Abbildung nicht surjektiv < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Sa 10.01.2009 | | Autor: | djd92l |
| Aufgabe | Es sei [mm] $V:=\{a_0+a_1*x^1+\ldots+a_n*x^n | a_0,\ldots,a_n \in \IR, n \in \IN\}$ [/mm] der [mm] $\IR-Vektorraum$ [/mm] aller Polynome mit reellen Koeffizienten.
Beweisen Sie, dass die Abbildung
[mm] $\gamma [/mm] : V [mm] \to [/mm] V, [mm] \gamma(p)(x) [/mm] := x*p(x)$
linear und injektiv, aber nicht surjektiv ist. |
Hi,
bewiesen dass die Abbildung linear und injektiv ist, habe ich schon.
Meine Frage ist jetzt noch, ob ich den Beweis für "nicht surjektiv" richtig gemacht habe.
Meine Lösung:
Definition Surjektiv: [mm] $\forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X: f(x) = y$
Das Gegenteil ist dann [mm] $\neg (\forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X: f(x) = y) [mm] \gdw \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] Y [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X: f(x) [mm] \not= [/mm] y$
Das heißt zu zeigen ist folgendes: [mm] $\exists [/mm] v [mm] \in [/mm] V [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] V: [mm] \gamma(w)(x) \not= [/mm] v$
Sei $v = a + bx$
Dann gilt nach Definition von [mm] $\gamma$: $\gamma(v)(x) [/mm] = x * (a+bx) = [mm] ax+bx^2$
[/mm]
[mm] $ax+bx^2 \not= [/mm] a+bx [mm] \Rightarrow$ [/mm] nicht surjektiv, da der Grad des Bildes immer größer ist als das des Urbildes von [mm] $\gamma$. [/mm] Es können also mit [mm] $\gamma$ [/mm] nicht alle Elemente aus der Zielmenge getroffen werden. [mm] $\Box$
[/mm]
Ist das so richtig?
Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!!
Viele Grüße,
djd92l
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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> Es sei [mm]V:=\{a_0+a_1*x^1+\ldots+a_n*x^n | a_0,\ldots,a_n \in \IR, n \in \IN\}[/mm]
> der [mm]\IR-Vektorraum[/mm] aller Polynome mit reellen
> Koeffizienten.
>
> Beweisen Sie, dass die Abbildung
>
> [mm]\gamma : V \to V, \gamma(p)(x) := x*p(x)[/mm]
>
> linear und injektiv, aber nicht surjektiv ist.
> Hi,
>
> bewiesen dass die Abbildung linear und injektiv ist, habe
> ich schon.
> Meine Frage ist jetzt noch, ob ich den Beweis für "nicht
> surjektiv" richtig gemacht habe.
>
> Meine Lösung:
> Definition Surjektiv: [mm]\forall y \in Y \exists x \in X: f(x) = y[/mm]
>
> Das Gegenteil ist dann [mm]\neg (\forall y \in Y \exists x \in X: f(x) = y) \gdw \exists y \in Y \forall x \in X: f(x) \not= y[/mm]
>
> Das heißt zu zeigen ist folgendes: [mm]\exists v \in V \forall w \in V: \gamma(w)(x) \not= v[/mm]
>
> Sei [mm]v = a + bx[/mm]
> Dann gilt nach Definition von [mm]\gamma[/mm]:
> [mm]\gamma(v)(x) = x * (a+bx) = ax+bx^2[/mm]
>
> [mm]ax+bx^2 \not= a+bx \Rightarrow[/mm] nicht surjektiv,
Hallo,
Du hast zwar sehr wohl begriffen, was Du zeigen mußt, um zu zeigen, daß die Abbildung nicht surjektiv ist, Deine Begründung stimmt aber nicht.
Du hast da ja jetzt sowas geschrieben: es gibt ein v, für welches [mm] \gamma [/mm] (v)/not=v ==> [mm] \gamma [/mm] ist nicht surjektiv.
Aber Du bist auf der richtigen Spur: zeig einfach, daß Du kein Polynom p findest, welches auf das Polynom [mm] p_0(x)=1 [/mm] abgebildet wird.
Da bist Du dann mit dem Grad des Bildpolynoms auf der richtigen Spur.
Gruß v. Angela
da der Grad
> des Bildes immer größer ist als das des Urbildes von
> [mm]\gamma[/mm]. Es können also mit [mm]\gamma[/mm] nicht alle Elemente aus
> der Zielmenge getroffen werden. [mm]\Box[/mm]
>
> Ist das so richtig?
>
> Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!!
>
> Viele Grüße,
> djd92l
>
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Sa 10.01.2009 | | Autor: | djd92l |
Hallo Angela,
vielen Dank für deine Antwort!
Ich habe deinen Tipp jetzt einmal in die Tat umgesetzt:
Zu zeigen: Es existiert kein Polynom p, dass auf ein Polynom t=1 abgebildet wird.
Beweis (durch Widerspruch):
Angenommen es gibt ein p, dass auf 1 abgebildet wird. Dann muss gelten:
$1 = [mm] x^0 [/mm] = x * p(x)$
[mm] $x^0 [/mm] = x * [mm] (a_0+a_1*x^1+\ldots+a_n*x^n)$
[/mm]
[mm] $x^0 [/mm] = x * [mm] \summe_{i=0}^{n}(a_i*x^i)$
[/mm]
[mm] $x^0 [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}(a_i*x^{i+1})$
[/mm]
Der Grad des Polynoms auf der linken Seite [mm] ($x^0$) [/mm] ist immer 0.
Der Grad des Polynoms auf der rechten Seite ist immer [mm] \ge [/mm] 1.
Das ist ein Widerspruch zur Behauptung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] "nicht surjektiv".
Stimmt das so?
Viele Grüße und nochmals danke!
- djd92l
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Hallo,
diesem Gedankengang kann ich jetzt gut folgen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Sa 10.01.2009 | | Autor: | djd92l |
Das hört sich so an, als sei es jetzt korrekt.
Vielen Dank nochmal!!
Gruß,
- djd92l
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