A e SO(V) <=> A³ e SO(V) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Fr 14.08.2009 | | Autor: | malamala |
| Aufgabe | | Beweise: A e SO(V) genau dann, wenn A³ e SO(V) |
Guten Abend,
die obrigen Aufgabe erscheint eigentlich recht leicht. Die Hinrichtung ist es auch, da sie durch einfaches Nachrechnen folgt.
Bei der Rückrichtung ist es nun so, dass ich leicht zeigen kann, dass aus det (A³) = 1, folgt, dass det (A) = 1.
Aber wie kann ich aus A³ * tr(A³) = Id folgern, dass auch A orthogonal ist, d.h. A * tr(A) = Id gilt? Erst dachte ich, es müßte folgen, da SO(V) eine Gruppe ist und dann auch jedes Element der Gruppe nur in Elemente der Gruppe zerfällt, aber das stimmt leider nicht.
Könnt ihr mir einen Tipp geben?
Grüße, malamala
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Fr 14.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo malamala
> Beweise: A e SO(V) genau dann, wenn A³ e SO(V)
>
> Guten Abend,
>
> die obrigen Aufgabe erscheint eigentlich recht leicht. Die
> Hinrichtung ist es auch, da sie durch einfaches Nachrechnen
> folgt.
> Bei der Rückrichtung ist es nun so, dass ich leicht
> zeigen kann, dass aus det (A³) = 1, folgt, dass det (A) =
> 1.
>
> Aber wie kann ich aus A³ * tr(A³) = Id folgern, dass auch
> A orthogonal ist, d.h. A * tr(A) = Id gilt? Erst dachte
> ich, es müßte folgen, da SO(V) eine Gruppe ist und dann
> auch jedes Element der Gruppe nur in Elemente der Gruppe
> zerfällt, aber das stimmt leider nicht.
> Könnt ihr mir einen Tipp geben?
Ueber [mm] $\IC$ [/mm] kann man jede Matrix in JNF bringen, sei also $T$ mit $J = [mm] T^{-1} [/mm] A T$ in JNF. Dann ist [mm] $A^3 [/mm] = T [mm] J^3 T^{-1}$. [/mm] Nun ist [mm] $A^3$ [/mm] als unitaere Matrix unitaer diagonalisierbar, also insb. diagonalisierbar. Da weiter $A [mm] A^3 [/mm] = [mm] A^3 [/mm] A$ ist jeder verallgemeinerte Eigenvektor von $A$ auch einer von [mm] $A^3$; [/mm] und da [mm] $A^3$ [/mm] diagbar ist ist jeder verallg. EV bereits ein Eigenvektor. Also ist [mm] $J^3 [/mm] = [mm] T^{-1} A^3 [/mm] T$ in Diagonalform, womit auch $J$ in Diagonalform sein muss. Also ist $A$ ueber [mm] $\IC$ [/mm] diagonalisierbar.
Toll waer jetzt, wenn man $T$ als unitaere Matrix waehlen koennte. Da [mm] $A^3$ [/mm] unitaer diagonalisierbar ist liegen die Eigenraeume von [mm] $A^3$ [/mm] orthogonal zueinander. Nun ist der Eigenraum von [mm] $A^3$ [/mm] zu [mm] $\lambda$ [/mm] die direkte Summe der Eigenraeume von $A$ zu [mm] $\sqrt[3]{\lambda}$, $\zeta_3 \sqrt[3]{\lambda}$ [/mm] and [mm] $\zeta_3^2 \sqrt[3]{\lambda}$, [/mm] wobei [mm] $\zeta_3$ [/mm] eine primitive dritte Einheitswurzel ist. Die Frage ist nun, ob diese auch orthogonal zueinander liegen. Wenn du das zeigen kannst, kannst du $A$ ebenfalls unitaer diagonalisieren und damit dann, dass $A$ diagonal ist.
Vielleicht hilft dir das weiter...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:06 Fr 14.08.2009 | | Autor: | felixf |
Ein Nachtrag:
alternativ kannst du auch zeigen, dass jede Matrix $A$ mit [mm] $A^3$ [/mm] in Diagonalform bereits in Diagonalform sein muss. Dann kannst du naemlich [mm] $A^3$ [/mm] unitaer diagonalisieren und es folgt, dass $A$ ebenfalls unitaer diagbar ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Fr 14.08.2009 | | Autor: | malamala |
Danke für deine Antwort.
Kannst du bitte erklären, warum aus A³A=AA³ folgt, dass jeder verallgemeinerte Eigenvektor von A³ auch einer von A ist.
Grüße, malamala
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:35 Sa 15.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Danke für deine Antwort.
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> Kannst du bitte erklären, warum aus A³A=AA³ folgt, dass
> jeder verallgemeinerte Eigenvektor von A³ auch einer von A
> ist.
Sorry, das war Quark. Man kann erstmal nur sagen, dass jeder verallgemeinerte Eigenraum von $A$ durch [mm] $A^3$ [/mm] invariant gelassen wird: gilt $(A - [mm] \lambda)^n [/mm] v = 0$, so $(A - [mm] \lambda)^n A^3 [/mm] v = [mm] A^3 [/mm] (A - [mm] \lambda)^n [/mm] v = [mm] A^3 [/mm] 0 = 0$, womit [mm] $A^3 [/mm] v$ ebenfalls ein verallgemeinerter Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] ist. Aber das hilft erstmal nicht umbedingt weiter.
Ich haette da allerdings was ganz anderes anzubieten: naemlich ein Gegenbeispiel fuer die Aussage.
Dazu: waehle eine orthogonale $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix $B$ mit [mm] $B^3 [/mm] = Id$, $B [mm] \neq [/mm] Id$ (also eine Drehung um $2 [mm] \pi/3$ [/mm] oder $4 [mm] \pi/3$), [/mm] setze $A' := [mm] \pmat{ B & 0 \\ 0 & 1 } \in \IR^{3 \times 3}$. [/mm] Waehle jetzt eine Basis $B$ von [mm] $\IR^3$, [/mm] bei der der dritte Vektor nicht orthogonal zu den ersten beiden ist. Wenn $T$ die entsprechende Basiswechselmatrix ist, setze $A := [mm] T^{-1} [/mm] A' T$. Dann gilt [mm] $A^3 [/mm] = [mm] T^{-1} (A')^3 [/mm] T$ und [mm] $(A')^3 [/mm] = [mm] \pmat{ B^3 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] = Id$, also [mm] $A^3 [/mm] = Id [mm] \in [/mm] SO(3)$.
Allerdings ist $A$ nicht orthogonal, da die Eigenraeume (ueber [mm] $\IC$) [/mm] nicht paarweise orthogonal sind (aufgrund der Wahl von $B$ und somit $T$).
(Es reicht uebrigens auch schon, die $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix $B$ passend zu transformieren, so dass sie nicht mehr orthogonal ist.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Sa 15.08.2009 | | Autor: | malamala |
Ja, das die "Unitärität" einen Basiswechsel nicht unbedingt übersteht ist so eine Sachen, aber wie sähe es aus, wenn wir die Aussage etwas anpassen und stattdessen verlangen, dass A eine orthogonale Abbildung erzeugt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Sa 15.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ja, das die "Unitärität" einen Basiswechsel nicht
> unbedingt übersteht ist so eine Sachen, aber wie sähe es
> aus, wenn wir die Aussage etwas anpassen und stattdessen
> verlangen, dass A eine orthogonale Abbildung erzeugt.
Du meinst, du willst folgende Aussage beweisen?
Sei $A$ orthogonal. Dann gilt $A [mm] \in [/mm] SO(n)$ genau dann, wenn [mm] $A^3 \in [/mm] SO(n)$ ist.
Aber das hast du ja schon gezeigt, da [mm] $\det [/mm] A [mm] \in \{ -1, 1 \}$ [/mm] und somit [mm] $\det A^3 [/mm] = [mm] (\det A)^3 [/mm] = [mm] \det [/mm] A$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Sa 15.08.2009 | | Autor: | malamala |
Nein. Ich will zeigen, dass wenn $ [mm] A^3 \in [/mm] SO(n) $ zumindest gilt, dass A ähnlich zu einer unitären Matrix ist (was ja genau dann der Fall sein sollte, wenn die zugehörige Abbildung unitär ist).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Sa 15.08.2009 | | Autor: | malamala |
Ok, Obriges hätte ich wohl als Frage bauen sollen, sonst sieht es noch so aus, als hätte ich es jetzt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Sa 15.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Nein. Ich will zeigen, dass wenn [mm]A^3 \in SO(n)[/mm] zumindest
> gilt, dass A ähnlich zu einer unitären Matrix ist
Das folgt schon fast aus meiner Argumentation mit der JNF ueber [mm] $\IC$: [/mm] bei Eigenwerten von [mm] $\pm [/mm] 1$ von $A$ ist eh alles klar. Bei anderen Eigenwerten kann man sie in paarweise komplex konjugierte Paare aufteilen, und da beide Betrag 1 haben muessen kann man sich daraus eine orthogonale $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix basteln.
> (was ja genau dann der Fall sein sollte, wenn die zugehörige
> Abbildung unitär ist).
Genau das stimmt aber nicht: eine Abbildung ist genau dann unitaer, wenn die Darstellungsmatrix zu einer Orthonormalbasis unitaer ist. Da du aber nur willst, dass sie bezueglich irgendeiner Basis unitaer ist, bringt dir das gar nichts.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Sa 15.08.2009 | | Autor: | malamala |
"Genau das stimmt aber nicht: eine Abbildung ist genau dann unitaer, wenn die Darstellungsmatrix zu einer Orthonormalbasis unitaer ist."
Das ist doch genau das was ich auch sage, wenn ich sage das die Matrix ähnlich zu einer Unitären sein soll. Diese Ähnlichkeit bedeutet doch nichts anderes, als das eben diese Orthonormalbasen gibt, bzgl. der die Darstellungsmatrix dann unitär ist.
Das Problem ist bei der Bezeichnung halt, dass eben auch die Darstellende Matrix einer unitären Abbildung nicht unitär sein kann (wenn man halt die "falsche" Basis genommen hat). Man könnte ja das was man jetzt als unitär bezeichnet als "unitärenzustand" bezeichnen und eine Matrix dann als unitär, wenn sie ähnlich zu einer Matrix im unitärenzustand ist.
Edit: Ah, ja, die Transformationsmatrizen müßen orthogonal sein, das war der Unterschied zwischen deiner und meiner Aussage.
Aber die Aussage: Eine Abbildung ist genau dann unitär, wenn eine beliebige Darstellungsmatrix ähnlich zu einer unitären Matrix ist! ist doch nicht falsch, auch wenn sie dahin gehend erweitert werden kann, dass die Basen nach der Transformation Orthonormalbasen sein sollen, oder?
Edit: Oder gibt es auch den Umgekehrten Fall, dass eine Matrix bzgl. einer beliebigen Basis unitär ist, aber die Abbildung nicht (kann ich mir schwierig vorstellen)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Sa 15.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> "Genau das stimmt aber nicht: eine Abbildung ist genau dann
> unitaer, wenn die Darstellungsmatrix zu einer
> Orthonormalbasis unitaer ist."
> Das ist doch genau das was ich auch sage, wenn ich sage das
> die Matrix ähnlich zu einer Unitären sein soll. Diese
> Ähnlichkeit bedeutet doch nichts anderes, als das eben
> diese Orthonormalbasen gibt, bzgl. der die
> Darstellungsmatrix dann unitär ist.
> Das Problem ist bei der Bezeichnung halt, dass eben auch
> die Darstellende Matrix einer unitären Abbildung nicht
> unitär sein kann (wenn man halt die "falsche" Basis
> genommen hat). Man könnte ja das was man jetzt als unitär
> bezeichnet als "unitärenzustand" bezeichnen und eine
> Matrix dann als unitär, wenn sie ähnlich zu einer Matrix
> im unitärenzustand ist.
> Edit: Ah, ja, die Transformationsmatrizen müßen
> orthogonal sein, das war der Unterschied zwischen deiner
> und meiner Aussage.
Genau, und dieser Unterschied ist ziemlich wichtig :)
> Aber die Aussage: Eine Abbildung ist genau dann unitär,
> wenn eine beliebige Darstellungsmatrix ähnlich zu einer
> unitären Matrix ist! ist doch nicht falsch, auch wenn sie
> dahin gehend erweitert werden kann, dass die Basen nach der
> Transformation Orthonormalbasen sein sollen, oder?
Nein, dann stimmt sie. Aber das ist nicht was man normalerweise damit meint.
> Edit: Oder gibt es auch den Umgekehrten Fall, dass eine
> Matrix bzgl. einer beliebigen Basis unitär ist, aber die
> Abbildung nicht (kann ich mir schwierig vorstellen)?
Klar gibt es den. Nimm etwa die Matrix $A = [mm] \pmat{ i & 0 \\ 0 & -i}$; [/mm] diese ist offenbar unitaer. Wenn du jetzt z.B. die Basiswechselmatrix $T = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }$ [/mm] mit [mm] $T^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 1 }$ [/mm] waehlst, und $B = [mm] T^{-1} [/mm] A T$ anschaust, dann ist die Abbildung [mm] $\phi [/mm] : [mm] \IC^2 \to \IC^2$, [/mm] $v [mm] \mapsto [/mm] B v$ nicht unitaer. Jedoch hat diese Abbildung bei Wahl der richtigen Basis die Darstellungsmatrix $A$.
Oder etwas allgemeiner:
Wenn du eine diagonalisierbare Matrix $A [mm] \in \IC^{n \times n}$ [/mm] hast mit Eigenwerten von Betrag 1, die nicht von der Form [mm] $\lambda [/mm] Id$ ist, so kannst du immer ein unitaeres Skalarprodukt auf [mm] $\IC^n$ [/mm] finden, bzgl. dem die Matrix unitaer ist (hierfuer braucht man die zweite Bedingung nicht), und ein anderes bzgl. dem sie nicht unitaer ist (hierfuer braucht man die erste Bedingung nicht  ).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Sa 15.08.2009 | | Autor: | malamala |
Ok, da es diesen Fall gibt, ist klar, dass der Satz nur mit dem Zusatz gilt, dass die Basis orthonormal ist.
Wie würdet du mir raten den Satz zu beweisen?
(besten Dank übrigens für deine Hilfe)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 So 16.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ok, da es diesen Fall gibt, ist klar, dass der Satz nur mit
> dem Zusatz gilt, dass die Basis orthonormal ist.
>
> Wie würdet du mir raten den Satz zu beweisen?
Welchen genau?
Und wofuer brauchst du das eigentlich? Eine Aufgabe scheint's ja nicht zu sein...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:15 So 16.08.2009 | | Autor: | malamala |
Den, dass eine Abbildung genau dann unitär ist, wenn die Darstellende Matrix bzgl. einer Orthonormalbasis unitär ist.
Wir haben in der Uni unitäre Abbildungen und Matrizen nur mal so eingeführt und dann im Bezug auf JNF und diagonalisierbarkeit ein bischen verwendet. Wenn ich mich jetzt aber damit beschäftige stoße ich halt immer auf Stellen an denen ich noch im Dunkeln tappe und das ist dann etwas unbefriedigend. Für die Klausur die ich demnächst schreibe und durch die meine erste Frage motiviert war, ist es wohl allerdings unerheblich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:59 So 16.08.2009 | | Autor: | malamala |
Ok, die eine Richtung ist mir gerade eingefallen. Ich weiß, dass eine lin. Abb. genau dann orthogonal ist, wenn das Bild einer Orthonormalbasis wieder eine solche ist.
Wenn meine Matrix nun bzgl. einer O.n.b dargestellt ist, kann ich einfach die selbe nehmen. Dargestellt bzgl. sich selber ist es die Einheitsmatrix und da A unitär ist, bilden die Spalten eine O.n.b und damit ist auch das Bild eine...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:39 So 16.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ok, die eine Richtung ist mir gerade eingefallen. Ich
> weiß, dass eine lin. Abb. genau dann orthogonal ist, wenn
> das Bild einer Orthonormalbasis wieder eine solche ist.
Ja.
> Wenn meine Matrix nun bzgl. einer O.n.b dargestellt ist,
> kann ich einfach die selbe nehmen. Dargestellt bzgl. sich
> selber ist es die Einheitsmatrix
Kannst du das mal genauer aufschreiben? Ich glaube du machst hier was falsch. Die Einheitsmatrix kommt da naemlich so gut wie nie raus. Du weisst schon, dass du die Matrix hier bzgl. einer Basis darstellen musst und nicht bzgl. zwei Basen?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:04 So 16.08.2009 | | Autor: | malamala |
Ja, ich habe nun eine Matrix A die bzgl. O.n.b B dargestellt ist. Will ich damit etwas abbilden, so muß der Vektor ebenfalls bzgl. B dargestellt sein. Eine Basis die ich bzgl. sich selber darstelle ist immer die Einheitsbasis. Bilde ich jetzt also den i-ten Basisvektor ab, muß ich e(i) mit A multiplizieren und bekomme die i-te Spalte. Also alles in allem wieder eine ONB.
Das ist allerdings in sofern falsch, dass es eine ONB im [mm] K^n [/mm] ist und nicht in V, eigentlich muß ich jetzt nämlich noch den Koordinatenisomorphismus (Aufgabe c) die du mir gegeben hast) anwenden und dann ist das wohl leider keine ONB mehr.
Bin aber auch schon müde
Edit: ah, ich habe völlig außer acht gelassen, dass ich wenn A bzgl. B dargestellt ist, die Matrix ja diagonalisiert habe. Da aber alle Eigenwerte Betrag 1 haben, kann ich einfach immer einen Vektor mit dem Komplexkonjugierten vom i-ten Eintrag der Diagonalen in der i-ten Zeile mit der Matrix multiplizieren und bekomme dann den i-ten Einheitsvektro raus. Wenn ich dann den Koordinatenisomorphismus anwende habe ich wieder B und damit das was ich wollte.
Edit: Ach ne, auch verkehrt, es soll ja ne beliebige ONB sein, damit die MAtrix diagonalisiert ist braucht es ja eine spezielle.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 So 16.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ok, da es diesen Fall gibt, ist klar, dass der Satz nur mit
> dem Zusatz gilt, dass die Basis orthonormal ist.
>
> Wie würdet du mir raten den Satz zu beweisen?
Zeige folgende drei Aussagen:
a) $A$ ist unitaere Matrix [mm] $\Leftrightarrow \langle [/mm] v, w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] A v, A w [mm] \rangle$ [/mm] fuer alle $v, w [mm] \in \C^n$
[/mm]
b) [mm] $\phi [/mm] : V [mm] \to [/mm] V$ ist unitaere Abbildung [mm] $\Leftrightarrow \langle [/mm] v, w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle \phi(A), \phi(w) \rangle$ [/mm] fuer alle $v, w [mm] \in \C^n$
[/mm]
c) sei [mm] $b_1, \dots, b_n$ [/mm] ON-Basis und [mm] $\psi [/mm] : [mm] \C^n \to [/mm] V$, [mm] $(\lambda_i)_i \mapsto \sum \lambda_i b_i$ [/mm] der Koordinatenisomorphismus, ist $A$ eine Darstellungsmatrix von [mm] $\phi [/mm] : V [mm] \to [/mm] V$ bzgl. [mm] $b_1, \dots, b_n$, [/mm] so gilt [mm] $\langle [/mm] A v, A w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle \phi(\psi(v)), \phi(\psi(w)) \rangle$
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:41 So 16.08.2009 | | Autor: | malamala |
Kann es sein, dass du dich bei b) vertippt hast? Soll das $ [mm] \Leftrightarrow \langle [/mm] v, w [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle \phi(v), \phi(w) \rangle [/mm] $ heißen?
Das wäre dann aber nur die Definition einer unitären Abb.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:14 So 16.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Kann es sein, dass du dich bei b) vertippt hast? Soll das
> [mm]\Leftrightarrow \langle v, w \rangle = \langle \phi(v), \phi(w) \rangle[/mm]
> heißen?
Ja, hab ich mich.
> Das wäre dann aber nur die Definition einer unitären Abb.
Genau.
LG Felix
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