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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Fr 29.10.2010 | | Autor: | vivi |
Hallo allesamt,
ich habe gerade mit meinem Mathestudium angefangen und bin ein wenig verwirrt ueber einige Aufgaben. Und zwar sehen diese Aufgaben folgendermassen aus:
A, B [mm] \subseteq [/mm] X und C, D [mm] \subseteq [/mm] Y
a) f (A [mm] \cup [/mm] B) = f (A) [mm] \cup [/mm] f(B)
Loesen konnte ich diese Mengenaequivalenz, indem ich eben gesagt habe (abgekuerzt):
Sei y [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)
dann gibt es ein x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) wofuer gilt y = f(x)
Daraus folgt y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \vee [/mm] y [mm] \in [/mm] f(B)
Diese Implikationen gelten auch in die Rueckrichtung, damit waere Mengengleichheit bewiesen.
b) f (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] f (A) [mm] \cap [/mm] f(B)
Hier gilt nicht unbedingt Gleichheit (Hinrichtung habe ich zuvor aehnlich wie in a bewiesen), da die Rueckrichtung nicht immer erfuellt ist. Anhand eines Ggbsps konnte ich mir das dann erklaeren:
f: x -> [mm] x^2
[/mm]
A -1:= {1,2} abgebildet auf {1,4}
B := {1,-2} abgebildet auf {1,4}
Schnittmenge beider Bildmengen ist {1,4}
A [mm] \cap [/mm] B := {1} wird abgebildet auf {1}
Hier ist also die Bildmenge des Durchschnitts Teilmenge des Durchschnitts der Bildmengen. Wenn aber jedem y nur ein x zugeordnet ist, dann waere das Problem nicht mehr und f muesste injektiv werden fuer eine Mengengleichheit.
So weit ging es noch gut. Nun kommt Aufgabe c)
f' (C [mm] \cap [/mm] D) = f' (C) [mm] \cap [/mm] f' (D)
(f hoch minus 1)
weshalb gilt hier beim Urbild jetzt die Gleichheit? Kann man nicht aehnlich argumentieren wie in b) oder gibt es da einen fundamentalen Unterschied, den ich uebersehen habe? Ich habe naemlich im Moment einige Vorstellungsschwierigkeiten...
Jedenfalls wuerde ich mich sehr ueber Erklaerungen freuen :) Vielen Dank im Voraus!
Vivi
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Huhu,
der Unterschied besteht dann darin, dass du beim Urbild ALLE Elemente betrachtest, deren Abbildung in der Menge liegt, unabhängig davon, ob es mehrere Elemente gibt, die auf dieses Element abgebildet werden.
Die Gleichheit lässt sich ja auch gleich unabhängig von der Injektivität zeigen, es gilt ja:
[mm] $f^{-1}(C) [/mm] = [mm] \{x\in X | f(x) \in C\}$
[/mm]
[mm] $f^{-1}(D) [/mm] = [mm] \{x\in X | f(x) \in D\}$
[/mm]
daher gilt:
[mm] $f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D) [/mm] = [mm] \{x\in X | f(x) \in C\} \cap \{x\in X | f(x) \in D\} [/mm] = [mm] \{x\in X | f(x) \in C\cap D\}= f^{-1}(C\cap [/mm] D)$
Ganz ohne Injektivität 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 So 31.10.2010 | | Autor: | quadrat4 |
| Aufgabe | A, B [mm] \subseteq [/mm] X
a) f (A [mm] \cup [/mm] B) = f (A) [mm] \cup [/mm] f(B)
b) f (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] f (A) [mm] \cap [/mm] f(B) |
Ich muss ebenfalls die Aufgaben a) und b) lösen.
Aufgabe a)
Ich denke die Aufgabe a) habe ich verstanden. Kann man das so aufschreiben?
f(A [mm] \cup [/mm] B)
= y [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)
= y [mm] \in [/mm] (x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B))
= y [mm] \in [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B)
= y [mm] \in [/mm] (f(A) [mm] \vee [/mm] f(B))
= y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \vee [/mm] y [mm] \in [/mm] f(B)
= f (A) [mm] \cup [/mm] f(B)
Aufgabe b)
Wie komme ich auf die oben angegebene Lösung von b)? Und wie zeige ich das, wenn nicht an einem Beispiel, sondern allgemein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:23 Mo 01.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> A, B [mm]\subseteq[/mm] X
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> a) f (A [mm]\cup[/mm] B) = f (A) [mm]\cup[/mm] f(B)
> b) f (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\subseteq[/mm] f (A) [mm]\cap[/mm] f(B)
> Ich muss ebenfalls die Aufgaben a) und b) lösen.
>
> Aufgabe a)
>
> Ich denke die Aufgabe a) habe ich verstanden. Kann man das
> so aufschreiben?
nein
>
> f(A [mm]\cup[/mm] B)
> = y [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B)
> = y [mm]\in[/mm] (x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B))
> = y [mm]\in[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B)
> = y [mm]\in[/mm] (f(A) [mm]\vee[/mm] f(B))
> = y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\vee[/mm] y [mm]\in[/mm] f(B)
> = f (A) [mm]\cup[/mm] f(B)
Das ist so kraus, dass ich nicht mal sehe, was Du nicht verstanden hast.
>
> Aufgabe b)
>
> Wie komme ich auf die oben angegebene Lösung von b)? Und
> wie zeige ich das, wenn nicht an einem Beispiel, sondern
> allgemein?
Ich mach Dir b) vor, dann kriegst Du vielleicht auch a) hin.
Sei y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B). Dann ex. ein x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B mit y =f(x)
Da x [mm] \in [/mm] A , folgt y [mm] \in [/mm] f(A) (1)
Da x [mm] \in [/mm] B , folgt y [mm] \in [/mm] f(B) (2)
Aus (1) und (2) erhalten wir: y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
FRED
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