Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei eine Abbildung T: [mm] $R^{2}$ $\to$ $R^3$ [/mm] folgendermaßen definiert:
[mm] T($\vec{x}$) [/mm] = $ [mm] \pmat{ x1 + x2 \\ x1 - x2 \\ x1} [/mm] $ , wobei $ [mm] \vec{x} [/mm] $ = [mm] \vektor{x1 \\ x2}
[/mm]
a) Man zeige, dass T linear ist!
b) Man gebe die entsprechende Matrix bezüglich der Standardbasen in [mm] $R^2$ [/mm] bzw [mm] $R^3$ [/mm] an!
c) Wie sieht die Matrix bezüglich der Basis $ [mm] \vec{x1} [/mm] $ = [mm] \vektor{1\\ 1} [/mm] und $ [mm] \vec{x2} [/mm] $ = [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] aus ??
|
So meine Frage !?
wie macht man das , ich habe absolut keine ahnung was da überhaupt steht ...
stehe voll im dunkeln
danke schon mal
gruß Konrad
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Di 20.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zu a) lies in deinem Skript nach, was die Bedingung fuer linear ist und dann probier Stueck fuer Stueck aus. z. Bsp
T(r*x)=r*T(x) usw.
Zu b) du suchst ne matrix, die das tut. sie bildet einen [mm] E^2 [/mm] vektor nach [mm] E^3 [/mm] ab! wie muss sie dann aussehen (Anzahl Spalten, Anzahl Zeilen)?
dann findest du sie, indem du siehst, wohin (1,0) und (0,1) abgebildet werden.
zu c) erstmal a und b und dann les ueber Koordinatentransf. nach.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Danke erst mal
die bedingungen zu a) habe ich gefunden habe aber leider keine ahnung
wie der rechenweg für die weiteren aufgaben ist
könntet ihr mir das mal vorrechnen oder einen link geben wo so was mal erklärt ist
haben leider nur ein bescheidenes script und keine beispielaufgaben oder lösungen
ich weiß überhaupt nicht was ich da mache oder was der hintergrund da zu ist
danke schon mal
gruß konrad
|
|
|
| |
|
Hallo tntkonrad,
ihr habt doch bestimmt im Skript etwas über die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung bzgl. zweier Basen B, B' stehen?!
Stellst du die Bilder der Standardbasis des [mm] \IR^2 [/mm] als LK der Standardbasis des [mm] \IR^3 [/mm] dar, so bilden diese Koeffizienten die Spalten der Darstellungmatrix A,
also:
Standardbasis des [mm] \IR^2: B=\{ \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1}\}
[/mm]
Standardbasis des [mm] \IR^3: B'=\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}\}
[/mm]
[mm] \Rightarrow T\left(\vektor{1 \\ 0}\right)=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}= 1\cdot \vektor{1 \\ 0 \\ 0}+ 1\cdot \vektor{0 \\ 1 \\ 0}+ 1\cdot{}\vektor{0 \\ 0 \\1}
[/mm]
also ist die erste Spalte von A: [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1},
[/mm]
und analog weiter 
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
ich schon wieder
ok habe nach diesem prinzip eine darstellungs matrix berechnet , aber das ist doch wieder die , die am anfang gegeben war.
wo nach ist denn jetzt gefragt ?
danke mal wieder von meiner seite 
PS : geht mal davon aus ich hätte kein script (das ist echt nur ein tafelwerk mit sätzen und beweisen und folgerungen )
|
|
|
| |
|
> ich schon wieder
>
> ok habe nach diesem prinzip eine darstellungs matrix
> berechnet , aber das ist doch wieder die , die am anfang
> gegeben war.
Ja, das liegt daran, dass du in beiden Vektorräumen [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] \IR^3 [/mm] die Standardbasen genommen hast
>
> wo nach ist denn jetzt gefragt ?
>
> danke mal wieder von meiner seite
>
> PS : geht mal davon aus ich hätte kein script (das ist echt
> nur ein tafelwerk mit sätzen und beweisen und folgerungen )
Ich formuliere es mal knapp allgemein:
Sind V,W Vektorräume über einem Körper [mm] \IK [/mm] mit dim(V)=n und dim(W)=m [mm] ,B=\{v_1,...v_n\} [/mm] eine Basis von V und [mm] B'=\{w_1,...,w_m\} [/mm] eine Basis von W und ist [mm] \phi [/mm] eine lineare Abbilding [mm] \phi [/mm] : [mm] V\rightarrow [/mm] W, so existiert eine EINDEUTIGE Matrix [mm] M^B_{B'} \in M_{\IK_{mxn}} [/mm] - die sog. Darstellungsmatrix von [mm] \phi [/mm] bzgl. B,B' - die die lineare Abbildung [mm] \phi [/mm] repräsentiert.
Zur Bestimmung von [mm] M^B_{B'} [/mm] bestimmt man - wie oben schon erwähnt - die Darstellung der Bilder der [mm] v_i [/mm] als LK der [mm] w_i. [/mm] Die Koeffizienten dieser Darstellung bilden die i-te Spalte der Matrix [mm] M^B_{B'}
[/mm]
Wie gesagt, ist die Darstellungsmatrix durch Angabe von Basen eindeutig bestimmt, zu verschiedenen Basen gibts also auch verschiedene darstellende Matrizen
Hoffe, ich konnte es einigermaßen veständlich rüberbringen?!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
hmm, die formulierung hab ich schon ein paar mal gelesen... ich hab das jetzt so verstanden: ich hab irgendeine basis, von der ich ausgehe. und die wird in ein bild "umgewandelt": dabei muss ich das bild der basis von [mm] R^2 [/mm] als linearkombination der basis von [mm] R^3 [/mm] darstellen. die koeffizienten vor den einzelnen vektoren, die die basis bilden, schreibe ich dann als spalten in die darstelungsmatrix.
im prinzip ist doch bei c) eine matrix gesucht, die, wenn ich sie mit der basis x1 multipliziere, die matrix T (x) ergibt, oder? aber ich habe ja bloß einen basisvektor, wie soll ich daraus eine linearkombination machen? wenn ich die standardbasen von [mm] R^2 [/mm] bzw. [mm] R^3 [/mm] nehme, habe ich ja drei vektoren, dann geht es. aber wie mache ich das mit einem vektor? bin total ratlos, und schreibe darüber am donnerstag prüfung... :-(
vielen dank für die Hilfe, ich weiß , ich stell mich gerade an, wie der erste mensch... sorry
|
|
|
| |
|
Moin nochmal,
der Driss mit den linearen Abbildungen ist am Anfang verwirrend, aber das wird schon.
Ich denke, die Aufgabenstellung bei c) ist so gemeint, dass du die Darstellungsmatrix bzgl. [mm] B=\{\vektor{1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0}\} [/mm] und der Standardbasis des [mm] \IR^3 [/mm] berechnen sollst.
Für die Berechnung DER Darstellungsmatrix ist IMMER die Angabe einer Basis sowohl des Urbild-, als auch des Bildraumes vonnöten, die Matrix hängt von BEIDEN Basen ab.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
hallo sorry aber ich habe das immer noch nicht verstanden
die basis ist doch eine 2x2 matritze und das ergebniss eine 3x2 ...
kannst du das bitte mal vor rechnen, damit ich einen rechenweg habe an den ich mich bei den anderen aufgaben halten kann
danke
gruß konrad
|
|
|
| |
|
Hallo Konrad,
nein, bezogen auf dein Bsp. ist eine Basis des Urbildraumes, also des [mm] \IR^2 [/mm] eine Menge von 2 linear unabhängigen Vektoren des [mm] \IR^2, [/mm] also zB [mm] \{\vektor{1 \\ 2}, \vektor{-1 \\ 3}\}, [/mm] denn die Dimension des [mm] \IR^2 [/mm] - also die Anzahl der Basisvektoren - ist 2, eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ist dementsprechend eine Menge mit 3 linear unabhängigen Vektoren des [mm] \IR^3,
[/mm]
allgemein ist für einen Vektorraum V mit dim(V)=n eine Menge mit n linear unabhängigen Vektoren [mm] \in [/mm] V eine Basis , also zB. [mm] \{v_1,v_2,.....,v_n\}, [/mm] wobei die [mm] v_i \in [/mm] V sind.
Um nochmal auf deine Frage zurückzukommen:
du kannst natürlich einen Vektor [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] auch als 2x1-Matrix auffassen (also als Matrix mit 2 Zeilen und 1 Spalte), oder allgemein einen Vektor [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n} [/mm] als nx1-Matrix (n Zeilen, 1 Spalte).
Gruß und gute N8
schachuzipus
|
|
|
| |
|
ich habe jetzt für die letzte aufgabe (c) folgendes ergebnis : $ [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ -1 & 2\\ 0 & 1 } [/mm] $
Ist das richtig??? :-/ habe die Abbildungsvorschrift in eine matrix umgewandelt und diese in "spaltenvektoren" zerlegt. außerdem habe ich die basen x1 und x2 als linearkombination der einheitsvektoren des [mm] R^2 [/mm] dargestellt. die dabei erhaltenen koeffizienten habe ich dann verwendet, um die vorher erzeugten spaltenvektoren als linearkombination darzustellen und bin dabei auf diese matrix gekommen. multipliziert man sie mit der basis, komme ich zumindest auf die abbildungsvorschrift... ich habe also einen winzigen hoffnungsschimmer, dass es stimmen könnte...
Danke
gruß Konrad
|
|
|
| |
|
> ich habe jetzt für die letzte aufgabe (c) folgendes
> ergebnis : [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ -1 & 2\\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Ist das richtig??? :-/ habe die Abbildungsvorschrift in
> eine matrix umgewandelt und diese in "spaltenvektoren"
> zerlegt. außerdem habe ich die basen x1 und x2 als
> linearkombination der einheitsvektoren des [mm]R^2[/mm] dargestellt.
> die dabei erhaltenen koeffizienten habe ich dann verwendet,
> um die vorher erzeugten spaltenvektoren als
> linearkombination darzustellen und bin dabei auf diese
> matrix gekommen. multipliziert man sie mit der basis, komme
> ich zumindest auf die abbildungsvorschrift... ich habe also
> einen winzigen hoffnungsschimmer, dass es stimmen könnte...
>
> Danke
>
> gruß Konrad
Hallo Konrad,
das scheint mir nicht zu stimmen?!
Wenn ich mal [mm] T(x_1), [/mm] also [mm] T\left(\vektor{1 \\ 1}\right) [/mm] bilde, erhalte ich:
[mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] und das ist als LK der (Standard(Basis des [mm] \IR^3 [/mm]
= [mm] 2\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] 0\cdot{}\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] 1\cdot{}\vektor{0 \\ 0 \\ 1}, [/mm] also ist die erste Spalte von M: [mm] \vektor{2 \\ 0 \\1}
[/mm]
Oder habe ich mich da verrechnet?
Nochmal: Die i-te Spalte der Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung bzgl zweier Basen B,B' ergibt sich, indem du den i-ten Basisvektor aus B mittels der linearen Abbildung abbildest (hier [mm] T\left(\vektor{1 \\ 1}\right)=\vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] für die i=erste Spalte von M) und das erhaltene Bild als LK der Basisvektoren aus B' darstellst. Die Koeffizienten dieser LK bilden die i-te Spalte von M
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
lautet die zweite spalte dann $ [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] $ ???
Die Matrix, die ich dann erhalte, ist also das Bild, das entsteht, wenn ich von der Basis ausgehend, die abbildungsvorschrift befolge???? Deshalb ist auch [mm] T\vektor{1 \\ 1} [/mm] = $ [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] $ ??? Ich setze das einfach in die abbildungsvorschrift ein, oder???
|
|
|
| |
|
> lautet die zweite spalte dann [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 }[/mm] ??? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Matrix, die ich dann erhalte, ist also das Bild, das
> entsteht, wenn ich von der Basis ausgehend, die
> abbildungsvorschrift befolge???? Deshalb ist auch
> [mm]T\vektor{1 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 1}[/mm] ??? Ich setze das
> einfach in die abbildungsvorschrift ein, oder??? ja, du willst ja das BILD der einzelnen Basisvektoren haben
Also ist die Darstellungsmatrix [mm] M=\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
Wenn du willst, schicke ich dir nachher - so gegen 19 Uhr (muss nun los) - noch eine Aufgabe zur Berechnung der Darstellungsmatrix, wo der Vektorraum aber Polynome als Elemente hat Sag einfach Bescheid, wenn dir das recht ist
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Geben Sie die Abbildung T: [mm] R^3 [/mm] --> [mm] R^2 [/mm] an, die durch die Matrix A = $ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 } [/mm] $ bezüglich der
Standardbasen induziert wird. |
Das wäre super, wenn du das machen könntest. ich glaube so ganz langsam dämmert es bei mir an manchen stellen, aber es istnoch mehr dunkel als hell... aber es wird.
Hab auch gleich noch eine Frage, hab mir mal die nächste aufgabe vorgenommen. die Standardbasen, sind also die von [mm] R^3 [/mm] und A ist die darstellungsmatrix. Also ist hier nach der Abbildungsvorschrift gefragt? sowas wie [mm] \pmat{ x + & y \\ 2x & -y } [/mm] ?? Wäre die antwort dann $ [mm] \pmat{ 1x \\ 1y \\ 1x+ & 1z } [/mm] $ ?? das wäre doch ein bisschen simpel , oder?
ohje, doch nichts mit dämmerung...
Gruß und danke
Konrad
|
|
|
| |
|
Hallo noch ens
ein Lichtstreif am Horizont
> Geben Sie die Abbildung T: [mm]R^3[/mm] --> [mm]R^2[/mm] an, die durch die
> Matrix A = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
> bezüglich der
> Standardbasen induziert wird.
> Das wäre super, wenn du das machen könntest. ich glaube so
> ganz langsam dämmert es bei mir an manchen stellen, aber es
> istnoch mehr dunkel als hell... aber es wird.
> Hab auch gleich noch eine Frage, hab mir mal die nächste
> aufgabe vorgenommen. die Standardbasen, sind also die von
> [mm]R^3[/mm] und A ist die darstellungsmatrix. Also ist hier nach
> der Abbildungsvorschrift gefragt? sowas wie [mm]\pmat{ x + & y \\ 2x & -y }[/mm]
> ?? Wäre die antwort dann [mm]\pmat{ 1x \\ 1y \\ 1x+ & 1z }[/mm] ??
> das wäre doch ein bisschen simpel , oder?
>
> ohje, doch nichts mit dämmerung...
>
> Gruß und danke
> Konrad
Hmm, die Abbildung muss doch von [mm] \IR^3\rightarrow\IR^3 [/mm] gehen, die Matrix ist ja eine 3x3 Matrix
Also hier nun der umgekehrte Weg.
Welche Informationen gibt dir die Darstellungsmatrix?
Nun, in der i-te Spalte der Matrix stehen genau die Koeffizienten der Darstellung des i-ten Basisvektors der Standardbasis des Urbildraumes [mm] \IR^3 [/mm] als LK der Standardbasisvektoren des Bildraumes [mm] (\IR^3)
[/mm]
Gesucht ist nun die Abbildungsvorschrift für einen allgemeinen Vektor [mm] \vektor{x \\ y \\ z}\in\IR^3.
[/mm]
Nun man kann ja den Vektor [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] als LK der Basis darstellen:
[mm] \vektor{x \\ y \\ z}=x\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] y\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] z\vektor{0\\ 0 \\ 1}
[/mm]
Nun benutze, dass die T eine lineare Abbildung ist.
Versuch's mal
Gruß
schachuzipus
PS: ich schick dir die Aufgabe als PN - wird aber etwas dauern, muss es eintippeln
|
|
|
| |
|
Hmm, die Abbildung muss doch von $ [mm] \IR^3\rightarrow\IR^3 [/mm] $ gehen, die Matrix ist ja eine 3x3 Matrix
Also hier nun der umgekehrte Weg.
Welche Informationen gibt dir die Darstellungsmatrix?
Nun, in der i-te Spalte der Matrix stehen genau die Koeffizienten der Darstellung des i-ten Basisvektors der Standardbasis des Urbildraumes $ [mm] \IR^3 [/mm] $ als LK der Standardbasisvektoren des Bildraumes $ [mm] (\IR^3) [/mm] $
Gesucht ist nun die Abbildungsvorschrift für einen allgemeinen Vektor $ [mm] \vektor{x \\ y \\ z}\in\IR^3. [/mm] $
Nun man kann ja den Vektor $ [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] $ als LK der Basis darstellen:
$ [mm] \vektor{x \\ y \\ z}=x\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] $ + $ [mm] y\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] $ + $ [mm] z\vektor{0\\ 0 \\ 1} [/mm] $
Ok, bis hierhin hab ich es halbwegs verstanden. Ich weiß also, dass das Bild des z.b. 3. basisvektors von [mm] R^3 [/mm] durch 0* [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] +0* [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + 1* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] dargestellt wird. Dann wäre das Bild des 3.Basisvektors also $ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] $ ??? und ich weiß, das die Basisvektoren des [mm] R^3 [/mm] $ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] $ , $ [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] $ und $ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] $ sind. also suche ich die Abbildungsvorschrift durch die z.B $ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] $ zu $ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] $ wird? das ist doch dasselbe... ahhhhhhh, ich glaub ich bin zu doof dafür... :-(
Vielen, vielen dank, dass du so geduldig bist. Du gibst dir echt alle mühe es mir zu erklären... der lehrer ist willig, aber der schüler schwach (leicht zweckentfremdet..)
|
|
|
| |
|
Jo kein Problem - gut Ding will Weile haben
Also du hast ne LINEARE Abbildung [mm] T:\IR^3\rightarrow\IR^3 [/mm] und die T bzgl der Standardbasen darstellende Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
Nun ist die explizite Abbildungsvorschrift gesucht, also [mm] T\left(\vektor{x \\ y \\ z}\right)=???
[/mm]
gut da [mm] B=\{\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 1}\} [/mm] eine Basis vom [mm] \IR^3 [/mm] ist, kann man jeden Vektor aus [mm] \IR^3 [/mm] als LK der Basisvektoren darstellen - wie oben beschrieben.
[mm] \vektor{x \\ y \\ z}=x\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+y\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+z\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Nun nutzen wir die Infos, die uns A gibt und dass T eine LINEARE Abbildung ist, dass also insbesondere gilt: [mm] \forall v,w\in\IR^3\forall\lambda,\mu\in\IR: T(\lambda v+\mu w)=\lambda T(v)+\mu [/mm] T(w), also hier
[mm] T\left(\vektor{x \\ y \\ z}\right)=T\left(x\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+y\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+z\vektor{0 \\ 0 \\ 1}\right)=x\cdot{}T\left(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}\right)+y\cdot{}T\left(\vektor{0 \\ 1 \\ 0}\right)+z\cdot{}T\left(\vektor{0 \\ 0 \\ 1}\right) [/mm] .... nun du weiter...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
und für x, y, z -also die koeffizienten, setze ich die zahlen der i-ten spalte des vektors ein???
|
|
|
| |
|
Jo hello again,
nö
die Darstellungsmatrix gibt dir doch genau die Info über die BILDER der BASISVEKTOREN, also kannst du für [mm] T\left(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}\right),T\left(\vektor{0 \\ 1 \\ 0}\right) [/mm] und [mm] T\left(\vektor{0 \\ 0 \\ 1}\right) [/mm] die entsprechenden Vektoren "einsetzen" und hast direkt die explizite Abbildungsvorschrife für T
Gruß
schachuzipus
PS: haste die Aufgaben bekommen?
|
|
|
|
