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Sei f: X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung nicht leerer Mengen
f ist genau dann injektiv, wenn es eine Abbildung in umgekehrter Richtung gibt: f': Y [mm] \to [/mm] X mit f [mm] \circ [/mm] f' = [mm] id_{X}
[/mm]
Nun meine Frage: Wenn f injektiv, aber nicht bijektiv ist, dann wird zwar kein
y [mm] \in [/mm] Y von einem beliebigen x [mm] \in [/mm] X mehrmals getroffen, aber es gibt ein y [mm] \in [/mm] Y, welches gar nicht getroffen wird, da dann die Abbildung ja bijektiv wäre. Stimmt dieser Gedanke, oder ist hier bereits etwas falsch?
Wenn dieser Gedanke stimmt, wie kann ich dann von Y nach X abbilden. Es wird nun doch nicht jedes y [mm] \in [/mm] Y auf ein x [mm] \in [/mm] X abgebildet, da ich ja mindestens ein y gar nicht treffe. Also existiert von Y [mm] \to [/mm] X doch gar keine Abbildung, oder?
Bei einer Erklärung bitte ich auch um einen Beweis, wenn es nicht zu viel Aufwand kostet. Für eine anschauliche Erklärung wäre ich dankbar. :)
Gruß
Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Sa 29.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Alex,
wenn ein y aus Y nicht getroffen wird von f, dann kannst du doch f'(y) beliebig in X setzen - zum Beispiel : 0
> Sei f: X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung nicht leerer Mengen
>
> f ist genau dann injektiv, wenn es eine Abbildung in
> umgekehrter Richtung gibt: f': Y [mm]\to[/mm] X mit f [mm]\circ[/mm] f' =
> [mm]id_{X}[/mm]
es muss hier aber zum Schluss f' nach f haeissen - nicht umgekehrt, oder?
sei f also injektiv, dann bilde dir ein f' wie eben beschrieben (jedes c aus dem Bild von f hat ein eindeutiges Urbild und der Rest ist beliebig), dann kann man die Identität auf X leicht nachrechnen.
wenn es umgekehrt ein solches f' gibt, muss f aber injektiv sein, denn angenommen es gibt x und x' (ungleich) mit f(x)=f(x')=y ,dann ist aber f'(f(x))=f'(f(x'))=f'(y) ein bestimmtes Element in X und weil f'(f(.)) ja die Identität sein soll, folgt x=x' , was aber ein Widerspruch ist...
ich habe das jetzt nicht all zu formal gemacht - den Rest kannst du ja mal selbst versuchen..
viele Grüße
DaMenge
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