AWP einer Linearen Diffgl. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Caroline |
Hallo alle zusammen, ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:
"Lösen SIe das AWP y' = [mm] \pmat{ 3 & 1 & 0 \\0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 }y, [/mm] y(2) = [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 3}"
[/mm]
Ich habe es mit einem Ansatz aus der Übung versucht, indem ich die Eigenwerte und Evn ausrechne und dann y = [mm] c_{1} [/mm] * EV + [mm] e^{EW *t} [/mm] rechne, aber ich bekomm das nicht mit dem Anfangswert hin, da mein EV nur in der 1. Komp keine 0 hat.
HOffe ihr könnt mir helfen
Grüße
Caro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Mi 21.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Berechne ein Fundamentalsystem des linearen Systems, es besteht aus 3 linear unabhängigen Lösungen des Systems. Die allgemeine Lösung ist dann eine Linearkombination dieser Lösungen. Um die Lösung des Anfangswertproblems zu erhalten, setzt Du Deine Anfangsbedingung in diese allg. Lösung ein und berechnest daraus die gesuchte Lösung.
Dein Anfangswertproblem hat genau eine Lösung. Ist Dir klar warum ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Caroline |
Danke für den Tipp, aber das ist ja genau mein Problem. Hätte die Matrix 3 verschiedene Eigenwerte wäre das kein Problem, so bekomm ich aber nur 1 Lösung, welche auch nicht zum Anfangswert passt, da ich die 3 in der 3. Komponente nicht hinbekomme.
ich hab am schluss raus, dass y = c * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] * [mm] e^{3t} [/mm] sein muss, aber wenn ich nun mein Anfangswert einsetze bekomme ich die letzte 3 nicht hinein. Woher bekomme ich die beiden anderen lin. unabh. Lösungen her? Ich weiß keinen Ansatz außer eben mit den Eigenwerten...
Mache ich mit meinem Ansatz vllt. irgendwas falsch, muss ich noch irgendwas beachten? oder funktioniert dieser vllt. nur wenn ich 3 versch. EW habe?
Trotzdem Danke und Grüße
Caro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Mi 21.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Schau doch mal in Deinen Unterlagen, Büchern, Skripten etc.. nach, wie man vorgeht,wenn eigenwerte mehrfach auftreten.
Dort findest Du sicher, wie man ein Fundamentalsystem herstellt, wenn, wie in Deinem Fall, 3 ein 3-facher Eigenwert ist
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Caroline |
Das dumme ist ja, dass (wie schon gesagt) ich den Ansatz aus der Übung / Tutorium habe, dort hat uns der Übungsleiter diesen gezeigt, die Bsp. dort waren leider alle so konstruiert, dass 3 versch. Eigenwerte rauskamen, in der Vorlesung wurde dieser Ansatz nicht erwähnt nur eben im Tutorium...
mfg
Caro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Vreni |
Hallo Caro,
eure bisherige Lösungsmethode funktioniert nur, wenn man drei verschieden Eigenvektoren hat.
Ganz allgemein, wenn man eine Differentialgleichung der Form
y=A*y, A ist eine quadratische Matrix und y, y Vektoren,
gegeben hat mit der gegebenen Anfangsbedingung [mm] y(t_0),
[/mm]
sieht die Lösung so aus:
y(t)= [mm] e^{A(t-t_0)}*y(t_0)
[/mm]
Das das eine Lösung der Differentialgleichung ist, kannst du dir mal überlegen, indem du die Funktion ableitest und beim Nachdifferentieren die Matrix vor die Funktion schreibst. Und das [mm] (t-t_0) [/mm] im Exponenten braucht man, damit die Anfangsbedingung erfüllt wird (setzte mal für t [mm] t_0 [/mm] ein!)
Soweit von der Theorie her klar?
Dann kommen wir zur Praxis: Wie berechnet man [mm] e^{A(t-t_0)}?
[/mm]
Diese Funktion ist über die Potenzreihe der Exponentialfunktion definiert(die du hoffentlich für reelle Zahlen kennst):
[mm] e^{A(t-t_0)}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(A(t-t_0))^k}{k!}
[/mm]
Wenn du nur eine Diagonalmatrix hast, kannst du [mm] A^0, A^1, [/mm] usw. einfach berechnen, da kann man die Funktion dann sozusagen direkt in die Matrix "hineinziehen".
Bei deiner Matrix ist jetzt praktisch, dass du sie in einen Diagonalanteil und einen anderen Zerlegen kannst:
[mm] \pmat{ 3 & 1 & 0 \\0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 }=\pmat{ 3 & 0 & 0 \\0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 } +\pmat{ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}=D+N
[/mm]
mit [mm] D=\pmat{ 3 & 0 & 0 \\0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }
[/mm]
und [mm] N=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
das tolle ist nun: [mm] e^{D+N}=e^{D}*e^{N} [/mm] (das geht nur, weil D*N=N*D!)
[mm] e^{D} [/mm] kannst du berechnen, das ist ja eine Diagonalmatrix.
Und [mm] e^{N} [/mm] ist auch bewältigbar, berechne mal [mm] N^1, N^2, N^3.
[/mm]
Dann musst du eigentlich alles nur noch in die Formeln einsetzen, fertig.
Gruß,
Vreni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Caroline |
Danke Vreni,
du hast mir sehr geholfen 
Liebe Grüße
Caro
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