Abbildung, Bild, Urbild < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei f: X --> Y eine beliebige Abb. [mm] (f\subset [/mm] X x Y), f(A) bezeichnet das Bild von A [mm] \subset [/mm] X und [mm] f^{-1}(A') [/mm] das Urbild A' [mm] \subset [/mm] Y.
a) Zeigen Sie: Aus A' [mm] \subset [/mm] B' [mm] \subset [/mm] Y folgt [mm] f^{-1}(A') \subset f^{-1}(B').
[/mm]
b) Überprüfen Sie folgende Inklusionen
[mm] f(f^{-1}(A')) \supset [/mm] A' (A' [mm] \subset [/mm] f(X) [mm] \subset [/mm] Y)
[mm] f^{-1}(f(A)) \supset [/mm] A (A [mm] \subset f^{-1}(Y) \subset [/mm] X)
Prüfen Sie, ob die Gleichheit gilt (oder finden Sie je ein Gegenbeispiel)
c) Folgt aus [mm] f^{-1}(A') [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] , dass A'= [mm] \emptyset [/mm] ?
d) Zeigen Sie [mm] f^{-1}(A' \cap [/mm] B') = [mm] f^{-1}(A') \cap f^{-1}(B'), [/mm] wenn f eine eindeutige Abb (Funktion) ist.
Welche Beziehung gilt, wenn f nicht eindeutig ist? |
Hallo und ein schönes Wochenende allen zusammen.
(Bin neu im Forum und im Studium (1. Semester) und entschuldige mich für eventuelle formale Fehler)
Dies ist eine Teilaufgabe der Algebra Hausaufgaben, die mir Kopfzerbrechen bereitet, sehe kaum einen Ansatz für die Lösungen.
Würde mich freuen, wenn mir jemand dabei helfen könnte.
Hier meine Überlegungen:
a) für mich eine Verkettung, von daher logisch (sicher keine mathematisch tragbare Begründung)
b) die erste Fkt ist für mich die Identitätsabb. von A' und die Zweite von A, aber wie ich das jetzt begründe (im Falle, es stimmt überhaupt), weis ich nicht.
c) nein, da z.B. f(x)= [mm] \bruch{2x}{2-x} [/mm] für x=2 keine Lösung für f(x) ergibt, aber das x=2 ist.
d) sehe es auch (trügerisch) als selbstverständlich, dass das so ist.
Also vielen Dank an euch für eure Hilfe
Tschüß und ein schönes Wochenende
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 So 05.11.2006 | | Autor: | wieZzZel |
Hallo nochmal.
Falls ihr nicht alles wisst, wäre mir schon mit wenigen Tipps geholfen (denke ich mal).
Danke und Tschüß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Mo 06.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du solltest dich dringend mit dem Begriffen Bild und Urbild von Abbildungen beschaeftigen.
Also es handelt sich hier nicht um bijektive Funktionen oder sowas, sondern Abbildungen im allgemeinen.
Also ein element x aus X hat zwar ein eindeutiges Bild f(x) aber nicht jedes Element y aus Y hat ein eindeutiges (oder ueberhaupt ein) Urbild [mm] f^{-1}(y) [/mm] ..
zu a) setze so an : sei y aus A' beliebig gewaehlt, damit ist y auch in B'.
jedes Element x aus [mm] f^{-1}(y) [/mm] hat als Bild natuerlich y und deshalb liegt x auch in [mm] f^{-1}(B') [/mm] ....
zu b) schau dir doch mal nicht-injektive Abbildungen an und mal dir mal ein paar Beispiele auf oder sowas..
zu c) deine Begruendung dafuer ist falsch, denn es geht darum, dass das Urbild eines Funktionswertes leer sein soll - also ein Funktionswert wird nicht getroffen (nicht-surjektiv) - der Funktionswert (bzw die Menge von Funktionswerten=A') muss deshalb natuerlich nicht leer sein, wenn die abbildung nicht-surjektiv ist.
(gegenbeispiel reicht als begruendung)
zu d) da steht nicht umsonst eine unterscheidung zw eindeutigen (bijektiven) Abbildungen und keinen - wo findest du denn einen Unterschied ?!?
viele gruesse
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Mo 06.11.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin WieZzZel!
Schau dir vor der Bearbeitung der Teilaufgabe d) nocheinmal an, welche Abbildungen ihr als eindeutig gekennzeichnet habt.
Bei mir hies eindeutig nur surjektiv und nicht wie in obiger Antwort bijektiv.
eindeutig (surjektiv):
Sei $f: [mm] A\to [/mm] B$ eine Abbildung:
Dann heist f eindeutig, wenn jedem [mm] $b\in [/mm] B$ ein Wert [mm] $a\in [/mm] A$ mit $f(a)=b$ zugewiesen werden kann.
[mm] $\forall b\in [/mm] B$ [mm] $\exists a\in [/mm] A$ : $b:=f(a)$
Injektiv:
Sei [mm] $f:A\to [/mm] B$ eine Abbildung. Dann heißt $f$ injektiv, wenn verschiedene Elemente von $A$ verschiedene Funktionswerte in $B$ haben.
[mm] $\forall a_1,a_2\in [/mm] A$ : [mm] $a_1\not= a_2\Rightarrow f(a_1)\not= f(a_2)$
[/mm]
eineindeutig oder umkehrbar eindeutig (bijektiv)
Sei [mm] $f:A\to [/mm] B$ eine Abbildung. dann heißt $f$ eineindeutig wen $f$ bijektiv ist. Also wenn $f$ injektiv und surjektiv ist.
Kann aber auch sein das ihr das anders definiert habt.
MfG
Sashman
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Mo 06.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
oha - danke fuer die ergaenzung !
hatte eben vor der Mittagspause doch glatt uebersehen, dass da gar nicht eineindeutig gemeint war^^
Aber dennoch bleibt die Fragestellung suggestiv und man sollte sich genau dazu mal gedanken machen...
viele Gruesse
DaMenge
|
|
|
| |
|
Hallo und erstmal Danke für eure Hilfe.
Aber nochmal ein paar Fragen.
zu a) habe ein beliebiges y [mm] \in [/mm] A' und somit auch y [mm] \in [/mm] B' und auch y [mm] \in [/mm] Y, aber weiter???
b) helfen mir eure Ausführungen wenig weiter.
c) vielleicht mal ein Gegenbeispiel, weis zwar was gemeint ist, aber wie ich es ausdrücken soll (außer wie ich es oben hatte) weiß ich nicht
d) verstehe ich leider auch nicht.
Also helft mir mal bitte auf die Sprünge.
Danke und Tschüüß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Do 09.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
