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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:46 Mi 13.02.2013 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | 1. Man macht eine Spiegelung in [mm] \IR^{3} [/mm] an der xy-Ebene und dann eine Drehung in [mm] \IR{3} [/mm] um die z-Achse.
2. Ist [mm] A=\pmat{1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1} [/mm] diagonalisierbar?
3. Was ist die Basis des Vektorraums [mm] M_{2}(\IR)?
[/mm]
4. [mm] \phi: M_{2}(\IR) \to M_{2}(\IR), [/mm] A [mm] \mapsto A-A^{T}. [/mm] Wie sieht die Matrix bez. [mm] \phi [/mm] aus? |
Ich habe ein paar Fragen (kann nicht für jede einen neuen Thread eröffnen) und hoffe, diese können beantwortet werden. Es sind eigentlich einfache Fragen, aber sie verwirren mich.
Zu 1. Wieso sieht die Matrix dazu so aus? [mm] \pmat{0 & -1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1}.
[/mm]
Zu 2. Es gibt so viele Möglichkeiten, um zu prüfen, ob eine Matrix diagonalisierbar ist oder nicht: a) diag'bar, wenn [mm] \exists [/mm] Matrix M mit [mm] M^{-1}*A*M=diag [/mm] (dabei stehen in der Diagonale die Eigenwerte von A, richtig?), b) char. Polynom, Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume bestimmen => Basis => diag'bar, c) Rang(A), dimKern(A), Eigenwerte, Jordannormalform => diag'bar.
Stimmen a) und b) so? Zu c) bräuchte ich eine Korrektur: Rang(A)=1? (Rang ist ja die Anzahl unabhängiger Spaltenvekotren, oder? Und da [mm] v_{2} [/mm] und [mm] v_{3} [/mm] von [mm] v_{1} [/mm] abhängen => Rang 1)
DimKernA nach Dimensionsformel: dimV=dimKernA+dimBildA, da Rang(A)=dimBildA=1 und dimV=3 => dimKernA=2, richtig? Eigenwerte der Matrix: char. Polynom ist [mm] t(t^{2}-3), [/mm] also [mm] t_{1}=0, t_{2}=3, n_{2}=2 [/mm] (algebraische Vielfachheit), was sind mögliche Jordannormalformen: Wieso gibt es hier nur eine JNF? Und wie sieht diese genau aus? Also JNF=0,0,3 in der Diagonalen , wieso?
Kann man denn noch einfacher bestimmen, ob diese Matrix diagonalisierbar ist? Ich muss dies für eine mündliche Prüfung wissen und das sollte ja ziemlich schnell gehen.
Zu 3. [mm] M_{2}(\IR): [/mm] reelle 2x2 Matrizen, oder? D.h die Basis sind [mm] E_{11}+E_{12}+E_{21}+E_{22}? \pmat{1&0\\0&0}+\pmat{0&1\\0&0}+\pmat{0&0\\1&0}+\pmat{0&0\\0&1}?
[/mm]
Zu 4. Hier habe ich gar keinen Plan, wie ich auf diese Matrix komme:
[mm] \pmat{0&0&0&0\\0&1&-1&0\\0&-1&1&0\\0&0&0&0}. [/mm] Wieso 4x4 Matrix? Und wieso sind das Bild von [mm] \phi [/mm] die schiefsymmetrischen Matrizen?
Was ist denn die Basis des [mm] Kern\phi? [/mm] Wie bestimmt man diese? Bei mir ist das Beispiel: [mm] v_{1}=\pmat{1&0\\0&0}, v_{2}=\pmat{0&1\\1&0}, v_{3}=\pmat{0&0\\0&1} [/mm] Wieso 3 Vektoren?
Mir würde evtl. noch folgendes helfen:
1) Wie bestimmt man allg. eine Basis?
Ich kann z.B erklären, dass die Basis der symmetrischen 2x2 Matrizen, die folgende ist: [mm] B=\pmat{1&0\\0&0}+\pmat{0&1\\1&0}+\pmat{0&0\\0&1}. [/mm] Und wieso? Weil die Einträge der mittleren Matrix gleich sein müssen, da Symmetrie! Wie wäre es dann bei einer schiefsymmetrischen Matrix? Und einer beliebigen Matrix? Wie geht dies am einfachsten.
Es tut mir Leid, dass ich so viele Fragen auf einmal stelle. Es ist alles in Verbindung und einige Zusammenhänge sind mir eben noch nicht klar.
Ich danke schon mal ganz herzlich für die Zeit und Mühe zur Beantwortung meiner Fragen. mfg unibasel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:28 Do 14.02.2013 | | Autor: | unibasel |
Ich habe gerade gemerkt, dass mein char. Polynom falsch ist:
[mm] 3t^{2}-t^{3}=t^{2}(-t+3)
[/mm]
[mm] t_{1}=0, n_{1}=2 [/mm] und [mm] t_{2}=3
[/mm]
Jetzt sollte es stimmen, sorry!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 Do 14.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
zu 1 : Die Matrix gehört zu einer Drehung um [mm] \pi/2 +2k\pi [/mm] (Angabe fehlte in der Aufgabenstellung).
zu 3 : Diese Vektoren stellen eine mögliche Basis dar.
zu 4 : Da der Raum 4-dimensional ist, muss es doch auch eine 4x4-Matrix sein. Die 2x2-Matrix A = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] wird bzgl. dieser Basis durch den Vektor [mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ d} [/mm] dargestellt und auf den Vektor [mm] \vektor{0 \\ b-c \\ c-b \\ 0} [/mm] abgebildet, was der Matrix [mm] \pmat{ 0 & b-c \\ c-b & 0 } [/mm] = A - [mm] A^T [/mm] entspricht.
Die Abbildungsmatrix hat offenbar den Rang 1, das Bild ist also eindimensional, es sind die schiefsymmetrischen Matrizen der Form [mm] \vektor{0 \\ x \\ -x \\ 0}.
[/mm]
Der Kern (Dimension 4-1=3) sind die symmetrischen Matrizen [mm] \vektor{a \\ y \\ y \\ d}, [/mm] also [mm] \pmat{ a & y \\ y & d }
[/mm]
Ich hoffe, dass damit auch die Fragen vom Ende deines Beitrages geklärt sind.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Do 14.02.2013 | | Autor: | unibasel |
> Hi,
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> zu 1 : Die Matrix gehört zu einer Drehung um [mm]\pi/2 +2k\pi[/mm]
> (Angabe fehlte in der Aufgabenstellung).
Der Dozent hat dies auch nie erwähnt. Gibt es dazu eine Matrixschreibweise, damit ich die Spiegelung und die Drehung verknüpfen kann, um dann auf diese Matrix zu kommen?
> zu 3 : Diese Vektoren stellen eine mögliche Basis dar.
Was wäre z.B eine andere Basis?
> zu 4 : Da der Raum 4-dimensional ist, muss es doch auch
> eine 4x4-Matrix sein. Die 2x2-Matrix A = [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
> wird bzgl. dieser Basis durch den Vektor [mm]\vektor{a \\ b \\ c \\ d}[/mm]
> dargestellt und auf den Vektor [mm]\vektor{0 \\ b-c \\ c-b \\ 0}[/mm]
> abgebildet, was der Matrix [mm]\pmat{ 0 & b-c \\ c-b & 0 }[/mm] = A
> - [mm]A^T[/mm] entspricht.
> Die Abbildungsmatrix hat offenbar den Rang 1, das Bild ist
> also eindimensional, es sind die schiefsymmetrischen
> Matrizen der Form [mm]\vektor{0 \\ x \\ -x \\ 0}.[/mm]
> Der Kern
> (Dimension 4-1=3) sind die symmetrischen Matrizen [mm]\vektor{a \\ y \\ y \\ d},[/mm]
> also [mm]\pmat{ a & y \\ y & d }[/mm]
Super, das habe ich jetzt verstanden. Vielen Dank.
> Ich hoffe, dass damit auch die Fragen vom Ende deines
> Beitrages geklärt sind.
> Gruß Sax.
Ja ich denke fast :) Danke und mfg.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 Do 14.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
eine Drehung um die z-Achse mit dem Drehwinkel [mm] \phi [/mm] wird durch Die Drehmatrix D = [mm] \pmat{ cos \phi & -sin \phi & 0 \\ sin \phi & cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] beschrieben, eine Spiegelung an der x-y-Ebene (z-Werte ändern ihr Vorzeichen) durch die Matrix S = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }, [/mm] die Nacheinanderausführung von Abbildungen entspricht der Multiplikation der Abbildungsmatrizen (Reihenfolge beachten!).
Jede Menge { [mm] a_{11}e_1+a_{12}e_2+ [/mm] ... [mm] +a_{14}e_4 [/mm] , [mm] a_{21}e_1+ [/mm] ... [mm] +a_{14}e_4 [/mm] , ... , [mm] a_{41}e_1+ [/mm] ... [mm] +a_{44}e_4 [/mm] } mit Basisvektoren [mm] e_1 [/mm] , ... , [mm] e_4 [/mm] ergibt genau dann wieder eine Basis, wenn die Matrix A = [mm] \pmat{ a_{11} & . & . & a_{14} \\ . & . & . & .\\ . & . & . & . \\a_{41} & . & . & a_{44} } [/mm] den Rang 4 hat.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:58 Do 14.02.2013 | | Autor: | unibasel |
> Hi,
>
> eine Drehung um die z-Achse mit dem Drehwinkel [mm]\phi[/mm] wird
> durch Die Drehmatrix D = [mm]\pmat{ cos \phi & -sin \phi & 0 \\ sin \phi & cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
> beschrieben, eine Spiegelung an der x-y-Ebene (z-Werte
> ändern ihr Vorzeichen) durch die Matrix S = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 },[/mm]
Ich dachte eher, die sieht so aus: Matrix S = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }. [/mm] Bist du dir sicher?
> die Nacheinanderausführung von Abbildungen entspricht der
> Multiplikation der Abbildungsmatrizen (Reihenfolge
> beachten!).
Genau, d.h ich multipliziere die Drehmatrix mit der Matrix S. Aber danach kommt trotzdem das falsche heraus... :( Was mache ich falsch?
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Hast du die Reihenfolge beachtet? Es soll ja erst gespiegelt werden, dann gedreht.
Wenn jetzt S die Spiegelung ist und D die Drehung hast du ja die Komposition [mm] D\circ{}S
[/mm]
also [mm] D\cdot{}S [/mm] in dieser Reihenfolge kommst du auf deine gesuchte Matrix.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Do 14.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
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> Ich dachte eher, die sieht so aus: Matrix S = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }.[/mm]
> Bist du dir sicher?
>
Ja, ich bin mir sicher, dass du Recht hast, Schludrigkeit von mir.
Allerdings wird für [mm] \phi [/mm] = [mm] \pi/2 [/mm] : D = [mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] und damit wird $ S*D = D*S = [mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 } [/mm] $, weil es in diesem speziellen Fall nicht auf die Reihenfolge der Abbildungen ankommt.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 Do 14.02.2013 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | | Frage 2 und noch was anderes. |
Was noch offen bleibt: Frage 2 wegen der Jordannormalform (ich weiss jetzt mittlerweile, wieso [mm] \pmat{0&0&0\\1&0&0\\0&0&3} [/mm] ist, aber wieso folgt daraus die Diagonalisierbarkeit?
Kann mir noch jemand ein gutes, einfaches Beispiel nennen (auf einen Link hinweisen, nicht Wikipedia bitte), wie man eine Basis eines Vektorraums bestimmt?
Danke:)
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> Frage 2 und noch was anderes.
> Was noch offen bleibt: Frage 2 wegen der Jordannormalform
> (ich weiss jetzt mittlerweile, wieso
> [mm]\pmat{0&0&0\\
1&0&0\\
0&0&3}[/mm] ist,
Hallo,
das ist nicht die JNF von $ [mm] A=\pmat{1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1} [/mm] $,
und in der Tat folgt aus obiger JNF nicht die Diagonalisierbarkeit.
> aber wieso folgt daraus die
> Diagonalisierbarkeit?
>
> Kann mir noch jemand ein gutes, einfaches Beispiel nennen
> (auf einen Link hinweisen, nicht Wikipedia bitte), wie man
> eine Basis eines Vektorraums bestimmt?
???
Worum genau geht es?
Darum,wie man eine Basis des Kerns angeben kann?
LG Angela
>
> Danke:)
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