AWP / Picard-Lindelöf < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Mi 23.10.2013 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Sei $ c>0 $ sowie $ [mm] y_0>0 [/mm] $ für das Anfangswertproblem $\ \ \ y' = [mm] cy^2, [/mm] \ \ \ [mm] y(0)=y_0 [/mm] \ \ \ $ gegeben.
a) Zeigen Sie, dass für [mm] $n\in\IN$ [/mm] die Funktion $ [mm] f(x)=cx^n [/mm] $ Lipschitz-stetig auf jedem Intervall $ [-a,a], \ a>0 $ ist.
Hinweis: Zeigen Sie die Identität $ [mm] x^n-y^n=(x-y)\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k}. [/mm] $
b) Bestimmen Sie mittels Trennung der Variablen das maximale Existenzintervall für eine Lösung des AWPs.
c) Können Sie mit dem Satz von Picard-Lindelöf eine Eindeutigkeitsaussage über die in b) berechnete Lösung treffen? Begründen Sie. Wenn nicht, gibt es ein Intervall, auf dem eine eindeutige Lösung des AWPs gegeben ist? |
Hey! Wäre nett wenn jemand ein paar Worte dazu verlieren könnte. :)
a) Hier gilt ja zu zeigen, dass $ |f(x)-f(y)| < L*|x-y| $, hier also:
$ [mm] |c*x^n-c*y^n| [/mm] = [mm] c*|x^n-y^n| [/mm] $ %% mit obigem Hinweis folgt
$= [mm] c*|(x-y)*\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k}| [/mm] $
Bei Betrachtung des Intervalls $[-a,a]$ dachte ich mir, dass $ [mm] \sum\limits_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k} [/mm] < [mm] \sum\limits_{k=0}^{n-1}a^n [/mm] = [mm] n*a^n [/mm] $ gelten dürfte, also insgesamt:
[mm] $|f(x)-f(y)|=|c*x^n-c*y^n| [/mm] < [mm] c*n*a^n*|x-y| [/mm] $ mit der L-Konstante [mm] $L=c*n*a^n.$ [/mm] So in Ordnung?
b) Mittels Trennung der Variablen:
[mm] $y'=cy^2 \gdw \bruch{dy}{dx}=cy^2 \gdw \bruch{1}{cy^2}dy=1 [/mm] dx $
$ [mm] \integral \bruch{1}{cy^2}dy=\integral [/mm] 1 dx [mm] \gdw -\bruch{1}{cy}+k_1=x+k_2 [/mm] $ %% mit Integrationskonstanten [mm] k_1, k_2.
[/mm]
Führt mich zu [mm] y=\bruch{1}{c(x+k_1-k_2)}
[/mm]
Was ist jetzt mein "maximales Existenzintervall", wie in der Aufgabenstellung gefordert? Kenne den Anfangswert [mm] y(0)=y_0 [/mm] und weiß, dass die Lösung für [mm] x=k_2-k_1 [/mm] nicht definiert ist.. aber leider nicht, was ich da bezüglich des Existenzintervalls hineininterpretieren soll. Oder heisst das einfach, dass die Lösung eine globale ist?
Vielen Dank & lieben Gruß!
chesn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Mi 23.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]c>0[/mm] sowie [mm]y_0>0[/mm] für das Anfangswertproblem [mm]\ \ \ y' = cy^2, \ \ \ y(0)=y_0 \ \ \[/mm]
> gegeben.
>
> a) Zeigen Sie, dass für [mm]n\in\IN[/mm] die Funktion [mm]f(x)=cx^n[/mm]
> Lipschitz-stetig auf jedem Intervall [mm][-a,a], \ a>0[/mm] ist.
>
> Hinweis: Zeigen Sie die Identität
> [mm]x^n-y^n=(x-y)\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k}.[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie mittels Trennung der Variablen das
> maximale Existenzintervall für eine Lösung des AWPs.
>
> c) Können Sie mit dem Satz von Picard-Lindelöf eine
> Eindeutigkeitsaussage über die in b) berechnete Lösung
> treffen? Begründen Sie. Wenn nicht, gibt es ein Intervall,
> auf dem eine eindeutige Lösung des AWPs gegeben ist?
> Hey! Wäre nett wenn jemand ein paar Worte dazu verlieren
> könnte. :)
>
> a) Hier gilt ja zu zeigen, dass [mm]|f(x)-f(y)| < L*|x-y| [/mm],
> hier also:
>
> [mm]|c*x^n-c*y^n| = c*|x^n-y^n| [/mm] %% mit obigem Hinweis folgt
>
> [mm]= c*|(x-y)*\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k}|[/mm]
>
> Bei Betrachtung des Intervalls [mm][-a,a][/mm] dachte ich mir, dass
> [mm]\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k} < \sum\limits_{k=0}^{n-1}a^n = n*a^n[/mm]
> gelten dürfte,
Das stimmt so nicht. Wo sind die Beträge geblieben ??
[mm] |\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k}| \le \sum\limits_{k=0}^{n-1}|x|^k*|y|^{n-1-k} \le \sum\limits_{k=0}^{n-1}a^k*a^{n-1-k}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^{n-1}= n*a^{n-1}
[/mm]
> also insgesamt:
>
> [mm]|f(x)-f(y)|=|c*x^n-c*y^n| < c*n*a^n*|x-y|[/mm] mit der
> L-Konstante [mm]L=c*n*a^n.[/mm] So in Ordnung?
nein. Es ist
[mm]|f(x)-f(y)|=|c*x^n-c*y^n| < c*n*a^{n-1}*|x-y|[/mm] ,
also Lipschitzkonstante [mm] L=c*n*a^{n-1}
[/mm]
>
> b) Mittels Trennung der Variablen:
>
> [mm]y'=cy^2 \gdw \bruch{dy}{dx}=cy^2 \gdw \bruch{1}{cy^2}dy=1 dx[/mm]
>
> [mm]\integral \bruch{1}{cy^2}dy=\integral 1 dx \gdw -\bruch{1}{cy}+k_1=x+k_2[/mm]
> %% mit Integrationskonstanten [mm]k_1, k_2.[/mm]
>
> Führt mich zu [mm]y=\bruch{1}{c(x+k_1-k_2)}[/mm]
Da ist ein Vorzeichenfehler drin, und die beiden Konstanten kannst Du zu einer Konstanten [mm] c_1 [/mm] zusammenfassen. Das liefert:
[mm] y(x)=\bruch{-1}{cx+c_1}
[/mm]
y soll das AWP lösen, also: [mm] y_0=y(0)=\bruch{-1}{c_1}
[/mm]
D.h.: [mm] c_1=-\bruch{1}{y_0}
[/mm]
Das führt auf die Lösung
(*) [mm] y(x)=\bruch{y_0}{1-y_0cx}
[/mm]
>
> Was ist jetzt mein "maximales Existenzintervall", wie in
> der Aufgabenstellung gefordert? Kenne den Anfangswert
> [mm]y(0)=y_0[/mm] und weiß, dass die Lösung für [mm]x=k_2-k_1[/mm] nicht
> definiert ist.. aber leider nicht, was ich da bezüglich
> des Existenzintervalls hineininterpretieren soll. Oder
> heisst das einfach, dass die Lösung eine globale ist?
Die Funktion in (*) ist def. auf [mm] \IR \setminus \{ \bruch{1}{y_0*c}\}
[/mm]
Das max. Existenzintervall ist das größte Intervall I mit den folgenden Eigenschaften:
1. I ist Teilmenge von [mm] \IR \setminus \{ \bruch{1}{y_0*c}\}
[/mm]
und
2. 0 [mm] \in [/mm] I
Damit ist I= ????
FRED
>
> Vielen Dank & lieben Gruß!
> chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 Mi 23.10.2013 | | Autor: | chesn |
Hallo! Vielen Dank erstmal, hat mir sehr geholfen. Habe wohl übersehen, dass für die L-stetigkeit ein [mm] \le [/mm] genügt.
Und das Existenzintervall dürfte dann I=$ [mm] \IR \setminus \{ \bruch{1}{y_0\cdot{}c}\} [/mm] $ sein.
Tausend Dank!
Lieben Gruß,
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Mi 23.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo! Vielen Dank erstmal, hat mir sehr geholfen. Habe
> wohl übersehen, dass für die L-stetigkeit ein [mm]\le[/mm]
> genügt.
> Und das Existenzintervall dürfte dann I=[mm] \IR \setminus \{ \bruch{1}{y_0\cdot{}c}\}[/mm]
Nein. Das ist kein Intervall !
Nächster Versuch .....
FRED
> sein.
>
> Tausend Dank!
>
> Lieben Gruß,
> chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:08 Mi 23.10.2013 | | Autor: | chesn |
Hey! Also als Intervall dann:
[mm] I=(-\infty, \bruch{1}{y_0*c})\cup(\bruch{1}{y_0*c},+\infty)\cup\{0\} [/mm] ? Oder steh ich grad auf dem Schlauch?
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Mi 23.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hey! Also als Intervall dann:
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> [mm]I=(-\infty, \bruch{1}{y_0*c})\cup(\bruch{1}{y_0*c},+\infty)\cup\{0\}[/mm]
> ? Oder steh ich grad auf dem Schlauch?
Ja, obige Menge ist nichts anderes als $ [mm] \IR \setminus \{ \bruch{1}{y_0\cdot{}c}\} [/mm] $
Wir malen, d.h. Du malst: die Zahlengerade. Dann markierst Du die Null und die Zahl [mm] \bruch{1}{y_0\cdot{}c} [/mm] ( beachte dabei, dass c>0 und [mm] y_0>0 [/mm] ist).
Das gesuchte Intervall hat [mm] \bruch{1}{y_0\cdot{}c} [/mm] als Randpunkt und enhält die o.
Machts Klick ?
FRED
>
> Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Mi 23.10.2013 | | Autor: | chesn |
[mm] I=[0,\bruch{1}{y_0*c}) [/mm] ? Sorry für die vielen Verständnisprobleme..
Was passiert dann mit meiner Lösung auf den Intervallen [mm] (-\infty, [/mm] 0) bzw. [mm] (\bruch{1}{y_0*c}, \infty)?
[/mm]
Vielen Dank & lieben Gruß,
chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Mi 23.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]I=[0,\bruch{1}{y_0*c})[/mm] ?
Wieder daneben !
Was habe ich oben gesagt ? Das: .... "das größte Intervall mit ... "
Und das wäre
$I=( - [mm] \infty, \bruch{1}{y_0*c})$
[/mm]
> Sorry für die vielen
> Verständnisprobleme..
>
> Was passiert dann mit meiner Lösung auf den Intervallen
> [mm](-\infty,[/mm] 0) bzw. [mm](\bruch{1}{y_0*c}, \infty)?[/mm]
Auf beiden Intervallen ist obiges y Lösung der Differentialgleichung, aber keine Lösung des AWPs, denn der Anfangswert 0 liegt in keinem der beiden Intervalle !!!
FRED
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> Vielen Dank & lieben Gruß,
> chesn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 23.10.2013 | | Autor: | chesn |
> Auf beiden Intervallen ist obiges y Lösung der Differentialgleichung, aber keine Lösung des AWPs, denn der Anfangswert 0 liegt in keinem der beiden Intervalle !!!
Der Satz brachte mir letztendlich doch noch ein ganzes Stück Erleuchtung. Tausend Dank nochmal!
Lieben Gruß!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Mi 23.10.2013 | | Autor: | fred97 |
Merke:
Ist D eine Teilmenge des [mm] \IR^2, [/mm] ist f:D [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion und sind [mm] x_0,y_0 \in \IR, [/mm] so ist das Paar (y,I) eine Lösung des AWPs
y'=f(x,y), [mm] y(x_0)=y_0, [/mm] wenn gilt:
1. I ist ein Intervall in [mm] \IR [/mm] mit [mm] x_0 \in [/mm] I
und
2. y:I [mm] \to \IR [/mm] ist eine differenzierbare Funktion mit den Eigenschaften:
(a) (x,y(x)) [mm] \in [/mm] D für alle x [mm] \in [/mm] I
(b) y'(x)=f(x,y(x)) für alle x [mm] \in [/mm] I
(c) [mm] y(x_0)=y_0.
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Mi 23.10.2013 | | Autor: | chesn |
Super, Danke!
Leider wurde das in meiner Vorlesung nicht näher erläutert, bzw. als bekannt vorausgesetzt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Mi 23.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Super, Danke!
>
> Leider wurde das in meiner Vorlesung nicht näher
> erläutert, bzw. als bekannt vorausgesetzt.
Was ist denn das für eine Vorlesung ? In einer Vorlesung über DGLen sollte doch der Begriff der "Lösung" sauber formuliert werden !
FRED
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