Abbildung von Punkten aus 2D-R < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:32 Do 06.11.2008 | | Autor: | kert |
Hallo Leute,
ich sitze jetzt schon eine ganze Weile an einem Problem und komme nicht weiter. Vielleicht könnt ihr mir dabei helfen...
ich habe mir ein dreieck in einem 2D-Raum (u,v) definiert und kenne die 3 Eckpunkte mit P0(0,0) P1(px1, 0) und P2(0, py2).
nun möchte ich das ganze in einen 3D-Raum projizieren bzw. abbilden. die eckpunkte in dem 3D-Raum (x,y,z) sind mir bekannt: S0(sx0, sy0, sz0) S1(sx1, sy1, sz1) und S2(sx2, sy2, sz2). was mir jetzt fehlt ist die abbildungsmatrix A um einen beliebigen Punkt aus dem 2D-Raum in den 3D-Raum abzubilden:
x' = A*x+b
den verschiebungsvektor b habe ich mir mit bx=sx0, by=sy0 und bz=sz0 definiert.
bisher komme ich dann auf 9 Gleichungssysteme mit 9 Unbekannten
A = a00 a01 a02
a10 a11 a12
a20 a21 a22
Meine Frage:
Gibt es einen einfacheren Weg die Matrix zu berechnen bzw. ist es überhaupt möglich Punkte aus dem 2D in 3D abzubilden. Bisher habe ich nicht besonders viel dazu gefunden und finde das Lösen der Gleichungssysteme eher umständlich, wenn das überhaupt richtig ist..
Danke schonmal für die Hilfe.
Kerstin.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Vergiß bitte das, was ich da als zweiten Weg angepriesen habe, das ist falsch. Ein Vektor [mm] \vec{x} [/mm] parallel zu [mm] \vec{a} [/mm] hat auch eine Komponente parallel zu [mm] \vec{b} [/mm] , sofern die beiden Seiten nicht die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind. Somit würde [mm] \vec{x}^\ast [/mm] nicht mehr parallel zu [mm] \vec{a}^\ast [/mm] sein.
Vermutlich ist es doch das einfachste, das Gleichungssystem mit den 6 Unbekannten zu lösen, das sollte auf Grund der Struktur (6 Zeilen mit je 2 Unbekannten) auch recht fix gehen.
Hallo!
Zunächst willst du den [mm] \IR^2 [/mm] in den [mm] \IR^3 [/mm] abbilden, demnach bekommst du nur eine 2x3-Matrix, und damit 6 Unbekannte statt 9.
Es geht aber auch so recht effizient:
Die beiden Seiten, die den Ursprung berühren, nenne ich mal [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] sowie in 3D [mm] \vec{a}^\ast [/mm] und [mm] \vec{b}^\ast [/mm] (lassen wir die Verschiebung mal weg...)
Du solltest wissen, daß [mm] \frac{\vec x * \vec a}{|\vec a|} [/mm] dir die Länge der zu [mm] \vec{a} [/mm] parallelen Komponente von [mm] \vec{x} [/mm] angibt.
Da [mm] \vec{a} [/mm] auf [mm] \vec{a}^\ast [/mm] abgebildet wird und das ganze linear verläuft, kannst du nun einfach schreiben:
[mm] \vec{x}^\ast_a=\frac{\vec x * \vec a}{|\vec a|}\vec{a}^\ast
[/mm]
Für [mm] \vec{b} [/mm] gilt das gleiche, sodaß du jeden Vektor [mm] \vec{x}, [/mm] der als Linearkombination von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] geschrieben werden kann, auch als Linearkombination im [mm] \IR^3 [/mm] schreiben kannst:
[mm] \vec{x}^\ast=\frac{\vec x * \vec a}{|\vec a|}*\vec{a}^\ast+\frac{\vec x * \vec b}{|\vec b|}*\vec{b}^\ast
[/mm]
Du siehst, das ist sehr straight forward, und läßt sich jetzt ohne das Lösen von Gleichungen in 3 Zeilen ausrechnen, wenn du willst, kannst du noch ne Matrix draus machen.
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