Abb. von Kreisscheibe nach R < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Fr 10.07.2009 | | Autor: | Mathec |
| Aufgabe | | Welche Funktionen existieren von einer komplexen offenen Kreisscheibe in den Raum der reellen Zahlen? |
Hallo,
ich denke, dass man die Frage mit dem Satz von der Gebietstreue beweisen muss. Daher nehme ich an, dass die Funktion holomorph sein muss. Meine Frage ist nun: der Raum der rellenen Zahlen ist doch offen und auch zusammenhängend,oder? Von daher finde ich keinen Widerspruch, denn bei dem Aufgabentyp kommt meistens raus, dass es sich um konstante Funktionen handelt..
Hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen!!
Danke schonmal,
euer Mathec
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Fr 10.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Welche Funktionen existieren von einer komplexen offenen
> Kreisscheibe in den Raum der reellen Zahlen?
ist das wirklich alles, was angegeben wurde? Denn wenn Du $A:=\{z \in \IC: |z| < 1\}$ und $B:=\IR$ setzt, dann heißt die Frage:
Welche Funktionen $f: A \to B$ existieren? Oder noch anders ausgedrückt: Bestimme die Menge $B^A=\IR^{\{z \in \IC: |z| < 1\}}\,.$
Ich meine: $\{0,\,1\}^{\IN}=\{f: \IN \to \{0,1\}\}$ ist schon überabzählbar
$\Rightarrow$ $\{0,1\}^{\{z \in \IC: |z| < 1 \} \cap (\IQ + i*\IQ)}$ ist auch überabzählbar
$\Rightarrow$ $\IR^{\{z \in \IC: |z| < 1 \} \cap (\IQ + i*\IQ)}$ ist überabzählbar
$\Rightarrow$ $\IR^{\{z \in \IC: |z| < 1\}}$ ist überabzählbar.
(Ergänzung: $\IQ+i*\IQ:=\{z \in \IC: \text{Re}(z) \in \IQ \text{ und }\text{Im}(z) \in \IQ\}\,.$ D.h. $\{z \in \IC: |z| < 1 \} \cap (\IQ + i*\IQ)}=\{z \in \IC: |z| < 1 \text{ und }\text{Re}(z) \in \IQ \text{ und }\text{Im}(z) \in \IQ\}\,.$)
Schau' vll. nochmal nach, ob die Aufgabe nicht viel eher lautet:
$\bullet$ Welche holomorphen Funktionen existieren von einer komplexen offenen Kreisscheibe in den Raum der reellen Zahlen?
Wobei vielleicht anstelle von holomorph auch eine andere Eigenschaft (oder auch mehrere Eigenschaften) stehen kann (können), die die gesuchten Funktionen auszeichen.
Und es ist sonst auch sicher nicht Deine Aufgabe, zu erraten, welche Eigenschaft(en) die gesuchten Funktionen haben sollen, sondern wenn, dann wäre es eher Deine Aufgabe, nachzufragen, welche Eigenschaft(en) sie haben sollen. Denn meiner Ansicht nach ist die Aufgabenstellung in der obigen Form nicht vollständig.
P.S.: Falls Du das Übungsblatt online einsehen kannst, dann schau' auch vll. mal kurz nach, ob schon eine korrigierte Version des Ü-BLattes vorliegt. Niemand ist fehlerfrei, und ich denke, hier ist einfach in der Aufgabenstellung ein Fehler unterlaufen...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Fr 10.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Welche Funktionen existieren von einer komplexen offenen
> Kreisscheibe in den Raum der reellen Zahlen?
> Hallo,
> ich denke, dass man die Frage mit dem Satz von der
> Gebietstreue beweisen muss. Daher nehme ich an, dass die
> Funktion holomorph sein muss.
Gehen wir mal davon aus
> Meine Frage ist nun: der Raum
> der rellenen Zahlen ist doch offen und auch
> zusammenhängend,oder?
Als Teilmenge von [mm] \IC [/mm] ist [mm] \IR [/mm] nicht offen
> Von daher finde ich keinen
> Widerspruch,
Doch, wenn die Bildmenge einer holomorphen Funktion in [mm] \IR [/mm] liegt, so ist diese Bildmenge nicht offen, also kein Gebiet, somit muß die Funkrion konstant sein.
Die Antwort auf obige Frage ist also: konstante , reelwertige Funktionen
FRED
> denn bei dem Aufgabentyp kommt meistens raus,
> dass es sich um konstante Funktionen handelt..
> Hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen!!
> Danke schonmal,
> euer Mathec
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Fr 10.07.2009 | | Autor: | Mathec |
@Marcel: Sorry, da hab ich mich etwas blöd ausgedrückt!
Also:
Die Aufgabe ist nur eine mündlich übermittelte Aufgabe, von daher kann ich sie nicht auf einem Übungsblatt oä überprüfen. Daher habe ich auch angenommen, dass es sich um eine holomorphe Funktion handeln muss und man da den Satz der Gebietstreue zu Rate ziehen muss. Die Idee dahinter ist also klar, aber wieso ist die Menge der reellen Zahlen nicht offen? Ich hoffe, das ist jetzt keine allzu doofe Frage! Habe mir schon gedacht, dass man entweder zeigen muss, dass die Menge der reellen Zahlen nicht offen bzw. nicht zusammenhängend ist. Wieso ist sie zusammenhängend?
Danke nochmal für eure Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Fr 10.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> @Marcel: Sorry, da hab ich mich etwas blöd ausgedrückt!
> Also:
> Die Aufgabe ist nur eine mündlich übermittelte Aufgabe,
> von daher kann ich sie nicht auf einem Übungsblatt oä
> überprüfen. Daher habe ich auch angenommen, dass es sich
> um eine holomorphe Funktion handeln muss und man da den
> Satz der Gebietstreue zu Rate ziehen muss. Die Idee
> dahinter ist also klar, aber wieso ist die Menge der
> reellen Zahlen nicht offen?
nicht offen in [mm] \IC:
[/mm]
Nimm ein [mm] x_0 \in \IR. [/mm] Gibt es nun eine Kreischeibe in [mm] \IC [/mm] mit Mittelpunkt [mm] x_0, [/mm] die ganz in [mm] \IR [/mm] liegt ?
Nein !
FRED
> Ich hoffe, das ist jetzt keine
> allzu doofe Frage! Habe mir schon gedacht, dass man
> entweder zeigen muss, dass die Menge der reellen Zahlen
> nicht offen bzw. nicht zusammenhängend ist. Wieso ist sie
> zusammenhängend?
> Danke nochmal für eure Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Fr 10.07.2009 | | Autor: | Mathec |
Achso, jetzt hab ichs ,glaub ich, verstanden. Kann ich mir die Funktion also vorstellen als eine Abbildung von [mm] \IC [/mm] eindach auf die reelle Achse in [mm] \IC [/mm] ???
Wenn das so ist, dann ist mir klar, dass f keine offene Abbildung ist!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:01 Fr 10.07.2009 | | Autor: | Mathec |
*einfach 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Fr 10.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Achso, jetzt hab ichs ,glaub ich, verstanden. Kann ich mir
> die Funktion also vorstellen als eine Abbildung von [mm]\IC[/mm]
> eindach auf die reelle Achse in [mm]\IC[/mm] ???
> Wenn das so ist, dann ist mir klar, dass f keine offene
> Abbildung ist!!
Bingo !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 Fr 10.07.2009 | | Autor: | Mathec |
Juhu!!
Danke für eure Hilfe!!!
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