Abbildung und Spiegelung < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Abbildung [mm] \alpha [/mm] ist eine SPiegelung an der Geraden g: [mm] x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} [/mm] = 0 und die Abbildung [mm] \gamma [/mm] eine Drehung am Ursprung mit der Abbildungsmatrix [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
a) Der Punkt P(3|4) wir durch [mm] \gamma [/mm] abgebildet. Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes P' und ermitteln Sie den Drehwinkel.
b) Die Abbildung [mm] \beta [/mm] ist die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden k: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{1 \\ m} [/mm] und es gilt [mm] \gamma [/mm] = [mm] \beta \circ \alpha. [/mm] Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von [mm] \beta [/mm] und die Gleichung der Geraden k. |
Hallo,
ich bin etwas in diesem Thema eingerostet da wir grade in der Wiederholungsphase stecken und ich mich auf andere Fächer konzentrieren muss.....
bei a) weiß ich glaube ich zumindest teilweise noch eine Lösung :
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -3}
[/mm]
berechne ich den Winkel so? :
[mm] (\vektor{3 \\ 4} \vektor{4 \\ -3}) [/mm] / [mm] \vmat{\vektor{3 \\ 4}} \vmat{\vektor{4 \\ -3}} [/mm] = tja da käme ja dann 0/25....aber das kann nicht sein!!
zu b)
da habe ich garkeine Ahnung ich weiß auch garnicht was dieser komische Kreis zwischen [mm] \beta [/mm] und [mm] \alpha [/mm] soll!!!
kann mir bitte jemand helfen??
mfg Aldiimwald
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Hallo Aldiimwald!
> Die Abbildung [mm]\alpha[/mm] ist eine SPiegelung an der Geraden g:
> [mm]x_{1}[/mm] - [mm]2x_{2}[/mm] = 0 und die Abbildung [mm]\gamma[/mm] eine Drehung am
> Ursprung mit der Abbildungsmatrix [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }[/mm]
>
> a) Der Punkt P(3|4) wir durch [mm]\gamma[/mm] abgebildet. Bestimmen
> Sie die Koordinaten des Bildpunktes P' und ermitteln Sie
> den Drehwinkel.
>
> b) Die Abbildung [mm]\beta[/mm] ist die Spiegelung an einer
> Ursprungsgeraden k: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\lambda \vektor{1 \\ m}[/mm] und
> es gilt [mm]\gamma[/mm] = [mm]\beta \circ \alpha.[/mm] Bestimmen Sie die
> Abbildungsmatrix von [mm]\beta[/mm] und die Gleichung der Geraden
> k.
> bei a) weiß ich glaube ich zumindest teilweise noch eine
> Lösung :
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }[/mm] * [mm]\vektor{3 \\ 4}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ -3}[/mm]
Korrekt. Das ist eigentlich immer so, dass man die Matrix mit dem Vektor multipliziert, wenn man eine Matrix für die Abbildung gegeben hat und den Vektor abbilden muss.  Ausrechnen kannst du das sicher auch, oder?
> berechne ich den Winkel so? :
>
> [mm](\vektor{3 \\ 4} \vektor{4 \\ -3})[/mm] / [mm]\vmat{\vektor{3 \\ 4}} \vmat{\vektor{4 \\ -3}}[/mm]
> = tja da käme ja dann 0/25....aber das kann nicht sein!!
Soll das die Formel mit dem [mm] \cos [/mm] sein? Jedenfalls kenne ich sonst nichts anderes, weiß die Formel aber auch gerade nicht auswendig, und wenn, dann hast du hier eh den [mm] \cos [/mm] vergessen.
Ich würde es so machen: allgemein sieht eine Rotationsmatrix so aus: [mm] \pmat{\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha}. [/mm] Du müsstest hier also nur ein [mm] \alpha [/mm] finden, für das gilt: [mm] \cos\alpha=0, -\sin\alpha=1 [/mm] und [mm] \sin\alpha=-1. [/mm] Das dürfte nicht allzu schwierig sein. 
> zu b)
>
> da habe ich garkeine Ahnung ich weiß auch garnicht was
> dieser komische Kreis zwischen [mm]\beta[/mm] und [mm]\alpha[/mm] soll!!!
>
> kann mir bitte jemand helfen??
Da kenne ich mich so spontan auch nicht so gut mit aus. Aber was der Kreis bedeutet, kann ich dir sagen: das ist die Verknüpfung der beiden Abbildungen. Man spricht es als: "gamma gleich beta nach alpha". Das bedeutet, du wendest zuerst deine Funktion [mm] \alpha [/mm] an, und auf das Ergebnis wendest du dann die Funktion [mm] \beta [/mm] an. Als kurzes Beispiel betrachten wir die beiden Funktionen: [mm] \alpha(x)=x^2 [/mm] und [mm] \beta(x)=x+5. [/mm] Dann ist [mm] \alpha\circ\beta(x)=\alpha(\beta(x))=\alpha(x+5)=(x+5)^2 [/mm] und [mm] \beta\circ\alpha(x)=\beta(\alpha(x))=\beta(x^2)=\beta(x^2+5). [/mm] An diesem kurzen Beispiel siehst du auch, dass diese Verknüpfung nicht kommutativ ist.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Mi 14.02.2007 | | Autor: | Aldiimwald |
super Antwort zu a) winkel 270°
zu b) danke für die Aufklärung!!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 Do 15.02.2007 | | Autor: | wauwau |
> Hallo Aldiimwald!
>
> > Die Abbildung [mm]\alpha[/mm] ist eine SPiegelung an der Geraden g:
> > [mm]x_{1}[/mm] - [mm]2x_{2}[/mm] = 0 und die Abbildung [mm]\gamma[/mm] eine Drehung am
> > Ursprung mit der Abbildungsmatrix [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }[/mm]
>
> >
> > a) Der Punkt P(3|4) wir durch [mm]\gamma[/mm] abgebildet. Bestimmen
> > Sie die Koordinaten des Bildpunktes P' und ermitteln Sie
> > den Drehwinkel.
> >
> > b) Die Abbildung [mm]\beta[/mm] ist die Spiegelung an einer
> > Ursprungsgeraden k: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\lambda \vektor{1 \\ m}[/mm] und
> > es gilt [mm]\gamma[/mm] = [mm]\beta \circ \alpha.[/mm] Bestimmen Sie die
> > Abbildungsmatrix von [mm]\beta[/mm] und die Gleichung der Geraden
> > k.
>
> > bei a) weiß ich glaube ich zumindest teilweise noch eine
> > Lösung :
> >
> > [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }[/mm] * [mm]\vektor{3 \\ 4}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ -3}[/mm]
>
> Korrekt. Das ist eigentlich immer so, dass man die Matrix
> mit dem Vektor multipliziert, wenn man eine Matrix für die
> Abbildung gegeben hat und den Vektor abbilden muss.
> Ausrechnen kannst du das sicher auch, oder?
>
> > berechne ich den Winkel so? :
> >
> > [mm](\vektor{3 \\ 4} \vektor{4 \\ -3})[/mm] / [mm]\vmat{\vektor{3 \\ 4}} \vmat{\vektor{4 \\ -3}}[/mm]
> > = tja da käme ja dann 0/25....aber das kann nicht sein!!
>
Oh doch!!!
das ist der Sinus des von beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels 0 d.h. der Winkel ist 90 Grad!!!
> Soll das die Formel mit dem [mm]\cos[/mm] sein? Jedenfalls kenne ich
> sonst nichts anderes, weiß die Formel aber auch gerade
> nicht auswendig, und wenn, dann hast du hier eh den [mm]\cos[/mm]
> vergessen.
>
> Ich würde es so machen: allgemein sieht eine
> Rotationsmatrix so aus:
> [mm]\pmat{\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha}.[/mm] Du
> müsstest hier also nur ein [mm]\alpha[/mm] finden, für das gilt:
> [mm]\cos\alpha=0, -\sin\alpha=1[/mm] und [mm]\sin\alpha=-1.[/mm] Das dürfte
> nicht allzu schwierig sein.
>
> > zu b)
> >
> > da habe ich garkeine Ahnung ich weiß auch garnicht was
> > dieser komische Kreis zwischen [mm]\beta[/mm] und [mm]\alpha[/mm] soll!!!
> >
> > kann mir bitte jemand helfen??
>
> Da kenne ich mich so spontan auch nicht so gut mit aus.
> Aber was der Kreis bedeutet, kann ich dir sagen: das ist
> die Verknüpfung der beiden Abbildungen. Man spricht es als:
> "gamma gleich beta nach alpha". Das bedeutet, du wendest
> zuerst deine Funktion [mm]\alpha[/mm] an, und auf das Ergebnis
> wendest du dann die Funktion [mm]\beta[/mm] an. Als kurzes Beispiel
> betrachten wir die beiden Funktionen: [mm]\alpha(x)=x^2[/mm] und
> [mm]\beta(x)=x+5.[/mm] Dann ist
> [mm]\alpha\circ\beta(x)=\alpha(\beta(x))=\alpha(x+5)=(x+5)^2[/mm]
> und
> [mm]\beta\circ\alpha(x)=\beta(\alpha(x))=\beta(x^2)=\beta(x^2+5).[/mm]
> An diesem kurzen Beispiel siehst du auch, dass diese
> Verknüpfung nicht kommutativ ist.
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
Das ist nichts anderes als eine Spiegelung über die erste und dann eine über die zweite Gerade.
Eine doppelte Spiegelung kann ersetzt werden (ist dasselbe) wie eine Drehung um den doppelten von beiden geraden eingeschlossenen Winkel.
Da dieser 90 Grad sein soll, müssen die Geraden also einen Winkel von 45 Grad einschließen.
Richtungsvektor der ersten Gerade ist ja (2/1) der der zweiten (1/m) die schließen dann 45 Grad ein, wenn
[mm](\vektor{2 \\ 1} \vektor{1 \\ m})[/mm] / [mm]\vmat{\vektor{2 \\ 1}} \vmat{\vektor{1 \\ m}}[/mm] = sin(45) = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
diese quadratische Gleichung aufgelöst ergibt m=3
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Mi 14.02.2007 | | Autor: | Aldiimwald |
kann mir noch jemand für teil b) helfen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Mi 14.02.2007 | | Autor: | Aldiimwald |
ok die Mitteilung von oben sollte ne Fragen werden .....oops......
Also weiß jemand den Weg für Aufgabe b) ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Mi 14.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aldi!
Durch die Kennzeichnung Deiner Ausgangsfrage mit "teilweise beantwortet", brauchst Du nicht noch eine weiter Frage zu eröffnen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 Mi 14.02.2007 | | Autor: | Aldiimwald |
hab ich nicht bemerkt...sorry
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 16.02.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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