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| Aufgabe | Die Abblidungen [mm] f_{1},f_{2}:\IR \to \IR [/mm] seien def durch:
[mm] f_{1}(x)= [/mm] x² + 1 [mm] \forallx \in \IR [/mm]
[mm] f_{2}(x)= \wurzel{x^{4} + 16} \forallx \in \IR
[/mm]
(dabei bezeichnet [mm] \wurzel [/mm] die nichtnegative Quadratwurzel.)
Bestimmen Sie für i=1,2 die Mengen T, für die
a) [mm] f_{i}^{-1} [/mm] (T) = [mm] \emptyset [/mm] |
gilt.
Ich hab mir das so überlegt:
[mm] f1^{-1}(T)= \emptyset
[/mm]
[mm] \Rightarrow f1(f1^{-1}(T)) [/mm] = [mm] f1(\emptyset)
[/mm]
[mm] \Rightarrow T=f1(\emptyset)=\emptyset
[/mm]
oder ein weiter Ansatz:
[mm] f1^{-1}(T) [/mm] = {x [mm] \in \IR [/mm] | f1(x) [mm] \in [/mm] T } = [mm] \emptyset
[/mm]
Da [mm] \neg\exists [/mm] x [mm] \in \emptyset \Rightarrow [/mm] T= [mm] \emptyset
[/mm]
Ich bin mir aber nicht sicher ob das stimmt, da ich ja die Def von [mm] f_{i} [/mm] gar nicht nutze.
f2 wäre dann ja analog.
gruß
ConstantinJ
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Hiho,
erstmal vorweg: Die Aufgabe ist blöd gestellt.
Natürlich gibt es jeweils unendlich solcher Mengen T!
Du sollst vermutlich die maximale Menge finden.
> [mm] $f_1^{-1}(T) [/mm] = [mm] \{x \in \IR | f_1(x) \in T \} [/mm] = [mm] \emptyset$
[/mm]
Ja, das soll gelten, der Ansatz ist gut.
Nun finde doch mal so ein T, so dass [mm] $f_1(x) \in [/mm] T$ NIE gilt.
Mach dir mal klar, dass dann gelten muss $T [mm] \cap im(f_1) [/mm] = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Wie sieht nun [mm] $im(f_1)$ [/mm] aus?
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Sa 28.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Constantin,
> [mm]f1^{-1}(T)= \emptyset[/mm]
> [mm]\Rightarrow f1(f1^{-1}(T))[/mm] =
> [mm]f1(\emptyset)[/mm]
> [mm]\Rightarrow T=f1(\emptyset)=\emptyset[/mm]
Die letzte Schlussfolgerung stimmt nicht. [mm] $f1(f1^{-1}(T))=T$ [/mm] gilt im Allgemeinen nur, falls f1 surjektiv ist.
> oder ein weiter Ansatz:
> [mm]f1^{-1}(T)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= $\{$x [mm]\in \IR[/mm] | f1(x) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
T $\}$ = [mm]\emptyset[/mm]
> Da [mm]\neg\exists[/mm] x [mm]\in \emptyset \Rightarrow[/mm] T= [mm]\emptyset[/mm]
Auch hier stimmt die letzte Schlussfolgerung nicht. Richtig ist lediglich, dass [mm] $T=\emptyset$ [/mm] eine der gesuchten Mengen ist.
Es gilt
[mm] $f_1^{-1}(T)=\emptyset$
[/mm]
[mm] $\gdw\{x \in \IR | f_1(x) \in T $\}=\emptyset$
[/mm]
[mm] $\gdw\forall x\in\IR: f_1(x)\not\in [/mm] T$
[mm] $\gdw \operatorname{im}(f_1)\cap T=\emptyset$
[/mm]
[mm] $\gdw T\subseteq \IR\setminus\operatorname{im}(f_1)$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Sa 28.04.2012 | | Autor: | rollroll |
Wäre dann z.B. bei [mm] f_1 [/mm] : [mm] Im(f_1) \cap [/mm] ]1; - [mm] \infty[ [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Sa 28.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Wäre dann z.B. bei [mm]f_1[/mm] : [mm]Im(f_1) \cap[/mm] ]1; - [mm]\infty[[/mm] =
> [mm]\emptyset[/mm] ?
Du meinst sicherlich [mm] $]-\infty,1[$. [/mm] Dann stimmt es.
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Hi, Danke für die Antwort.> Hallo Constantin,
Es gilt
$ [mm] f_1^{-1}(T)=\emptyset [/mm] $
$ [mm] $\gdw\{x \in \IR | f_1(x) \in T $\}=\emptyset$ [/mm] $
$ [mm] \gdw\forall x\in\IR: f_1(x)\not\in [/mm] T $
$ [mm] \gdw \operatorname{im}(f_1)\cap T=\emptyset [/mm] $
$ [mm] \gdw T\subseteq \IR\setminus\operatorname{im}(f_1) [/mm] $.
Ehm, kann ich hieraus jetzt folgern:
[mm] \Rightarrow T_{max}= \IR [/mm] \ Im(f1)
mit : Im(f1)= [ 1 , [mm] \infty [/mm] [
[mm] \Rightarrow T_{max} [/mm] = ]- [mm] \infty [/mm] , 1[
?
Gruß
ConstantinJ
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Sa 28.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]\Rightarrow T_{max}= \IR[/mm] \ Im(f1)
> mit : Im(f1)= [ 1 , [mm]\infty[/mm] [
> [mm]\Rightarrow T_{max}[/mm] = ]- [mm]\infty[/mm] , 1[
Stimmt!
Alle gesuchten T sind gerade die Teilmengen von [mm] $T_{max}$.
[/mm]
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| Aufgabe | [mm] b)f_{i}^{-1}(T)=\IR
[/mm]
[mm] c)\emptyset \subset \not= f_{i}^{-1}(T) \subset \not= \IR [/mm] |
noch zur a) f2: Da wäre Tmax= [mm] ]-\infty,4[
[/mm]
b) [mm] f_{i}^{-1}(T)=\IR
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] { x [mm] \in \IR|f_{i} \in [/mm] T } = [mm] \IR
[/mm]
[mm] \gdw \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] : fi(x) [mm] \in [/mm] T
[mm] \gdw [/mm] Im(fi) [mm] \cap [/mm] T = Im(fi)
[mm] \Rightarrow [/mm] Im(fi) [mm] \subseteq [/mm] T
[mm] \Rightarrow T_{min}= [/mm] Im(fi)
Stimmt das ?
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> $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ Im(fi) $ [mm] \subseteq [/mm] $ T
Hier gilt sogar auch "$ [mm] \gdw [/mm] $".
> $ [mm] \Rightarrow T_{min}= [/mm] $ Im(fi)
Meinst oben (oder unten )?
Also aus der c) werd ich nicht ganz schlau.
bräuchte ich da jetzt minimal ein Element uas meiner ersten Menge a)
und eins Element von der Lsgmenge von b)
und maximal die ganze Lsgmenge von a) geschnitten mit Lsgmenge b) -1 Element. ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > [mm]\Rightarrow[/mm] Im(fi) [mm]\subseteq[/mm] T
>
> Hier gilt sogar auch "[mm] \gdw [/mm]".
>
> > [mm]\Rightarrow T_{min}=[/mm] Im(fi)
>
> Meinst oben (oder unten )?
Oben.
> Also aus der c) werd ich nicht ganz schlau.
> bräuchte ich da jetzt minimal ein Element uas meiner
> ersten Menge a)
> und eins Element von der Lsgmenge von b)
> und maximal die ganze Lsgmenge von a) geschnitten mit
> Lsgmenge b) -1 Element. ?
Du musst ja gerade die "Gegenteile" der Lösungsmengen von a) und b) betrachten. Genauer: Ein [mm] $T\subseteq\IR$ [/mm] gehört genau dann zur Lösungsmenge von c), wenn es weder zur Lösungsmenge von a) noch zur Lösungsmenge von b) gehört.
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Ich weiß jetzt nicht, ob das in der Aufgabenstellung richtig rüber kam :
Da steht : [mm] \emptyset [/mm] ist echte Teilmenge von [mm] f_{i}^{-1}(T) [/mm] ist echte Teilmenge von [mm] \IR
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich weiß jetzt nicht, ob das in der Aufgabenstellung
> richtig rüber kam :
> Da steht : [mm]\emptyset[/mm] ist echte Teilmenge von [mm]f_{i}^{-1}(T)[/mm]
> ist echte Teilmenge von [mm]\IR[/mm]
Genauso hatte ich es verstanden.
[mm] $\emptyset\subseteq f_i^{-1}(T)\subseteq\IR$ [/mm] gilt ja für jedes [mm] $T\subseteq\IR$. [/mm] Also kannst du für [mm] $\emptyset\subsetneq f_i^{-1}(T)\subsetneq\IR$ [/mm] genausogut [mm] $\emptyset\neq f_i^{-1}(T)\neq\IR$ [/mm] schreiben.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:53 So 29.04.2012 | | Autor: | ConstantinJ |
Also wäre das in beiden Fällen die leere Menge ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Also wäre das in beiden Fällen die leere Menge ?
Welche beiden Fälle meinst du? Was soll in diesen Fällen die leere Menge sein?
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Ok, ich hatte da einen Denkfehler.
Ich kann mir gerade nichts unter dieser Menge vorstellen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich kann mir gerade nichts unter dieser Menge vorstellen.
Von welcher Menge sprichst du gerade? 
Eine wirklich toll kurze Beschreibung der gesuchten Mengen T bei c) habe ich auch nicht.
Wie würdest du denn die Mengen [mm] $T\subseteq\IR$ [/mm] beschreiben, die nicht das Kriterium aus a) erfüllen? Dann analog für b).
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Ja ich meine die Menge T von c).
Also: Also Tc muss mindestens ein Element aus Tmax von a) enthalten und muss mindestens ein Element aus Tmin von b) enthalten, darf aber nicht Tmin komplett enthalten.
Ps: ich find den Teil c) höchst verwirrend.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ja ich meine die Menge T von c).
>
> Also: Also Tc muss mindestens ein Element aus Tmax von a)
> enthalten
Nein.
> und muss mindestens ein Element aus Tmin von b)
> enthalten,
Genau. Das ist das Gegenteil von der Bedingung aus a).
> darf aber nicht Tmin komplett enthalten.
Genau. Das ist das Gegenteil von der Bedingung aus b).
> Ps: ich find den Teil c) höchst verwirrend.
Ohne Stift und Papier schaffe ich es auch nicht, den Überblick zu behalten.
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Ok.
Ich weiß nur nicht wie ich das aufschreiben kann.
Aber vielen Dank für die Hilfe.
Gruß
ConstantinJ
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ok.
>
> Ich weiß nur nicht wie ich das aufschreiben kann.
Z.B. so:
"Die gesuchten Mengen T sind genau die Teilmengen [mm] $T\subset\IR$, [/mm] die mindestens ein Element von [mm] $T_{min}$ [/mm] enthalten und mindestens ein Element von [mm] $T_{min}$ [/mm] nicht enthalten."
Dabei solltest du statt [mm] $T_{min}$ [/mm] die konkret ermittelten Mengen im Falle von [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $f_2$ [/mm] schreiben.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Di 01.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Also wären dann folgende Antworten korrekt:
a) [mm] f_1^{-1}(]- \infty;1[) [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
[mm] f_2^{-1}(]- \infty;4[) [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
b) [mm] f_1^{-1}([1; \infty[) [/mm] = IR
[mm] f_2^{-1}(]4; \infty[) [/mm] = IR
c) Hier bin ich mir immernoch nicht sicher, kann man die Mengen also nicht konkret wie in Fall a) und b) angeben? Sondern ,,nur'' schreiben:
"Die gesuchten Mengen T sind genau die Teilmengen $ [mm] T\subset\IR [/mm] $ , die mindestens ein Element von [1; [mm] \infty[ [/mm] enthalten und mindestens ein Element von [1; [mm] \infty[ [/mm] nicht enthalten." (analog für den 2. Fall).
Warum wäre es z.B. nicht korrekt zu schreiben: [mm] \emptyset \subset f_1^{-1}(1) \subset [/mm] IR (bzw. im 2. Fall statt der 1 die 4, wobei [mm] \subset [/mm] für die echte Teilmenge steht)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Also wären dann folgende Antworten korrekt:
> a) [mm]f_1^{-1}(]- \infty;1[)[/mm] = [mm]\emptyset[/mm]
> [mm]f_2^{-1}(]- \infty;4[)[/mm] = [mm]\emptyset[/mm]
> b) [mm]f_1^{-1}([1; \infty[)[/mm] = IR
> [mm]f_2^{-1}(]4; \infty[)[/mm] = IR
Das ist schon korrekt, aber gefragt ist nach ALLEN Mengen T mit den jeweiligen Eigenschaften, nicht nur nach EINER solchen Menge.
> c) Hier bin ich mir immernoch nicht sicher, kann man die
> Mengen also nicht konkret wie in Fall a) und b) angeben?
> Sondern ,,nur'' schreiben:
> "Die gesuchten Mengen T sind genau die Teilmengen
> [mm]T\subset\IR[/mm] , die mindestens ein Element von [1; [mm]\infty[[/mm]
> enthalten und mindestens ein Element von [1; [mm]\infty[[/mm] nicht
> enthalten." (analog für den 2. Fall).
> Warum wäre es z.B. nicht korrekt zu schreiben: [mm]\emptyset \subset f_1^{-1}(\red\{1\red\}) \subset[/mm]
> IR (bzw. im 2. Fall statt der 1 die 4, wobei [mm]\subset[/mm] für
> die echte Teilmenge steht)
Das wäre wieder korrekt, aber würde wieder nur EINE statt ALLE Mengen T mit der gewünschten Eigenschaft angeben.
Wenn du Formeln statt Worte bevorzugst:
[mm] $\{T\subseteq\IR\;|\;\emptyset \subsetneq= f_{1}^{-1}(T) \subsetneq\IR\}=\{T\subseteq\IR\;|\;\exists x,y\in[1,\infty)\colon x\in T, y\not\in T\}$.
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 Di 01.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Und wie würde man das dann bei a) und b) schreiben, damit man alle Mengen erfasst? Soll man dann z.B. bei a) schreiben: [mm] T_{1,max}=alle [/mm] Teilmengen von ] - [mm] \infty [/mm] ; 1[?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Und wie würde man das dann bei a) und b) schreiben, damit
> man alle Mengen erfasst? Soll man dann z.B. bei a)
> schreiben: [mm]T_{1,max}=alle[/mm] Teilmengen von ] - [mm]\infty[/mm] ; 1[?
"Die Mengen T mit [mm] $f_{i}^{-1} [/mm] (T) = [mm] \emptyset$ [/mm] sind genau die Teilmengen von [mm] $]-\infty;1[$."
[/mm]
Oder:
[mm] "$\{T\subseteq\IR\;|\;f_{i}^{-1} (T) = \emptyset\}=\mathcal{P}(]-\infty;1[)$ [/mm] ,
wobei [mm] $\mathcal{P}$ [/mm] die Potenzmenge bezeichne."
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Ich habe mir euren gesamten Dialog nicht durchgelesen, meine aber, dass die Lösung der Aufgabe viel einfacher gemeint ist, als von euch durchdacht.
Bei [mm] f_1 [/mm] sind einfach alle Zahlen aus der Zielmenge [mm] \IR [/mm] gesucht, die kein Urbild haben. Auf sie lässt sich [mm] f_1^{-1} [/mm] nicht anwenden, deshalb ist die Ergebnismenge von [mm] f_1^{-1} [/mm] leer.
Die Bildmenge von [mm] f_1 [/mm] sind alle reellen Zahlen, die sich beim Ausrechnen des Terms ergeben können. Bei [mm] x^2+1 [/mm] werden zur 1 nur positive Werte [mm] (x^2 [/mm] ist immer positiv) hinzugezählt, wobei alle Zahlen von 0 bis [mm] \infty [/mm] auftreten können. Also erhält man als Ergebnis alle Zahlen von 1 bis [mm] \infty. [/mm] Zahlen <1 können nicht auftreten. Deshalb ist die Menge [mm] T=(-\infty|1[.
[/mm]
Die Bildmenge von [mm] f_2 [/mm] erfasst wegen der Wurzel nur positive Werte. Zu 4 wird [mm] x^4 [/mm] hinzugezählt. [mm] x^4 [/mm] erfasst - analog zum ersten Beispiel - alle positiven Werte. Also kommen unter der Wurzel alle positiven Zahlen [mm] \ge [/mm] 4 vor, das Ergebnis (Bildmenge) umfasst also alle Zahlen [mm] \ge [/mm] 2. Zahlen <2 können nicht auftreten. Deshalb ist die Menge [mm] T=(-\infty|2[.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo HJKweseleit,
> Bei [mm]f_1[/mm] sind einfach alle Zahlen aus der Zielmenge [mm]\IR[/mm]
> gesucht, die kein Urbild haben.
Du bist gerade bei a), oder?
Das wäre korrekt wenn nach den Zahlen t mit [mm] $f^{-1}(\{t\})=\emptyset$ [/mm] gefragt wäre.
> Die Bildmenge von [mm]f_1[/mm] sind alle reellen Zahlen, die sich
> beim Ausrechnen des Terms ergeben können. Bei [mm]x^2+1[/mm] werden
> zur 1 nur positive Werte [mm](x^2[/mm] ist immer positiv)
> hinzugezählt, wobei alle Zahlen von 0 bis [mm]\infty[/mm] auftreten
> können. Also erhält man als Ergebnis alle Zahlen von 1
> bis [mm]\infty.[/mm] Zahlen <1 können nicht auftreten. Deshalb ist
> die Menge [mm]T=(-\infty|1[.[/mm]
Das ist eine der gesuchten Mengen $T$. Gefragt ist aber nach ALLEN Mengen $T$ mit [mm] $f^{-1}(T)=\emptyset$.
[/mm]
> Die Bildmenge von [mm]f_2[/mm] erfasst wegen der Wurzel nur positive
> Werte. Zu 4 16 wird [mm]x^4[/mm] hinzugezählt. [mm]x^4[/mm] erfasst - analog
> zum ersten Beispiel - alle positiven Werte. Also kommen
> unter der Wurzel alle positiven Zahlen [mm]\ge[/mm] 4 16 vor, das
> Ergebnis (Bildmenge) umfasst also alle Zahlen [mm]\ge[/mm] 2 4. Zahlen
> <2 4 können nicht auftreten. Deshalb ist die Menge
> [mm]T=(-\infty|\red4[.[/mm]
Dies ist wieder nur eine der gesuchten Mengen $T$.
Viele Grüße
Tobias
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> Hallo HJKweseleit,
>
>
> > Bei [mm]f_1[/mm] sind einfach alle Zahlen aus der Zielmenge [mm]\IR[/mm]
> > gesucht, die kein Urbild haben.
> Du bist gerade bei a), oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Das wäre korrekt wenn nach den Zahlen t mit
> [mm]f^{-1}(\{t\})=\emptyset[/mm] gefragt wäre.
>
> > Die Bildmenge von [mm]f_1[/mm] sind alle reellen Zahlen, die sich
> > beim Ausrechnen des Terms ergeben können. Bei [mm]x^2+1[/mm] werden
> > zur 1 nur positive Werte [mm](x^2[/mm] ist immer positiv)
> > hinzugezählt, wobei alle Zahlen von 0 bis [mm]\infty[/mm] auftreten
> > können. Also erhält man als Ergebnis alle Zahlen von 1
> > bis [mm]\infty.[/mm] Zahlen <1 können nicht auftreten. Deshalb ist
> > die Menge [mm]T=(-\infty|1[.[/mm]
> Das ist eine der gesuchten Mengen [mm]T[/mm]. Gefragt ist aber nach
> ALLEN Mengen [mm]T[/mm] mit [mm]f^{-1}(T)=\emptyset[/mm].
Das Urbild einer Teilmenge T der Zielmenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild Element dieser Teilmenge ist: [mm] f^{-1}(T) [/mm] := [mm] \{a\in A \mid f(a)\in T\}
[/mm]
Nach dieser Definition handelt es sich demnach um alle beliebigen Teilmengen der von mir angegebenen Lösungsmenge.
>
> > Die Bildmenge von [mm]f_2[/mm] erfasst wegen der Wurzel nur positive
> > Werte. Zu 4 16 wird [mm]x^4[/mm] hinzugezählt. [mm]x^4[/mm] erfasst - analog
Sorry, habe mir den Text nicht mehr angeschaut und die falsche Zahl (4 statt 16) im Kopf gehabt.
> > zum ersten Beispiel - alle positiven Werte. Also kommen
> > unter der Wurzel alle positiven Zahlen [mm]\ge[/mm] 4 16 vor, das
> > Ergebnis (Bildmenge) umfasst also alle Zahlen [mm]\ge[/mm] 2 4.
> Zahlen
> > <2 4 können nicht auftreten. Deshalb ist die Menge
> > [mm]T=(-\infty|\red4[.[/mm]
> Dies ist wieder nur eine der gesuchten Mengen [mm]T[/mm].
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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