Abbildung in bestimmter Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Do 08.07.2004 | | Autor: | Magician |
Hallo, ich habe da folgende Aufgabe, welche mir sehr unklar ist:
Sei [mm]v=(1,2,3) \in \IR^3 [/mm]. Geben sie die Matrizen der linearen Abbildungen [mm]x \to x \times v[/mm] und [mm] x \to v \times x [/mm]in einer von ihnen gewählten Basis an.
Ich weiss nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll, denn ich weiss doch gar nicht wie x aussieht? Ausserdem ist mir die ganze Aufgabe etwas unklar. Wäre schön, wenn mir jemand helfen kann. MfG Magician.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Do 08.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Magician!
Erst einmal soltest du dir diesen Beitrag durchlesen, in dem der Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen ausführlich erklärt wird.
Jetzt soll die darstellende Matrix der linearen Abbildung
$F : [mm] \begin{array}{ccc} \IR^3 & \to & \IR^3 \\[5pt] x & \mapsto & x \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{array}$
[/mm]
berechnet werden, bezüglich einer beliebigen Basis von [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Da wir nicht völlig durchgeknallt sind, nehmen wir mal zur Sicherheit die Standardbasis
[mm] ${\cal E}_3 [/mm] = [mm] \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$.
[/mm]
Was müssen wir also machen: Die Bilder der Basisvektoren berechnen:
Es gilt:
$F [mm] \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}$,
[/mm]
$F [mm] \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$,
[/mm]
$F [mm] \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Die darstellende Matrix lautet also:
[mm] $M_{{\cal E}_3}^{{\cal E}_3}(F) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ -3 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Hast du das verstanden?
Versuche das Gleiche jetzt mal bitte für die lineare Abbildung
$F : [mm] \begin{array}{ccc} \IR^3 & \to & \IR^3 \\[5pt] x & \mapsto & \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times x \end{array}$
[/mm]
zu machen und melde dich bitte mit deinem Ergebnis (mit Zwischenschritten) zur Kontrolle.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Fr 09.07.2004 | | Autor: | Magician |
Hallo, ich glaube ich habe den Beitrag so weit verstanden (sehr lange Erklärung). Aber wie kommst du daraf, dass die Bilder so aussehen, wie du sie angegeben hast? Ist diese Antwort richtig:
Ich schaue mir jeden Basisvektor meiner selbst gewählten Basis an, da die einfachsten Basisvektoren die der Standardbasis sind, nehme ich die natürlich. Nun führe ich meine Abbildung auf diese Basis aus, dabei erhalte ich für die 3 Basisvektoren die 3 Abbildungsvektoren. Diese fasse ich nun in eine Matrix zusammen. Also müsste dies für den andren Fall so gehen:
Ich nehme die 3 verschiedenen Basisvektoren [mm]\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] und führe die Abbildungsvorschrift auf diese aus: [mm]\begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm] dies mache ich ebenso für die anderen 2 Basisvektoren. Somit erhalte ich im enddefekt die Matrix: [mm]\begin{pmatrix}
0 & 2 & -3\\ 3 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm]. Ist dies korrekt? MfG Magician.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 Fr 09.07.2004 | | Autor: | Magician |
Hallo, ja ich hatte auf meinem Schmierbaltt die Reihenfolge vertauscht. Ich danke dir für deine Hilfe und dem Autor des Megaartikels über Basen und Abbildungen. Das Problem mit diesem Zeug ist, dass in den Büchern, welche ich kenne dies immer nur streng mathematisch erklärt wird mit Definitionen, Beweisen und anderem. Dies ist zwar notwendig, doch ohne eine ausführliche Erklärung anhand von Beispielen und einfachen Darstellungen bringt mir dies meist nichts, nur wenn ich es bereits verstanden habe und mir dies dann noch mal anschaue möchte um zu sehen, wie dies genau definiert ist. Deshalb finde ich so etwas wie den Matheraum echt gut, weil man hier alles Schritt für Schritt erklärt bekommt und man nicht immer auf streng mathematische Form achten muss (musste ich mal loswerden). Trotzdem meine Frage kennt jemand von euch ein Skript, Artikel, Buch u.ä. in welchem dies ganz genau erklärt wird, damit meine ich nicht nur diese eine spezielle Fragestellung, sondern L.A. allgemein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 Fr 09.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Magician!
> Hallo, ja ich hatte auf meinem Schmierbaltt die Reihenfolge
> vertauscht. Ich danke dir für deine Hilfe und dem Autor des
> Megaartikels über Basen und Abbildungen.
Ich werde es ihm ausrichten.  Glaubst du an die Zweifaltigkeit? (Kleiner Insider.)
> Das Problem mit
> diesem Zeug ist, dass in den Büchern, welche ich kenne dies
> immer nur streng mathematisch erklärt wird mit
> Definitionen, Beweisen und anderem.
Stimmt. Das stört zu Beginn des Studiums.
> Dies ist zwar
> notwendig, doch ohne eine ausführliche Erklärung anhand von
> Beispielen und einfachen Darstellungen bringt mir dies
> meist nichts, nur wenn ich es bereits verstanden habe und
> mir dies dann noch mal anschaue möchte um zu sehen, wie
> dies genau definiert ist. Deshalb finde ich so etwas wie
> den Matheraum echt gut, weil man hier alles Schritt für
> Schritt erklärt bekommt und man nicht immer auf streng
> mathematische Form achten muss (musste ich mal loswerden).
Danke, wir können Lob auch mal ganz gut gebrauchen. 
> Trotzdem meine Frage kennt jemand von euch ein Skript,
> Artikel, Buch u.ä. in welchem dies ganz genau erklärt wird,
> damit meine ich nicht nur diese eine spezielle
> Fragestellung, sondern L.A. allgemein?
Ja, ich denke an das Buch von Beutelspacher zur Linearen Algebra. Das wird dir gefallen, es ist von ähnlichem Stil wie der lange Artikel, den du gelesen hast.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]"){kind=small}
