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| Aufgabe | Seien die Abbildungen f: [mm] \IZ [/mm] --> [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] und g: [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] --> [mm] \IZ [/mm] definiert durch f(m)=(m - 1,2) und g((m,n))=m+n, wobei [mm] m,n\in\IZ [/mm] .Untersuchen sie die Abbildungen f,g,g [mm] \circ [/mm] f und f [mm] \circ [/mm] g auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
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(Was genau bedeutet diese "definiert durch")
Habe das damals in der Vorlesung nicht wirklich verstanden und hab die Übungsaufgabe ausgelassen damals. Aber da in 2 Monaten Klausuren sind sollte ich das mal langsam nachholen:)
So mal zu den Basics.
Surjektiv, falls f(x)=y
Injektiv, falls aus x [mm] \not= [/mm] y stets f(x) [mm] \not= [/mm] f(y) folgt. (Bzw. aus f(x)=f(y) folgt stets x=y) Wie ist das genau zu verstehen?
Naja und Bijektiv halt wenn inj. und surj. .
So jetzt ist meine Frage, wie ich da vorgehen muss bei solchen Aufgaben.
Diese Aufgabe habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Mi 02.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Seien die Abbildungen f: [mm]\IZ[/mm] --> [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm] und g: [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm]
> --> [mm]\IZ[/mm] definiert durch f(m)=(m - 1,2) und g((m,n))=m+n,
> wobei [mm]m,n\in\IZ[/mm] .Untersuchen sie die Abbildungen f,g,g
> [mm]\circ[/mm] f und f [mm]\circ[/mm] g auf Injektivität, Surjektivität und
> Bijektivität.
>
> So mal zu den Basics.
>
> Surjektiv, falls f(x)=y
Ganz bestimmt nicht ! Ist f:A [mm] \to [/mm] B eine Abbildung, so heißt f surjektiv, wenn es zu jedem b [mm] \in [/mm] B ein a [mm] \in [/mm] A gibt mit f(a) = b.
> Injektiv, falls aus x [mm]\not=[/mm] y stets f(x) [mm]\not=[/mm] f(y) folgt.
> (Bzw. aus f(x)=f(y) folgt stets x=y)
O.K.
> Wie ist das genau zu
> verstehen?
was meinst Du ?
> Naja und Bijektiv halt wenn inj. und surj. .
>
> So jetzt ist meine Frage, wie ich da vorgehen muss bei
> solchen Aufgaben.
Wir betrachten mal obige Abb. g, also g((m,n)) = m+n
Nimm ein z [mm] \in \IZ. [/mm] Gibt es nun ein Paar (m,n) mit g((m,n)) = z ?
Wenn ja, so ist g surjektiv.
g ist nicht injektiv, denn es gibt sogar unendlich viele Paare (m,n) mit g((m,n)) = 0. Findest Du welche ?
FRED
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> Diese Aufgabe habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
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Ja genau das ist ja mein Problem. Wie zeige ich zum Beispiel ob es ein Paar (m,n) mit g((m,n))=z gibt.
Wie gesagt hatte, dass Thema damals in der Vorlesung nicht wirklich verstanden und erstmal ausgelassen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Mi 02.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ja genau das ist ja mein Problem. Wie zeige ich zum
> Beispiel ob es ein Paar (m,n) mit g((m,n))=z gibt.
Wie wärs mit (m,n) = (z,0) ? Manchmal hilft ausprobieren und nachdenken
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> Wie gesagt hatte, dass Thema damals in der Vorlesung nicht
> wirklich verstanden und erstmal ausgelassen.
Hol es schnellstens nach
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Fabian1986 |
Ja versuche seit gestern dieses Thema nachzuholen aber komme irgenwie nicht richtig rein. Meine Überlegungen enden momentan noch irgendwo im nirgendwo :)
Deswegen kann ich grad nichts mit deiner Aussage "(m,n)=(z,0)" anfangen.
Ich weiß nicht, aber sonst die meisten Themen hab ich durchs Selbststudium verstanden aber bei Abbildung von Mengen steh ich auf dem Schlauch.
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so ich habe gestern noch mal lange überlegt und habe jetz für f: [mm] \IZ [/mm] --> [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] definiert durch f(m)=(m-1, 2) folgendes ausgerechnet:
f ist injektiv, da
f(m)=f(n)
daraus ergeben sich 2 Gleichungen
2=2 und (m-1) = (n-1)
also m=n
f ist nicht surjektiv, da
f(m)=(a, b) [mm] \in\IZ [/mm] x [mm] \IZ
[/mm]
setze a=1 und b=3
f(m)=(1-1, 3) = (0,3) aber das paar (0,3) wird ja nicht getroffen, da die 2. Komponente ja immer 2 sein muss. Richtig?
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Hallo Fabian,
> so ich habe gestern noch mal lange überlegt und habe jetz
> für f: [mm]\IZ[/mm] --> [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm] definiert durch f(m)=(m-1, 2)
> folgendes ausgerechnet:
>
> f ist injektiv, da
>
> f(m)=f(n)
>
> daraus ergeben sich 2 Gleichungen
>
> 2=2 und (m-1) = (n-1)
> also m=n ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Schreibe es ein wenig strukturierter auf:
Seien $n, [mm] m\in\IZ$ [/mm] mit $f(m)=f(n)$
Zu zeigen ist: $n=m$
Dann weiter im Text wie bei dir ..
>
> f ist nicht surjektiv, da
>
> f(m)=(a, b) [mm]\in\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm]
>
> setze a=1 und b=3
> f(m)=(1-1, 3) = (0,3) aber das paar (0,3) wird ja nicht
> getroffen, da die 2. Komponente ja immer 2 sein muss.
> Richtig?
So halb, so ganz ist nicht klar, was du machst.
Du musst lediglich ein Element aus [mm] $\IZ\times\IZ$ [/mm] angeben, dass unter f von keinem Urbild getroffen wird.
Das hast du mit [mm] $(0,3)\in\IZ\times\IZ$ [/mm] schon gefunden...
Ich denke, dass du es schon richtig meintest, aber etwas verquer aufgeschrieben hast ...
Gruß
schachuzipus
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ok, wie schreibe ich das dann korrekt auf für die surjektivität?also so das es in der Klausur als ausreichender Beweis gilt.
ach moment mal, würde nicht einfach als beweis ausreichen wenn ich nur b=3 setze?weil dann ist doch schon gezeigt, dass (a, 3) nie getroffen wird da nur paare vorkommen dürfen mit (a, 2).
dann so in der Klausur aufschreiben:
Seien a,b [mm] \in\IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] mit f(m)=(a,b)
Setze b=3
=> f(m)=(a, 3)
=>da (a, 3) von keinem Urbild getroffen wird, ist f nicht surjektiv
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Do 03.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Schreibe es so:
da f(m)=(m-1, 2) für jedes m [mm] \in \IZ, [/mm] gibt es kein m [mm] \in \IZ [/mm] mit f(m) = (0,3)
Damit ist f nicht surjektiv
FRED
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also wenn ich jetzt mal f [mm] \circ [/mm] g betrachte:
f [mm] \circ [/mm] g = f(g(m,n) =(m+n-1, 2)
injektiv ist sie doch nicht da zB. f(g(1,1)) und f(g(0,2)) auf das gleiche Paar Abbilden oder nicht?
(1+1-1, 2) und (0+2-1, 2) = (1, 2)
ja und surjektiv?
kann ich das schreiben als f(g(m,n))=(a,b) [mm] a,b\in\IZ [/mm] x [mm] \IZ?
[/mm]
dann wäre sie ja auch nicht surjektiv, da
a=1 , b=4
=> (1+4-1, 4) = (4,4)
es gibt ja kein [mm] m,n\in\IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] mit f(g(m,n))=(4,4)
also ist diese Abbildung weder inj. , surj.? oder hab ich was falsch gemacht?
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Hallo nochmal,
> also wenn ich jetzt mal f [mm]\circ[/mm] g betrachte:
>
> f [mm]\circ[/mm] g = f(g(m,n) =(m+n-1, 2)
>
> injektiv ist sie doch nicht da zB. f(g(1,1)) und f(g(0,2))
> auf das gleiche Paar Abbilden oder nicht?
> (1+1-1, 2) und (0+2-1, 2) = (1, 2)
Ja, schreibe vllt. "sauberer": Es ex. [mm] $(m_1,n_1)=(1,1) [/mm] und [mm] $(m_2,n_2)=(0,2)\in\IZ^2$ [/mm] mit [mm] $(m_1,n_1)\neq (m_2,n_2)$, [/mm] aber [mm] $(f\circ g)(m_1,n_2)=(f\circ g)(m_2,n_2)=(1,2)$
[/mm]
>
> ja und surjektiv?
> kann ich das schreiben als f(g(m,n))=(a,b) [mm]a,b\in\IZ[/mm] x
> [mm]\IZ?[/mm]
> dann wäre sie ja auch nicht surjektiv, da
> a=1 , b=4
> => (1+4-1, 4) = (4,4)
> es gibt ja kein [mm]m,n\in\IZ[/mm] x [mm]\IZ[/mm] mit f(g(m,n))=(4,4)
Das ist wieder sehr kraus mit dem Folgerungspfeil.
Das Bsp. stimmt. Mache es schöner indirekt:
Ann.: [mm] $f\circ [/mm] g$ ist surj., dann ex. zu [mm] $(1,4)\in\IZ^2$ [/mm] (aus dem Zielbereich) ein Paar [mm] $(m,n)\in\IZ^2$ [/mm] (aus dem Urbildbereich) mit [mm] $(f\circ [/mm] g)(m,n)=(1,4)$
Also $(m+n-1,2)=(1,4)$, also $m+n-1=1 \ [mm] \wedge [/mm] \ 2=4$
Widerspruch!
Also [mm] $f\circ [/mm] g$ nicht surjektiv.
>
> also ist diese Abbildung weder inj. , surj.? oder hab ich
> was falsch gemacht?
Direkt falsch nicht, du hast es richtig erkannt, es ist nur schlecht aufgeschrieben ...
Gruß
schachuzipus
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