Abbildung im Skalarprodukt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum mit dem Skalarprodukt $< [mm] \cdot [/mm] , [mm] \cdot [/mm] >$. Weiter sei $f: V [mm] \to [/mm] V$ eine Abbildung, für die [mm] $\left \langle f(x),f(y) \right \rangle [/mm] = [mm] \left \langle x,y \right \rangle [/mm] $ für alle $x,y [mm] \in [/mm] V$ gilt.
(i) Zeigen Sie, dass $f [mm] \in [/mm] L(V,V)$ ist.
Hinweis: Sie können [mm] $||f(\lambda [/mm] x + [mm] \mu [/mm] y) - [mm] \lambda [/mm] f(x) - [mm] \mu [/mm] f(y)||$ untersuchen.
(ii) Zeigen Sie, dass f injektiv ist.
(iii) Sei nun V endlichdimensional. Zeigen Sie, dass f bijektiv ist.
(iv) Sei
$V = [mm] \left \{ (a_o, a_1, ...) \subseteq K : \sum_{k = 0}^{\infty}|a_k|^2 < \infty \right \}$
[/mm]
und sei das Skalarprodukt durch
[mm] $$\left \langle (x_0, x_1, ...), (y_0,y_1,...) \right \rangle [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\bar{x}_ky_k$
[/mm]
gegeben. (Sie brauchen weder zu zeigen, dass V ein K-Vektorraum ist, noch das < [mm] \cdot, [/mm] cdot > wohldefiniert und ein Skalarprodukt ist.)
Betrachten Sie die Abbildung
$f: V [mm] \to [/mm] V, [mm] (x_0,x_1,...) \mapsto (0,x_0,x_1,...)$,
[/mm]
den sogenannten "Rechtsshift-Operator". Zeigen Sie, dass für alle $x,y [mm] \in [/mm] V$ die Gleichung [mm] $\left \langle f(x),f(y) \right \rangle [/mm] = [mm] \left \langle x,y \right \rangle$ [/mm] gilt, dass f jedoch nicht bijektiv ist. |
Also irgendwie glaube ich, habe ich das nicht richtig durchdrungen. Zumindest fühlt es sich so an.
(i) Verwirrt mich der Hinweis total. Ich hab das ganz anders angegangen. Nämlich wie folgt:
Sei $x,y,z [mm] \in [/mm] V$ und [mm] $\lambda \in [/mm] K$ sowie das Skalarprodukt wie in der Aufgabe beschrieben definiert. Dann gilt:
[mm] $\left \langle f(\lambda \cdot x + z),f(y) \right \rangle [/mm] = [mm] \left \langle \lambda \cdot x + z , y \right \rangle [/mm] = [mm] \bar{\lambda} \left \langle x,y \right \rangle [/mm] + [mm] \left \langle z,y \right \rangle [/mm] = [mm] \bar{\lambda} \left \langle f(x),f(y) \right \rangle [/mm] + [mm] \left \langle f(z),f(y) \right \rangle [/mm] = [mm] \left \langle \lambda f(x) + f(z),f(y) \right \rangle$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] ist f linear.
Oder ist das irgendwie quatsch? o.O
Naja jedenfalls fehlt mir dann auch für (ii) die richtige Idee. Vor allem in Anbetracht der Tatsache was in (iii) gefragt ist. Was verändert denn die Endlichdimensionalität?
Von (iv) mal ganz zu schweigen.
Ich bin froh wenn ihr mir helfen könntet. Vielen Dank schon mal im Voraus. Grüße, euer Highchiller
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:40 So 15.05.2011 | | Autor: | huzein |
zu i. ist soweit in Ordnung denk ich.
zu ii. zur Injektivität gibt es verschiedene Ansätze abhängig davon was in der Vorlesung bereits behandelt wurde. Entweder zeigt man dass der Kern nur das Nullelement enthält oder man geht per Definition an die Sache, dh für jedes [mm] $x,y\in [/mm] V$ gilt [mm] $f(x)=f(y)\implies [/mm] x=y$.
zu iii. : Im Endlichdimensionalen sind die Begriffe injektiv und surjektiv äquivalent. Das heißt, ist ein Endomorphismus injektiv dann ist er immer dann auch surjektiv und per Definition folgt dann die Bijektivität.
Gruß
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> Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum mit dem
> Skalarprodukt [mm]< \cdot , \cdot >[/mm]. Weiter sei [mm]f: V \to V[/mm] eine
> Abbildung, für die [mm]\left \langle f(x),f(y) \right \rangle = \left \langle x,y \right \rangle[/mm]
> für alle [mm]x,y \in V[/mm] gilt.
>
> (i) Zeigen Sie, dass [mm]f \in L(V,V)[/mm] ist.
> Hinweis: Sie können [mm]||f(\lambda x + \mu y) - \lambda f(x) - \mu f(y)||[/mm]
> untersuchen.
>
> (ii) Zeigen Sie, dass f injektiv ist.
>
> (iii) Sei nun V endlichdimensional. Zeigen Sie, dass f
> bijektiv ist.
>
> (iv) Sei
> [mm]V = \left \{ (a_o, a_1, ...) \subseteq \red{K }: \sum_{k = 0}^{\infty}|a_k|^2 < \infty \right \}[/mm]
Hallo,
da muß [mm] K^{\IN} [/mm] stehen.
>
> und sei das Skalarprodukt durch
> [mm][/mm][mm] \left \langle (x_0, x_1, ...), (y_0,y_1,...) \right \rangle[/mm] [/mm]
> = [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\bar{x}_ky_k$[/mm]
> gegeben. (Sie brauchen weder zu zeigen, dass V ein
> K-Vektorraum ist, noch das < [mm]\cdot,[/mm] cdot > wohldefiniert
> und ein Skalarprodukt ist.)
>
> Betrachten Sie die Abbildung
> [mm]f: V \to V, (x_0,x_1,...) \mapsto (0,x_0,x_1,...)[/mm],
> den
> sogenannten "Rechtsshift-Operator". Zeigen Sie, dass für
> alle [mm]x,y \in V[/mm] die Gleichung [mm]\left \langle f(x),f(y) \right \rangle = \left \langle x,y \right \rangle[/mm]
> gilt, dass f jedoch nicht bijektiv ist.
> Also irgendwie glaube ich, habe ich das nicht richtig
> durchdrungen. Zumindest fühlt es sich so an.
>
> (i) Verwirrt mich der Hinweis total. Ich hab das ganz
> anders angegangen. Nämlich wie folgt:
> Sei [mm]x,y,z \in V[/mm] und [mm]\lambda \in K[/mm] sowie das Skalarprodukt
> wie in der Aufgabe beschrieben definiert. Dann gilt:
> [mm]\left \langle f(\lambda \cdot x + z),f(y) \right \rangle = \left \langle \lambda \cdot x + z , y \right \rangle = \bar{\lambda} \left \langle x,y \right \rangle + \left \langle z,y \right \rangle = \bar{\lambda} \left \langle f(x),f(y) \right \rangle + \left \langle f(z),f(y) \right \rangle = \left \langle \lambda f(x) + f(z),f(y) \right \rangle[/mm]
>
Bis hierher ist nichts Falsches zulesen, aber der Schluß stimmt nicht:
> [mm]\Rightarrow[/mm] ist f linear.
(Aus [mm] \vec{a}*\vec{b}=\vec{c}*\vec{b} [/mm] folgt nicht [mm] \vec{a}=\vec{c})
[/mm]
>
> Oder ist das irgendwie quatsch? o.O
>
> Naja jedenfalls fehlt mir dann auch für (ii) die richtige
> Idee. Vor allem in Anbetracht der Tatsache was in (iii)
> gefragt ist. Was verändert denn die
> Endlichdimensionalität?
Zeige, daß der Kern von f nur die Null enthält.
>
> Von (iv) mal ganz zu schweigen.
Überlege Dir, auf welche Folge nichts abgebildet wird,
Gruß v. Angela
>
> Ich bin froh wenn ihr mir helfen könntet. Vielen Dank
> schon mal im Voraus. Grüße, euer Highchiller
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| Aufgabe | | Aufgabe siehe oben... |
> Bis hierher ist nichts Falsches zulesen, aber der Schluß stimmt nicht:
> > ist f linear.
Dann ist aber gleich der ganze Ansatz falsch. Oder komm ich in diese Richtung doch zur Lösung? Aber wenn wie. Ich mein, wenn ich das ganze in der zweiten Komponente überprüfe, dann bringt mir das ja auch nichts.
Ergo dann doch den Hinweis verwenden. Aber wenn ich den Hinweis einfach aufschlüssel (also quasi Linearität zeige) dann steh ich doch vorm selben Problem wie jetzt. Der Schluss passt dann nicht.
Ach stimmt. Das hab ich ganz vergessen, dass die Aussagen äquivalent sind im endlichdimensionalen. Vielen Dank.
Hmm. Ich sitz grad in der Uni, über (iv) muss ich erst noch nachdenken. Wirklich verstanden hab ich den Hinweis nicht.
Danke schon mal :)
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Moin,
> Ergo dann doch den Hinweis verwenden. Aber wenn ich den
> Hinweis einfach aufschlüssel (also quasi Linearität
> zeige) dann steh ich doch vorm selben Problem wie jetzt.
> Der Schluss passt dann nicht.
Wieso?
> Hinweis: Sie können $ [mm] ||f(\lambda [/mm] x + [mm] \mu [/mm] y) - [mm] \lambda [/mm] f(x) - [mm] \mu [/mm] f(y)|| $ untersuchen.
Zeige (*), dass [mm] $||f(\lambda x+\mu [/mm] y) - [mm] \lambda [/mm] f(x) - [mm] \mu [/mm] f(y)||=0$ für [mm] x,y\in [/mm] V und [mm] \lambda,\mu\in [/mm] k (k der V zugrundeliegende Körper).
Dann gibt es ein Normaxiom, das besagt [mm] \|z\|=0 \Rightarrow [/mm] z=0.
Wegen (*) folgt also [mm] $f(\lambda x+\mu [/mm] y) - [mm] \lambda [/mm] f(x) - [mm] \mu [/mm] f(y)=0$
Das ist aber gerade die gesuchte Linearitätseigenschaft.
LG
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| Aufgabe | | > Überlege auf welche Folge nichts abgebildet wird |
Also die ganzen anderen Aufgaben habe ich jetzt. Ehrlich gesagt fühl ich mich richtig schlecht daran nicht allein gedacht zu haben. War viel einfacher als gedacht.
Auch (iv) hab ich hinbekommen. Es fehlt mir nur noch zu zeigen, dass f nicht bijektiv ist.
Nur beim letzten da fehlts immernoch.
Naja auf welche Folge wird nichts abgebildet.
Wenn x = (0,0,0,...) ist.
Damit ist x [mm] \in [/mm] V und der Rechtsshift-Operator verändert nichts an x.
Aber in wie weit hilft mir das weiter. Heißt das jetzt f ist nicht injektiv?
Antwort:
Weil f nicht surjektiv ist.
Denn im Bild von f gilt, dass jedes [mm] a_0 [/mm] = 0 ist. Aber in V gibt es Folgen für die [mm] a_0 [/mm] != 0 gilt. Damit ist f nicht surjektiv. Also nicht bijektiv.
Ich sollte erst denken und dann fragen. :)
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Hallo,
> Naja auf welche Folge wird nichts abgebildet.
> Wenn x = (0,0,0,...) ist.
Hm???
> Damit ist x [mm]\in[/mm] V und der Rechtsshift-Operator verändert
> nichts an x.
Ja.
> Aber in wie weit hilft mir das weiter. Heißt das jetzt f
> ist nicht injektiv?
Nein.
Du hast doch jetzt bloß herausgefunden, daß f(0)=0 ist.
Das ist jetzt nicht so die Hammererkenntnis für lineare Funktionen.
Wenn Du herausgefunden hättest, daß f nicht injektiv ist, wäre etwas im Argen, denn dies würde ja dem Aufgabenteil ii) widersprechen...
Daß die Abbildung injektiv ist, hast Du dort schon gezeigt.
Die Bijektivität kann also nur aufgrund der Surjektivität platzen.
> Antwort:
> Weil f nicht surjektiv ist.
> Denn im Bild von f gilt, dass jedes [mm]a_0[/mm] = 0 ist. Aber in V
> gibt es Folgen für die [mm]a_0[/mm] != 0 gilt.
Genau. Du solltest solch eine Folge ganz konkret angeben.
> Damit ist f nicht
> surjektiv. Also nicht bijektiv.
Genau.
Wo war jetzt das Problem?
> Ich sollte erst denken und dann fragen. :)
Das ist das Schöne am Forum: wenn man beim Schreiben und Fragen denkt, wird einem manches selbst klar.
Gruß v. Angela
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