Abbildung injektiv oder linear < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben Sie für jede der folgenden Funktionen an, ob sie
1) linear, 2) injektiv ist und begründen Sie Ihre Behauptung:
a) f: R2-> R2 f(x1 , x2 ) = (2x1 - x2 , x1 + x2 )
b) g: R2 -> R g(x1 , x2 ) = 3x1 - x2
c) h: R2 ->R2 h(x1 , x2 ) = (x13, - x2 )
d) d: R2-> R3 d(x1 , x2 ) = (x1 - x2 +1, 2(x1 - x2 +1), 3(x1 - x2 +1) ).
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Hallo,
schreib demnächst in der Uni La2 und bin schon mit der Aufgabe überfordert.
Ok was injektiv heißt weiß ich und was ne lineare funktion ist, ist mir auch klar, aber versteh trotzdem nicht wie ich hier vorgehen muss.
Wäre super wenn mir da jemand helfen könnte.
gruß marcel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Marcel,
> Geben Sie für jede der folgenden Funktionen an, ob sie
> 1) linear, 2) injektiv ist und begründen Sie Ihre
> Behauptung:
> a) f: R2-> R2 f(x1 , x2 ) = (2x1 - x2 , x1 + x2 )
> b) g: R2 -> R g(x1 , x2 ) = 3x1 - x2
> c) h: R2 ->R2 h(x1 , x2 ) = (x13, - x2 )
> d) d: R2-> R3 d(x1 , x2 ) = (x1 - x2 +1, 2(x1 - x2 +1),
> 3(x1 - x2 +1) ).
>
> was injektiv heißt weiß ich und was ne lineare funktion
> ist, ist mir auch klar, aber versteh trotzdem nicht wie ich
> hier vorgehen muss.
Du musst genau die Definitionen von "injektive Funktion"
und "lineare Funktion" benützen und nachprüfen, ob sie
erfüllt sind oder nicht.
Weil man für die Injektivität jeweils zwei Vektoren und
ihre Bildvektoren betrachten muss, möchte ich der
Überschaubarkeit zuliebe vorschlagen, hier statt der
Nümmerchen-Schreibweise [mm] x_1 [/mm] , [mm] x_2 [/mm] Koordinaten x und y
bzw. u und v zu verwenden.
Im ersten Beispiel etwa:
a) $\ f(x,y)=(2x-y,x+y)$
$\ f(u,v)=(2u-v,u+v)$
Um zu zeigen, dass f injektiv ist, musst du zeigen:
Aus $\ f(x,y)=f(u,v)$ folgt $\ (x,y)=(u,v)$
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Hm ok. Die Idee bzw das Beispiel verstehe ich leider nicht.
> Im ersten Beispiel etwa:
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> a) [mm]\ f(x,y)=(2x-y,x+y)[/mm]
> [mm]\ f(u,v)=(2u-v,u+v)[/mm]
>
> Um zu zeigen, dass f injektiv ist, musst du zeigen:
>
> Aus [mm]\ f(x,y)=f(u,v)[/mm] folgt [mm]\ (x,y)=(u,v)[/mm]
>
Mir ist klar, dass bei a nur x1,x2 durch x,y bzw u,v ersetzt wurden.
Aber wieso 2mal und wie soll ich die Folgerung beweisen?
Habe leider keinen Skript dazu und eine Vorlesung gab es leider auch nicht (Studienverordnungswechsel etc...). Konnt mir zu dem Thema auch leider nichs googlen, da immer nu die Definitionen für injektiv, surjektiv und bijektiv kamen...
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> Hm ok. Die Idee bzw das Beispiel verstehe ich leider
> nicht.
>
> > Im ersten Beispiel etwa:
> >
> > a) [mm]\ f(x,y)=(2x-y,x+y)[/mm]
> > [mm]\ f(u,v)=(2u-v,u+v)[/mm]
> >
> > Um zu zeigen, dass f injektiv ist, musst du zeigen:
> >
> > Aus [mm]\ f(x,y)=f(u,v)[/mm] folgt [mm]\ (x,y)=(u,v)[/mm]
> >
> Mir ist klar, dass bei a nur x1,x2 durch x,y bzw u,v
> ersetzt wurden.
Das mache ich nur, weil es zumindest mir lieber
ist, ohne Indices und Doppelindices auszukommen,
wenn es nicht sein muss.
> Aber wieso 2mal und wie soll ich die Folgerung beweisen?
Eine Funktion f ist injektiv, falls aus f(a)=f(b) folgt, dass
a=b ist. Deshalb betrachten wir hier a=(x,y) und b=(u,v),
zunächst als zwei beliebige Vektoren aus [mm] \IR^2. [/mm] Wenn nun
f(a)=f(b) ist, heisst dies im Klartext:
[mm]\ f(x,y)=f(u,v)[/mm]
d.h.
2x-y=2u-v und x+y=u+v
Betrachte dies z.B. als ein Gleichungssystem mit
den Unbekannten x,y und gegebenen Werten u,v.
Löse es auf und bestätige, dass es nur die Lösung
x=u und y=v hat, das heisst a=b !
Damit ist die Injektivität gezeigt.
Um zu zeigen, dass f linear ist, musst du zeigen:
1.) f(k*a)=k*f(a), also f(k*(x,y))=k*f((x,y))
2.) f(a+b)=f(a)+f(b), also f((x,y)+(u,v))=f((x,y))+f((u,v))
Der Beweis besteht aus ausführlichem Nachrechnen.
LG
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