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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Fr 28.02.2014 | | Autor: | docicho |
| Aufgabe | Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem
[mm] \dot [/mm] x= [mm] \begin{pmatrix}
3 & 1 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}x+ {e^t \choose 0}, x(0)={1\choose 0} [/mm] |
Hallo zusammen,
momentan zerbreche ich hier mir an dieser Aufgabe den Kopf.
Ich habe die beiden Eigenwerte ausgerechent und einen Eigenvektor.
Den 2. will ich mit dem einem Ansatz lösen, wofür ich auch mein x(t) erhalte. Nun hackt es aber jetzt. Ich habe unbekannte größen b und t drin, sodass ich meine Fundamentalmatrix nicht ausrechnen kann, um dann mit der Variation der Konstanten weiterzurechnen.
Ist dieser Plan falsch und gibt es einen anderen Weg?
Oder muss ich hier das b"geschickt" wählen?
Meine Rechnung habe ich im Anhang beigefügt, hoffentlich gut lesbar.
Für Tipps oder Ideen würde ich mich sehr freuen!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo dochicho,
> Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem
>
> [mm] \dot[/mm] x= [mm] \begin{pmatrix}
3 & 1 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}x+ {e^t \choose 0}, x(0)={1\choose 0}[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> momentan zerbreche ich hier mir an dieser Aufgabe den
> Kopf.
> Ich habe die beiden Eigenwerte ausgerechent und einen
> Eigenvektor.
> Den 2. will ich mit dem einem Ansatz lösen, wofür ich
> auch mein x(t) erhalte. Nun hackt es aber jetzt. Ich habe
> unbekannte größen b und t drin, sodass ich meine
> Fundamentalmatrix nicht ausrechnen kann, um dann mit der
> Variation der Konstanten weiterzurechnen.
> Ist dieser Plan falsch und gibt es einen anderen Weg?
> Oder muss ich hier das b"geschickt" wählen?
>
Für die zweite linear unabhängige Lösung
setzt Du an mit:
[mm]\left(\vec{a}+t*\vec{b}\right)*e^{\lambda*t}[/mm]
Und ermittelst dann die Vektoren a und b
durch Koeffizientenvergleich hinsichtlich t.
> Meine Rechnung habe ich im Anhang beigefügt, hoffentlich
> gut lesbar.
>
Kann ich nicht beurteilen, da der Dateianhang fehlt.
> Für Tipps oder Ideen würde ich mich sehr freuen!!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Datei-Anhang
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Fr 28.02.2014 | | Autor: | docicho |
Sorry, das es mit dem Anhang gedauert hat, bin hier noch nicht so erfahren...
Du warst sehr schnell mit deiner Antwort. Vielen Dank schon einmal.
Genau das habe ich gemacht. Nach dem Koeffizientenvergleich habe ich dann
[mm] x(t)=\pmat{ \bruch{3}{2}b & bt \\ -0.5 & -bt }*e^{2t}
[/mm]
erhalten.
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Hallo docicho,
> Sorry, das es mit dem Anhang gedauert hat, bin hier noch
> nicht so erfahren...
> Du warst sehr schnell mit deiner Antwort. Vielen Dank
> schon einmal.
>
> Genau das habe ich gemacht. Nach dem Koeffizientenvergleich
> habe ich dann
>
> [mm]x(t)=\pmat{ \bruch{3}{2}b & bt \\ -0.5 & -bt }*e^{2t}[/mm]
>
> erhalten.
>
Die 2. Lösung muss ebenfalls ein Vektor sein.
Demnach stimmt obige nicht.
Die ersten beiden Lösungen für c und d
hast Du im Koeffizientenvergleich richtig ermittelt.
Setzt Du diese beiden Lösungen für c und d
in die verbleibenden Gleichungen ein, so
erhältst Du eine wahre Aussage.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Fr 28.02.2014 | | Autor: | docicho |
Nach dem Koeffizientenvergleich bleibt bei mir das b noch unbekannt.
Und jetzt weiß ich nicht weiter...
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Hallo docicho,
> Nach dem Koeffizientenvergleich bleibt bei mir das b noch
> unbekannt.
> Und jetzt weiß ich nicht weiter...
Wenn der Koeffizientenvergleich richtig
duichgeführt wurde, so kannst du dann b frei wählen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Fr 28.02.2014 | | Autor: | docicho |
Hallo mathepower,
vielen Dank schon einmal für deine Zeit und deine schnellen Antworten!
Beim Schreiben war ich etwas zu schnell, es sollte natürlich ein Vektor sein
[mm] \vektor{\bruch{3}{2}*b +bt\\ -0.5b-bt}*e^{2t}
[/mm]
Hab es nochmal nachgerechnet. Das müsste nun so stimmen.
Na ja, wenn ich b wählen kann, dann könnte ich b=2 nehmen, damit der Vektor ganze Zahlen hat...
Mit dieser Lösung habe ich aber mein AWP noch nicht gelöst. Muss ich nun die beiden Vektoren zu einer Matrix zusammenfügen und dann die Variation der Konstanten anwenden?
[mm] e^{(t-\tau)*A}\vektor{1 \\ 0}+\integral_{0}^{t}{e^((t-s)*A) \vektor{e^t \\ 0}ds}
[/mm]
(Irgendwie steht (t-s)*A nicht wirklich im Exponenten.)
Aber dann wird doch die Berechnung von e^(tA) nicht gerade schön.
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Hallo docicho,
> Hallo mathepower,
>
> vielen Dank schon einmal für deine Zeit und deine
> schnellen Antworten!
>
> Beim Schreiben war ich etwas zu schnell, es sollte
> natürlich ein Vektor sein
>
> [mm]\vektor{\bruch{3}{2}*b +bt\\ -0.5b-bt}*e^{2t}[/mm]
>
> Hab es nochmal nachgerechnet. Das müsste nun so stimmen.
>
Das stimmt auch so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Na ja, wenn ich b wählen kann, dann könnte ich b=2
> nehmen, damit der Vektor ganze Zahlen hat...
>
> Mit dieser Lösung habe ich aber mein AWP noch nicht
> gelöst. Muss ich nun die beiden Vektoren zu einer Matrix
> zusammenfügen und dann die Variation der Konstanten
> anwenden?
>
Nein, das musst Du nicht.
Wähle einen Ansatz für die partikuläre Lösung
die die Form der Imhomogenität hat.
> [mm]e^{(t-\tau)*A}\vektor{1 \\ 0}+\integral_{0}^{t}{e^((t-s)*A) \vektor{e^t \\ 0}ds}[/mm]
>
>
> (Irgendwie steht (t-s)*A nicht wirklich im Exponenten.)
>
> Aber dann wird doch die Berechnung von e^(tA) nicht gerade
> schön.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Fr 28.02.2014 | | Autor: | docicho |
Hallo MathePower,
> Wähle einen Ansatz für die partikuläre Lösung
> die die Form der Imhomogenität hat.
"partikuläre Lösung" sagt mir nichts.
aus meiner Vorlesung ist mir dazu nur folgendes bekannt:
[mm] x_{0}+v
[/mm]
wobei
[mm] x_{0} [/mm] Lösung der inhomogenen Dgl
v beliebige Lsg. der homogenen Dgl
Bisher habe ich oben die homogenen Lösungen bestimmt.
Um an die inhomogene zu kommen, weiß ich leider nicht weiter.
Muss ich [mm] y_{p}=Ax+b(t) [/mm] setzen?
mit [mm] y_{p} [/mm] als inhomogene Lösung. Ne macht das Sinn?
Hab mal in ein anderes Skript geschaut, wo partikuläre Lösung vorkommt. Da gibt es z.B. den Ansatz Az+b=0
Dann wäre dieses z meine inhomogene Lösung.
Ist es das, was du meinst?
Wenn ja, wird dann die Lösung [mm] x_{0}+v [/mm] genutzt und in das AWP eingesetzt samt x(0), sodass ich dann mein b noch bestimmen kann? Sonst ist das x(0) noch nicht verarbeitet...
Beste Grüße
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Hallo docicho,
> Hallo MathePower,
>
> > Wähle einen Ansatz für die partikuläre Lösung
> > die die Form der Imhomogenität hat.
>
> "partikuläre Lösung" sagt mir nichts.
> aus meiner Vorlesung ist mir dazu nur folgendes bekannt:
>
> [mm]x_{0}+v[/mm]
>
> wobei
> [mm]x_{0}[/mm] Lösung der inhomogenen Dgl
> v beliebige Lsg. der homogenen Dgl
>
> Bisher habe ich oben die homogenen Lösungen bestimmt.
> Um an die inhomogene zu kommen, weiß ich leider nicht
> weiter.
>
> Muss ich [mm]y_{p}=Ax+b(t)[/mm] setzen?
Nein.
Als Ansatz für die Lösung [mm]x_{0}[/mm] der inhomogenen DGL
wählst Du die Form der Inhomgenität.
Damit lautet der Ansatz: [mm]y_{p}=\vec{u}*e^{t}[/mm]
wobei [mm]\vec{u}[/mm] ein konstanter Vektor ist.
> mit [mm]y_{p}[/mm] als inhomogene Lösung. Ne macht das Sinn?
> Hab mal in ein anderes Skript geschaut, wo partikuläre
> Lösung vorkommt. Da gibt es z.B. den Ansatz Az+b=0
> Dann wäre dieses z meine inhomogene Lösung.
>
> Ist es das, was du meinst?
>
Die Lösung [mm]x_{0}[/mm] der inhomogenen Lösung
ist auch die partikuläre Lösung.
> Wenn ja, wird dann die Lösung [mm]x_{0}+v[/mm] genutzt und in das
> AWP eingesetzt samt x(0), sodass ich dann mein b noch
> bestimmen kann? Sonst ist das x(0) noch nicht
> verarbeitet...
>
> Beste Grüße
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 So 02.03.2014 | | Autor: | docicho |
Ah ok, den Ansatz kenne ich noch nicht.
d.h. [mm] y_p [/mm] ist gesucht, wobei [mm] \vec{u} [/mm] auch unbekannt ist...
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