
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Hallo Ciotic,
> Lösen Sie das AWP [mm]\vec{y^{'}}(t)= \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }\vec{y}(t), \vec{y}(0)= \vektor{1 \\ 1}.[/mm]
>
> Hallo zusammen. Ich habe mehrere Fragen zu dieser Aufgabe.
>
> 1. Ich habe diese schon mittels der Laplace-Transformation
> gelöst. Gibt es dabei irgendwelche Einschränkungen, wann
> ich diese nutzen darf? Oder geht das immer? Im folgenden
> möchte ich den Lösungsweg über die Eigenwerte
> nachvollziehen.
Sofern es sich um homogene DGL-Systeme handelt geht das immer.
>
> 2. Ich verstehe die Vorgehensweise nicht, wenn man doppelte
> Nst. hat. Kann mir das jemand Schritt für Schritt
> erklären?
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]EW_{1}=EW_{2}=1[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0}*\vektor{x_{1} \\ x_{2}}=0[/mm]
>
> [mm]x_{1}=1[/mm] und [mm]x_{2}=0[/mm] würde dieses Gls erfüllen. Dabei ist
> der Nullvektor kein möglicher Eigenvektor. Wir haben in
> der Matrix eine Nullzeile, weshalb die Dimension des
> Eigenraums 1 ist und es somit einen Eigenvektor geben muss.
> Angenommen, ich habe keine Nullzeile, dann gäbe es doch
> trotzdem Eigenvektoren? Die algebraische Vielfachheit der
> Eigenwerte ist 2 und somit ungleich der geometrischen
> Vielfachheit (1), weshalb die Matrix nicht diagonalisierbar
> ist.
>
> Mehr weiß ich noch nicht. Wie geht man weiter vor? Wäre
> nett, wenn mir das jemand Schritt für Schritt erklären
> könnte. Danke !
Zunächst hast Du eine Lösung des obigen DGL-Systems:
[mm]x_{l1}\left(t\right)=\pmat{1 \\ 0}*e^{t}[/mm]
Um eine zweite linear abhängige Lösung zu finden,
wird der Ansatz so gewählt:
[mm]x_{l2}\left(t\right)=\left(\vec{a}+\vec{b}*t\right)*e^{t}[/mm]
Einsetzen dieses Ansatzes in das DGL.-System liefert:
[mm]\vec{b}=\left(\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}-\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\right)\vec{a}[/mm]
[mm]\vec{0}=\left(\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}-\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\right)\vec{b}[/mm]
Hier sieht man, daß [mm]\vec{b}[/mm] ein Eigenvektor ist,
und [mm]\vec{a}[/mm] ein Vektor, der durch die Matrix
[mm]\left(\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}-\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\right)[/mm] auf den Vektor [mm]\vec{b}[/mm] abgebildet wird.
D.h. [mm]\vec{b}[/mm] ist ein Eigenvektor bzw. Hauptvektor der Stufe 1.
[mm]\vec{a}[/mm] ist ein Hauptvektor der Stufe 2 und erfüllt
die Gleichung
[mm]\vec{0}=\left(\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}-\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\right)^{2}\vec{a}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 So 08.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
> Zunächst hast Du eine Lösung des obigen DGL-Systems:
>
> [mm]x_{l1}\left(t\right)=\pmat{1 \\ 0}*e^{t}[/mm]
>
Das ist soweit verständlich.
> Um eine zweite linear abhängige Lösung zu finden,
> wird der Ansatz so gewählt:
>
> [mm]x_{l2}\left(t\right)=\left(\vec{a}+\vec{b}*t\right)*e^{t}[/mm]
>
Nehme ich mal so hin.
>
> Einsetzen dieses Ansatzes in das DGL.-System liefert:
Was setzt du wo ein? Kannst du das noch erläutern?
>
> [mm]\vec{b}=\left(\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}-\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\right)\vec{a}[/mm]
Wie kommst du auf die folgende Umformung ?
>
> [mm]\vec{0}=\left(\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}-\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\right)\vec{b}[/mm]
>
> Hier sieht man, daß [mm]\vec{b}[/mm] ein Eigenvektor ist,
> und [mm]\vec{a}[/mm] ein Vektor, der durch die Matrix
> [mm]\left(\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}-\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\right)[/mm]
> auf den Vektor [mm]\vec{b}[/mm] abgebildet wird.
>
> D.h. [mm]\vec{b}[/mm] ist ein Eigenvektor bzw. Hauptvektor der Stufe
> 1.
>
> [mm]\vec{a}[/mm] ist ein Hauptvektor der Stufe 2 und erfüllt
> die Gleichung
>
> [mm]\vec{0}=\left(\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}-\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\right)^{2}\vec{a}[/mm]
>
>
> Gruss
> MathePower
So richtig steige ich nicht durch :(
Aber Danke !
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Hallo Ciotic,
> > Zunächst hast Du eine Lösung des obigen DGL-Systems:
> >
> > [mm]x_{l1}\left(t\right)=\pmat{1 \\ 0}*e^{t}[/mm]
> >
> Das ist soweit verständlich.
>
> > Um eine zweite linear abhängige Lösung zu finden,
> > wird der Ansatz so gewählt:
> >
> > [mm]x_{l2}\left(t\right)=\left(\vec{a}+\vec{b}*t\right)*e^{t}[/mm]
> >
> Nehme ich mal so hin.
> >
> > Einsetzen dieses Ansatzes in das DGL.-System liefert:
>
> Was setzt du wo ein? Kannst du das noch erläutern?
Der Ansatz wird in die gegebene DGL eingesetzt.
> >
> > [mm]\vec{b}=\left(\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}-\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\right)\vec{a}[/mm]
>
> Wie kommst du auf die folgende Umformung ?
> >
> > [mm]\vec{0}=\left(\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}-\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\right)\vec{b}[/mm]
>
Diese Bedingungsgleichungen entstehen durch Koeffizientenvergleich.
> >
> > Hier sieht man, daß [mm]\vec{b}[/mm] ein Eigenvektor ist,
> > und [mm]\vec{a}[/mm] ein Vektor, der durch die Matrix
> > [mm]\left(\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}-\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\right)[/mm]
> > auf den Vektor [mm]\vec{b}[/mm] abgebildet wird.
> >
> > D.h. [mm]\vec{b}[/mm] ist ein Eigenvektor bzw. Hauptvektor der Stufe
> > 1.
> >
> > [mm]\vec{a}[/mm] ist ein Hauptvektor der Stufe 2 und erfüllt
> > die Gleichung
> >
> > [mm]\vec{0}=\left(\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}-\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}\right)^{2}\vec{a}[/mm]
>
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> So richtig steige ich nicht durch :(
>
> Aber Danke !
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 So 08.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
Also die gegebene DGL lautet:
[mm] \vec{y^{'}}(t)= \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }\vec{y}(t)
[/mm]
Wo genau kann ich
$ [mm] x_{l2}\left(t\right)=\left(\vec{a}+\vec{b}\cdot{}t\right)\cdot{}e^{t} [/mm] $
nun einsetzen?
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Hallo Ciotic,
> Also die gegebene DGL lautet:
>
> [mm]\vec{y^{'}}(t)= \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }\vec{y}(t)[/mm]
>
> Wo genau kann ich
>
>
> [mm]x_{l2}\left(t\right)=\left(\vec{a}+\vec{b}\cdot{}t\right)\cdot{}e^{t}[/mm]
>
> nun einsetzen?
Bevor Du Dich an das Einsetzen machst, definiere
[mm]A:=\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}[/mm]
Das macht die weitere Rechnung übersichtlicher.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 So 08.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
Scheinbar stehe ich total auf dem Schlauch.
$ [mm] \vec{y^{'}}(t)= A\vec{y}(t) [/mm] $
Hilft mir das jetzt weiter?
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Hallo Ciotic,
> Scheinbar stehe ich total auf dem Schlauch.
>
> [mm]\vec{y^{'}}(t)= A\vec{y}(t)[/mm]
>
> Hilft mir das jetzt weiter?
Ja, wie schon geschrieben,
das macht die weitere Rechnung übersichtlicher.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 So 08.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
Und wie gehe ich nun weiter vor? Ich weiß nicht, wie ich die DGL und deinen Ansatz kombinieren soll.
Danke!
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Hallo Ciotic,
> Und wie gehe ich nun weiter vor? Ich weiß nicht, wie ich
> die DGL und deinen Ansatz kombinieren soll.
>
Ausgehend von [mm] \vec{y^{'}}(t)= A\vec{y}(t)[/mm]
Setze für [mm]
\vec{y}\left(t\right)=\left(\vec{a}+\vec{b}\cdot{}t\right)\cdot{}e^{t} [/mm] ein.
> Danke!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 So 08.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
Alles klar, damit ergibt sich:
$ [mm] \vec{y^{'}}(t)= A\left(\vec{a}+\vec{b}\cdot{}t\right)\cdot{}e^{t} [/mm] $
Mir aber noch schleierhaft, wie man dann das [mm] e^{t} [/mm] weg bekommt und weiter umformt.
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Hallo Ciotic,
> Alles klar, damit ergibt sich:
>
> [mm]\vec{y^{'}}(t)= A\left(\vec{a}+\vec{b}\cdot{}t\right)\cdot{}e^{t}[/mm]
>
> Mir aber noch schleierhaft, wie man dann das [mm]e^{t}[/mm] weg
> bekommt und weiter umformt.
>
Zunächst musst Du noch die Ableitung [mm]\vec{y^{'}}(t)[/mm] bilden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 So 08.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
Dann komme ich auf :
[mm] $\vec{b}+\vec{a}+\vec{b}t=A*(\vec{a}+\vec{b}t)$
[/mm]
Das forme ich um:
[mm] $\vec{b}=A\vec{a}+A\vec{b}t-\vec{a}-\vec{b}t$
[/mm]
Doch wie forme ich nun weiter um?
Danke !
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Hallo Ciotic,
> Dann komme ich auf :
>
> [mm]\vec{b}+\vec{a}+\vec{b}t=A*(\vec{a}+\vec{b}t)[/mm]
>
> Das forme ich um:
>
> [mm]\vec{b}=A\vec{a}+A\vec{b}t-\vec{a}-\vec{b}t[/mm]
>
> Doch wie forme ich nun weiter um?
>
Jetzt führst Du einen Koeffizientenvergleich durch.
Vergleiche dazu die Koeffizienten vor [mm]t^{0}[/mm] bzw. [mm]t^{1}[/mm]
auf beiden Seiten der Gleichung.
> Danke !
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 So 08.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
Dabei komme ich auf
[mm] \vec{b}=A\vec{b} [/mm] und [mm] \vec{a}=A\vec{a}. [/mm] Korrekt?
Muss ich das dann wieder in die Gleichung für [mm] \vec{b} [/mm] einsetzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 So 08.07.2012 | | Autor: | teo |
> Dabei komme ich auf
>
> [mm]\vec{b}=A\vec{b}[/mm] und [mm]\vec{a}=A\vec{a}.[/mm] Korrekt?
>
> Muss ich das dann wieder in die Gleichung für [mm]\vec{b}[/mm]
> einsetzen?
Hallo, vergleiche doch nochmal die erste Antwort von Mathepower.
Es muss [mm]\vec{0}=A\vec{b}[/mm] und [mm]\vec{b}=A\vec{a} [/mm] gelten.
[mm] \vec{b} [/mm] ist dabei der Eigenvektor den du bereits hast, um [mm] \vec{a} [/mm] zu erhalten musst du nur noch das Gleichungssystem [mm] A\vec{a}=\vec{b} [/mm] lösen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 Fr 13.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
Sorry für die späte Antwort. Habe es mittlerweile verstanden, hatte einen Fehler beim Koeffizientenvergleich.
Danke Euch !
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