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Hi, ich habe mal eine Frage zur Bedeutung einer Schreibweise:
Was sagt folgendes aus?:
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a) Sei f: X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung.
Was bedeutet das? Wie kann ich mir das grafisch vorstellen oder allgemein vorstellen?
b) Die Abbildungen f: X [mm] \to [/mm] Y und g: Y [mm] \to [/mm] Z sind nicht konstant, aber die Kompsition g [mm] \circ [/mm] f ist konstant.
Was bedeutet das? Wie kann ich mir das grafisch vorstellen oder allgemein vorstellen?
c) Gegeben sei die Menge A = {1, 2, 3, 4}. Bestimmen Sie alle bijektiven Abbildungen f: A [mm] \to [/mm] A.
Was bedeutet das? Wie kann ich mir das grafisch vorstellen oder allgemein vorstellen?
Wo kann ich dazu mehr nachlesen? Ich würde gerne zu dem Thema mehr erfahren, welche Suchbegriffe sollte ich verwenden um etwas passendes zu finden?
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Do 05.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Hi, ich habe mal eine Frage zur Bedeutung einer
> Schreibweise:
>
> Was sagt folgendes aus?:
> --------------------------
>
> a) Sei f: X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung.
> Was bedeutet das? Wie kann ich mir das grafisch vorstellen
> oder allgemein vorstellen?
>
Das heisst, die Abbildung (in der Schule nannte man es meistens Funktion) bildet Elemente aus X auf Elemente in Y ab.
Bsp:
[mm] sin(x):\IR\to[-1;1]
[/mm]
f(x,y)=xy. [mm] f:\IR²\to\IR.
[/mm]
> b) Die Abbildungen f: X [mm]\to[/mm] Y und g: Y [mm]\to[/mm] Z sind nicht
> konstant, aber die Kompsition g [mm]\circ[/mm] f ist konstant.
> Was bedeutet das? Wie kann ich mir das grafisch vorstellen
> oder allgemein vorstellen?
Bsp: f(x)=x² [mm] f:\IR\to\IR^{+}. g(y)=\bruch{\wurzel{y}} g:\IR^{+}\to\IR.
[/mm]
[mm] g\circf=g(f(x))=\wurzel{x²}=x.
[/mm]
Sorry, ich sehe gerade, dass diese Abbilung nicht konstant ist, also nicht die "Endform" g(x)=c hat. Ich bekomme auch ken Beispiel hin, dass es konstant wird. Ich hoffe, aber,dassdas Prinzip verständlich geworden ist.
>
> c) Gegeben sei die Menge A = {1, 2, 3, 4}. Bestimmen Sie
> alle bijektiven Abbildungen f: A [mm]\to[/mm] A.
> Was bedeutet das? Wie kann ich mir das grafisch vorstellen
> oder allgemein vorstellen?
>
Schreib das mal als Vektoren auf.
[mm] \vektor{1\\2\\3\\4}\to\vektor{1\\2\\3\\4}
[/mm]
Jetzt zeichne mal vier Pfeile so ein, dass jede Zahl im hinteren Vektor "getroffen" wird und von jeder Zahl vorne ein Pfeil abgeht.
Einige Möglichkeiten gebe ich dir mal an:
[mm] 1)\vektor{1\to1\\2\to2\\3\to3\\4\to4}
[/mm]
[mm] 2)\vektor{1\to2\\2\to3\\3\to4\\4\to1}
[/mm]
>
> Wo kann ich dazu mehr nachlesen? Ich würde gerne zu dem
> Thema mehr erfahren, welche Suchbegriffe sollte ich
> verwenden um etwas passendes zu finden?
Marius
>
>
> Danke für eure Hilfe!
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Zu a) Ja ok das hab ich verstanden. Danke! Das ist nur ne andere Schreibeweise. Wir hätten das z. B. [mm] f(x)=y^2 [/mm] geschrieben.
a1) [mm] sin(x):\IR\to[-1;1] [/mm] wäre doch nur eine normale Sinusfunktion in dem Bereich -1 bis 1 oder?
a2) f(x,y)=xy ist doch einfach nur ne Funktion mit zwei unabhänigen Variabeln oder?
a3) [mm] f:\IR²\to\IR [/mm] wie müsste ich das z. B. in Derive als Funktion eingeben, um es mir darstellen lassen zu können? (Denn unter dieser Funktion kann ich mir nix vorstellen).
b1) Ich verstehe das Beispiel von dir nicht ganz, wann ist denn eine Funktion konstant? Könnte mir jemand mal ein Beispiel für konstante und nicht konstante Funktionen machen? Das verstehe ich nicht so ganz.
c) [mm] \vektor{1\\2\\3\\4}\to\vektor{4\\3\\2\\1} [/mm] wäre auch noch ein richtiges Beispiel oder? Es müsste doch insgesamt [mm] 4^2 [/mm] = 16 Möglichkeiten geben das Anzuordnen oder?
Danke für deine und eure Hilfe!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Fr 06.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Zu a) Ja ok das hab ich verstanden. Danke! Das ist nur ne
> andere Schreibeweise. Wir hätten das z. B. [mm]f(x)=y^2[/mm]
> geschrieben.
>
> a1) [mm]sin(x):\IR\to[-1;1][/mm] wäre doch nur eine normale
> Sinusfunktion in dem Bereich -1 bis 1 oder?
Yep. Der Definitionsbereich ist [mm] \IR, [/mm] der Wertebereich das Interwall [-1;1]
>
> a2) f(x,y)=xy ist doch einfach nur ne Funktion mit zwei
> unabhänigen Variabeln oder?
Korrekt
>
> a3) [mm]f:\IR²\to\IR[/mm] wie müsste ich das z. B. in Derive als
> Funktion eingeben, um es mir darstellen lassen zu können?
> (Denn unter dieser Funktion kann ich mir nix vorstellen).
>
>
> b1) Ich verstehe das Beispiel von dir nicht ganz, wann ist
> denn eine Funktion konstant? Könnte mir jemand mal ein
> Beispiel für konstante und nicht konstante Funktionen
> machen? Das verstehe ich nicht so ganz.
Eine Funkktion heisst konstant, wenn sie von der Variable unabhängig ist.
f(x)=c ist solch eine Funktion.
Im zweidimensionalen Raum sind das alle Parallelen zur x-Achse.
>
> c) [mm]\vektor{1\\2\\3\\4}\to\vektor{4\\3\\2\\1}[/mm] wäre auch noch
> ein richtiges Beispiel oder? Es müsste doch insgesamt [mm]4^2[/mm] =
> 16 Möglichkeiten geben das Anzuordnen oder?
Das Beispiel stimmt, aber die Anzahl der Möglichkeiten nicht.
Der erste Zahl, (nehmen wir mal der Kinfachheit halber 1) kann ich vier Zahlen zuordnen.
Bleiben für die zweite Zahl, damit die Funktion bijektiv bleibt, nur noch drei weitere Zahlen...
Macht also 4*3*2*1=4!(Fakultät) Möglichkeiten
>
>
> Danke für deine und eure Hilfe!!!
Da ich noch nie mit Derive gearbeitet habe, lasse ich die Frage mal teilweise unbeantwortet.
Marius
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> b1) Ich verstehe das Beispiel von dir nicht ganz, wann ist
> denn eine Funktion konstant? Könnte mir jemand mal ein
> Beispiel für konstante und nicht konstante Funktionen
> machen? Das verstehe ich nicht so ganz.
Wären diese beiden Funktionen also konstant die du auf dem Screenshot siehst die ich gerade erstellt habe:
[Dateianhang nicht öffentlich] x=2
[Dateianhang nicht öffentlich] y=3
Für was steht bei dir eigentlich f(x)=c das "c"??? Ist das also so eine Zahl wie ich sie jetzt eingesetzt habe wie die 2 oder 3? Wenn ja, warum schreibt man da "c" also wird das irgendwo hergleitet oder so? (Ich will nur den Hintergrund verstehen warum es ein "c" ist)
[mm] f:\IR²\to\IR
[/mm]
Noch eine Frage dazu, du sagtest du kennst dich mit Derive nicht aus und deshalb lässt du sie unbeantwortet.
Deshalb folgende Frage:
Wenn du dazu eine Wertetabelle erstellen müsstest um dies mit der Hand zeichenen zu können, wie würdest du die machen? (Daran könnte ich evtl. sehen wie ich es in Derive machen könnte oder wie ich es mir zumindest zeichnen kann da ich das verstehen möchte)
Danke für deine Hilfe!!!! Bin echt froh, dass es so Leuchten gibt wie dich, die mir helfen können! Denn ich will das verstehen aber von alleine komm ich nicht immer drauf. Danke vielmals!!!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Fr 06.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
> > b1) Ich verstehe das Beispiel von dir nicht ganz, wann ist
> > denn eine Funktion konstant? Könnte mir jemand mal ein
> > Beispiel für konstante und nicht konstante Funktionen
> > machen? Das verstehe ich nicht so ganz.
>
> Wären diese beiden Funktionen also konstant die du auf dem
> Screenshot siehst die ich gerade erstellt habe:
>
[...]
Yep, das sind konstante Funktionen.
> Für was steht bei dir eigentlich f(x)=c das "c"??? Ist das
> also so eine Zahl wie ich sie jetzt eingesetzt habe wie die
> 2 oder 3? Wenn ja, warum schreibt man da "c" also wird das
> irgendwo hergleitet oder so? (Ich will nur den Hintergrund
> verstehen warum es ein "c" ist)
Das c ist genau eine solche Zahl. Man nimmt das c,
weil Konstant im Englischen und lateinischen mit c
geschrieben wird
>
>
>
>
> [mm]f:\IR²\to\IR[/mm]
> Noch eine Frage dazu, du sagtest du kennst dich mit Derive
> nicht aus und deshalb lässt du sie unbeantwortet.
> Deshalb folgende Frage:
>
> Wenn du dazu eine Wertetabelle erstellen müsstest um dies
> mit der Hand zeichenen zu können, wie würdest du die
> machen? (Daran könnte ich evtl. sehen wie ich es in Derive
> machen könnte oder wie ich es mir zumindest zeichnen kann
> da ich das verstehen möchte)
Die Tabelle sieht so aus:
(ein Wertepaar)
x 1
y 2
xy 2
und noch eins
x 2
y 3
xy 6
das heisst, der Punkt (x/y) wird auf den Wert xy auf der z-Achse abgebildet.
[mm] (1/2)\to2 [/mm] und [mm] (2/3)\to6. [/mm] Also hast du ein dreidimensionales Bild.
>
>
> Danke für deine Hilfe!!!! Bin echt froh, dass es so
> Leuchten gibt wie dich, die mir helfen können! Denn ich
> will das verstehen aber von alleine komm ich nicht immer
> drauf. Danke vielmals!!!
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Hi danke für deine schnelle und gute Antwort! War gut erklärt!
Also die Funktion [mm] f:\IR²\to\IR [/mm] habe ich mal so eingegeben:
x = (y + 1) + (y + 1)·x
Das müsste deine 2 Wertepaare ergeben die du mir da hingeschrieben hast.
Das Bild sieht dann so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ist meine eingegebene Funktion richtig?
Ich hoffe ich nerve dich nicht, ich hätte noch eine Frage:
Wenn ich jetzt diese Schreibweise vor mir habe: [mm] f:\IR²\to\IR [/mm] wie komme ich dann auf dein Zahlenbeispiel? Also mir fällt es schwer aus dem jetzt etwas zu machen. Verstehst du was ich mein? Ich hätte jetzt ohne deine Hilfe mit [mm] f:\IR²\to\IR [/mm] überhauptnichts anfangen können!
Gibts da ne Möglichkeit wie man das umwandelt oder wie man das in ein ansehliches Beispiel mit Zahlen umwandeln kann?
Danke für deine Hilfe!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Sa 07.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was du gezeichnet hast ist kein f(x,y), es gibt ja nur für wenige x,y Werte, und da dann ganz viele.
Du hast Flächen im Raum gezeichnet, für die gilt: f(x,y,z)=Konstante. ich erkenn allerdings die fkt. nicht.
Gruss leduart.
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Hm ok dann habe ich das falsch gemacht.
Wie kann man denn dies [mm] f:\IR²\to\IR [/mm] so eingeben, dass man es zeichnen kann? Wie lautet also die Funktion die man eingeben muss?
Danke für die Hilfe!
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Hiho,
um auch den letzten Teil der Frage zu beantworten:
In Derive gibst du einfach ein:
f(x,y) := xy
dann lässt du es dir Zeichnen :)
Gruß,
Gono.
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> Hiho,
>
> um auch den letzten Teil der Frage zu beantworten:
>
> In Derive gibst du einfach ein:
>
> f(x,y) := xy
>
> dann lässt du es dir Zeichnen :)
>
> Gruß,
> Gono.
Hi Danke für die Antwort! Ich habe das ganze jetzt mal zeichen lassen das sieht dann so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Folgende Frage bleibt jetzt noch:
Ich habe mit dieser [mm] (f:\IR²\to\IR) [/mm] Schreibweise kaum gearbeitet! Deshalb bin ich da noch nicht so "sicher" drin.
Wie kommt man darauf dass man [mm] f:\IR²\to\IR [/mm] in f(x,y) := xy "umwandeln" kann? Es sagt ja beides das selbe aus aber trozdem würde ich von dem ersten nie auf das zweite kommen. Gibt es da eine Regel oder Zwischenschritte?
Danke für deine/eure Hilfe!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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> Wie kommt man darauf dass man [mm]f:\IR²\to\IR[/mm] in f(x,y) := xy
> "umwandeln" kann? Es sagt ja beides das selbe aus aber
> trozdem würde ich von dem ersten nie auf das zweite kommen.
> Gibt es da eine Regel oder Zwischenschritte?
Hiho,
[mm]f:\IR²\to\IR[/mm] sagt nichts weiter aus, als daß die Funktion Werte aus [mm] \IR^2 [/mm] nach [mm] \IR [/mm] abbildet. [mm]f(x,y) = xy[/mm] ist EINE Funktion, die das tut, allerdings wären auch andere Funktionen denkbar, z.b.
[mm]g(x,y) = x-y[/mm]
[mm]h(x,y) = x^2 - 3x + 2y^5 - 4[/mm]
usw. usw.
D.h. die Funktion muss schon explizit gegeben sein, damit du sie so angeben kannst, nur aus [mm]f:\IR²\to\IR[/mm] kannst du erstmal nichts weiter über die Funktion aussagen, als das sie vom [mm] \IR^2 [/mm] nach [mm] \IR [/mm] abbildet.
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Aeolus |
zu b) f: X $ [mm] \to [/mm] $ Y und g: Y $ [mm] \to [/mm] $ Z sind nicht konstant, aber die Komposition g $ [mm] \circ [/mm] $ f ist konstant
Hier muss man etwas rumkonstruieren, bis man ein brauchbares Beispiel hat, ich hoffe das hier stimmt:
Zuerst die Mengen: X = {1,2}, Y und Z sind die ganzen Zahlen
Jetzt die Funktionen:
f(1)=1, f(2)=2
g(1)=0, g(x)=x-2 (für x ungleich 1)
Dann ist g(f(x))=0, weil f(x) entweder 1 oder 2 ist, und in beiden Fällen bildet g die Zahl auf 0 ab. Gleichzeitig sind die beiden Funktionen nicht konstant (konstant wären sie, wenn man für alle Werte der Menge das gleiche Ergebnis erhalten würde).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Sa 07.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo KnockDown
Die Antworten von Rex waren zwar nie falch suggerieren aber doch etwas stark, dass es sich meist um Funktionen wie [mm] y=x^{2} [/mm] oder so handelt.
Abbildungen gibt es zwischen Mengen. jedem Elemen der Menge X wird ein Element der Menge Y zugeordnet, das entsprechende Element von Y ist dann das Bild des Elementes von x.
Du kannst Menschen auf ihre Haarfarbe abbilden, wenn du eine Menge von Haarfarben definierst.
f [mm] \circ [/mm] g ist z. Bsp Konstant, wenn f alle Elemente von X auf 3 Elemente von Y abbildet, Y soll aus mehr als 3 Elementen bestehen. wenn g diese 3 Elemente auf ein Element von Z abbildet, andere Elemente von Y aber nicht auf Z, dannsind f und g nicht konstant aber [mm] f\circg [/mm] schon.
Veranschaulichung von f(x,y) meistens mit Höhenlinien. jedem Punkt (x,y) der Erde ist eine z.Bsp eine Höhe zugeordnet, oder eine Temperatur, oder ein Luftdruck. echte Veranschaulichung ist schwer, wenn man kene Höhenlinienbilder lesen kann.
Gruss leduart
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Hi, zuerst mal danke für deine/eure Hilfe!
Ich habe noch eine Frage weil ich etwas nicht verstehe:
> Hallo KnockDown
> Die Antworten von Rex waren zwar nie falch suggerieren aber
> doch etwas stark, dass es sich meist um Funktionen wie
> [mm]y=x^{2}[/mm] oder so handelt.
> Abbildungen gibt es zwischen Mengen. jedem Elemen der
> Menge X wird ein Element der Menge Y zugeordnet, das
> entsprechende Element von Y ist dann das Bild des Elementes
> von x.
Aber hier verstehe ich es nicht: --->
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> Du kannst Menschen auf ihre Haarfarbe abbilden, wenn du
> eine Menge von Haarfarben definierst.
> f [mm]\circ[/mm] g ist z. Bsp Konstant, wenn f alle Elemente von X
> auf 3 Elemente von Y abbildet, Y soll aus mehr als 3
> Elementen bestehen. wenn g diese 3 Elemente auf ein Element
> von Z abbildet, andere Elemente von Y aber nicht auf Z,
> dannsind f und g nicht konstant aber [mm]f\circg[/mm] schon.
Bis hier hin: <---
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Kannst du mir das nochmal vernaschaulichen Bildlich oder nochmal anderst erklären? Ich verstehe das nicht so ganz.
> Veranschaulichung von f(x,y) meistens mit Höhenlinien.
> jedem Punkt (x,y) der Erde ist eine z.Bsp eine Höhe
> zugeordnet, oder eine Temperatur, oder ein Luftdruck. echte
> Veranschaulichung ist schwer, wenn man kene
> Höhenlinienbilder lesen kann.
> Gruss leduart
Das hier dürfte doch ein Höhenlinienbild sein oder?
![[]](/images/popup.gif) Hier
Danke für deine/eure Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Di 10.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Knockdown
> Aber hier verstehe ich es nicht: --->
> ---------------------------------------
> > Du kannst Menschen auf ihre Haarfarbe abbilden, wenn du
> > eine Menge von Haarfarben definierst.
> > f [mm]\circ[/mm] g ist z. Bsp Konstant, wenn f alle Elemente
> von X
> > auf 3 Elemente von Y abbildet, Y soll aus mehr als 3
> > Elementen bestehen. wenn g diese 3 Elemente auf ein Element
> > von Z abbildet, andere Elemente von Y aber nicht auf Z,
> > dannsind f und g nicht konstant aber [mm]f \circ g[/mm] schon.
>
> Bis hier hin: <---
> ---------------
Zum ersten: Also Menge D alle Deutschen; Menge F (schwarz ,dunkelbraun, braun ,blond rot, grau , graumeliert, unbestimmbar)
jetz gehört zu jedem Element aus D ein Element aus F, leduart hat als Bild dunkelbraun, also f(leduart)=dunkelbraun blöd aber ne Abbildung.
Zum zweiten: M=Menge aller natürlichen Zahlen , N die Zahlen 0 bis 10,
O die Zahlen 1 bis 20.
f bildet alle Zahlen auf ihren Rest bei Division durch 3 ab.
Das Bild von ganz M ist dann die Teilmenge (0,1,2) aus N. jedeZahl aus M hat genau eine dieser Zahlen als Bild f(57)=0 f(100)=1 usw.
g bildet alle Zahlen <4 auf 1 ab, alle anderen auf die gleiche Zahl, . Wenn du jetzt erst f, dann g auführst hast du eine konstante Abbildung, alle Elemente von M werden auf die 1 abgebildet. aber f selbst und g hat mehrere Bilder ist also nicht konstant.
> > Veranschaulichung von f(x,y) meistens mit Höhenlinien.
> > jedem Punkt (x,y) der Erde ist eine z.Bsp eine Höhe
> > zugeordnet, oder eine Temperatur, oder ein Luftdruck. echte
> > Veranschaulichung ist schwer, wenn man kene
> > Höhenlinienbilder lesen kann.
> > Gruss leduart
>
> Das hier dürfte doch ein Höhenlinienbild sein oder?
Nein, das ist ein Profil, du hast ja keine xy Ebene.
Die Funktion $f(x,y)=x [mm] ^2+y^2 [/mm] $ hat als Höhenlinienbild konzentrische Kreise um den Nullpunkt. an den Kreisen stehen im Allgemeinen Zahlen 1 am Kreis mit Radius 1, 4 am Kreis mit Radius 2 , das ist der Wert von f auf dem Kreis.
Auf guten landkarten, Wanderkarten, sind die Höhenlinien eingezeichnet, auf einer guten Wetterkarte die Linien gleichen Luftdrucks.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 Di 10.10.2006 | | Autor: | KnockDown |
Vielen Dank für die Erklärung!
Ich hab das jetzt verstanden. Das habe ich auch nicht gewußt mit den Höhenkarten. Aber jetzt hab ich was dazu gelernt. Also das mit den Höhenkarten sind dann immer Funktionen mit 2 unabhänigen Variabeln. Ok :)
Danke
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Ich dachte schon die ganze Zeit wie kommt man von dem einen immer auf das Andere ![[]](http://www.ipp.mpg.de/BB/Lehrstuhl/Mitarbeiter/hsk/PSI/fig18-gross.gif){kind=small}
Hier