A offen, B in R. A*B offen? < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben sind 2 Teilmengen A, B von R, wobei A offen ist. Zu zeigen ist, dass A*B:={a*b | a in A, b in B} offen ist. |
Hallo Leute!
Ich möchte folgende Aufgabe lösen:
Gegeben sind 2 Teilmengen A, B von R, wobei A offen ist. Ich muss zeigen, dass A*B:={a*b | a in A, b in B} offen ist.
Ich habe zuerts versucht, dies über die Definition zu zeigen. Das hat aber nicht geklappt. Dann bin ich auf folgende Idee gekommen:
A*B = ∪ b ∈ B { b * a | a ∈ A } . Es bleibt also zu zeigen, dass { b * a | a ∈ A } für jedes b offen ist. Man betrachte die Funktion: f: R->R, a |--> 1/b *a. Dann gilt offenbar f − 1 ( A ) = { b a | a ∈ A } . f ist offenbar stetig und, wie wir wissen, sind Urbilder offener Mengen unter stetigen Funktionen offen. Also ist { b * a | a ∈ A } offen, vorausgesetzt natürlich, dass b ungleich 0 ist. Und das ist der Punkt wo ich nicht weiterkommen: denn b kann ja o sein. Sieht jemand vielleicht auf Anhieb eine stetige Funktion, mit der man dieses Problem umgehen kann? Oder ist A*B gar nicht offen wenn 0 ∈ B ist?
Und kann mir vielleicht jemand nen Tip geben, wie ich diese Aufgabe nur über die Definition lösen kann.
Vielen Dank an Alle im Voraus
narrator
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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> Gegeben sind 2 Teilmengen A, B von R, wobei A offen ist. Zu
> zeigen ist, dass A*B:={a*b | a in A, b in B} offen ist.
> Hallo Leute!
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> Ich möchte folgende Aufgabe lösen:
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> Gegeben sind 2 Teilmengen A, B von R, wobei A offen ist.
> Ich muss zeigen, dass A*B:={a*b | a in A, b in B} offen
> ist.
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> Ich habe zuerts versucht, dies über die Definition zu
> zeigen. Das hat aber nicht geklappt. Dann bin ich auf
> folgende Idee gekommen:
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> A*B = ∪ b ∈ B { b * a | a
> ∈ A } . Es bleibt also zu zeigen, dass { b * a |
> a ∈ A } für jedes b offen ist. Man
> betrachte die Funktion: f: R->R, a |--> 1/b *a. Dann gilt
> offenbar f − 1 ( A ) = { b a | a
> ∈ A } . f ist offenbar stetig und, wie wir
> wissen, sind Urbilder offener Mengen unter stetigen
> Funktionen offen. Also ist { b * a | a
> ∈ A } offen, vorausgesetzt natürlich, dass b ungleich
> 0 ist. Und das ist der Punkt wo ich nicht weiterkommen:
> denn b kann ja o sein.
Betrachte etwa den Fall $A:= [mm] \IR$ [/mm] und $B := [mm] \{0\}$. [/mm] Diese Mengen genügen den Voraussetzungen der zu beweisenden Behauptung. Aber [mm] $A\star B=\{0\}$ [/mm] ist nicht offen.
> Oder ist A*B gar nicht offen wenn 0 ∈ B ist?
Jedenfalls dann nicht, wenn [mm] $B=\{0\}$ [/mm] ist.
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> Und kann mir vielleicht jemand nen Tip geben, wie ich diese
> Aufgabe nur über die Definition lösen kann.
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> Vielen Dank an Alle im Voraus
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> narrator
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 21.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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