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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Sa 23.10.2010 | | Autor: | jarna37 |
| Aufgabe | Von den folgenden 6 Aussagen sind genau 3 falsch. Finden sie die falschen Aussagen und belegen sie diese Falschheit durch ein Gegenbeispiel.
1. Sei [mm] f:\IR->\IR [/mm] und [mm] g:\IR->\IR [/mm] beide bijektiv, so ist auch f [mm] \circ [/mm] g bijektiv.
2. Sei [mm] f:\IR->\IR [/mm] und [mm] g:\IR->\IR [/mm] beide bijektiv, so ist auch f + g bijektiv.
3. Sei [mm] f:\IR->\IR [/mm] und [mm] g:\IR->\IR [/mm] beide bijektiv, so ist auch f * g bijektiv.
4. Zum jeder Abbildung f: M->N gibt es eine Teilmenge L [mm] \subset [/mm] N, so dass die Abbildung g: M->L, x [mm] \mapsto [/mm] f(x) surjektiv ist.
5. Für jede Abbildung f: [mm] \IN [/mm] -> [mm] \IN [/mm] ist g: [mm] \IN [/mm] -> [mm] \IN \times \IN, [/mm] g(n)=(n, f(n)) surjektiv.
6. Für jede Abbildung f: [mm] \IN [/mm] -> [mm] \IN [/mm] ist g: [mm] \IN [/mm] -> [mm] \IN \times \IN, [/mm] g(n)=(n, f(n)) injektiv. |
Hallo erstmal!
Jetzt hat das Semester gerade erst angefangen und ich hänge schon hinterher, weil ich dummerweise die ersten Vorlesungen verpasst habe. Das Übungsblatt muss ich aber natürlich trotzdem abgeben. Allerdings versteh ich da wirklich nur Bahnhof. Hoffe, ihr könnt mir helfen!
Vielen Dank schonmal, auch nur für kleine Erklärungen, dass ichs versteh.
Grüße, Jana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
beschreibe dein Problem doch bitte etwas genauer.
- kennst du die Begriffe injektiv, surjektiv, bijektiv nicht
oder - weißt du nicht was man unter f [mm] \circ [/mm] g bzw. f + g bzw. f * g versteht
oder - ist dir die Definition der Mengenoperation [mm] \times [/mm] nicht bekannt
oder - ...
was davon kannst du nicht mit Hilfe deiner Mitschrift, aus Büchern, durch Wikipedia, ... herausfinden
Wir helfen dir gerne bei spezifischen Fragen.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Sa 23.10.2010 | | Autor: | jarna37 |
Vielen Dank für die Antwort erstmal.
Die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv sind mir bekannt. Injektiv bedeutet, dass in einer Zielmenge ein Wert höchstens einmal getroffen wird, Surjektiv entsprechend mindestens einmal und bijektiv genau einmal. Wie ich das genauer erklären/verstehen kann, ist mir nicht ganz klar, aber ich habe da schon ein Bild vor Augen.
f [mm] \circ [/mm] g bedeutet, dass erst die Abbildung f ausgeführt wird und anschließend die Abbildung g. Wie ich f+g und f*g verstehen soll, weiß ich nicht.
Den Operator [mm] \times [/mm] kenne ich bisher nur, zum Auspannen eines Raumes (?)
Mein Problem ist, wie ich das alles verknüpfen kann...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
das gibt mir doch mal 'nen Ansatz.
injektiv, surjektiv, bijektiv hast du drauf.
Bei f [mm] \circ [/mm] g ist die Reihenfolge umgekehrt zu deiner Angabe : (f [mm] \circ [/mm] g)(x) = f(g(x)).
Die Addition und die Multiplikation von Funktionen sind punktweise definiert :
(f + g)(x) = f(x) + g(x) und (f * g)(x) = f(x) * g(x).
Bsp : Für f(x) = [mm] x^2 [/mm] + x und g(x) = 2x + 1 wird
(f [mm] \circ [/mm] g)(x) = [mm] 4x^2 [/mm] + 6x + 2 , (f + g)(x) = [mm] x^2 [/mm] + 3x + 1 und (f * g)(x) = [mm] 2x^3 [/mm] + [mm] 3x^2 [/mm] + x
Die "Produktmenge" [mm] \IN \times \IN [/mm] besteht aus allen Zahlenpaaren (a,b) wobei a und b jeweils aus [mm] \IN [/mm] sind.
Nehme dir jetzt die sechs Aussagen der Reihe nach vor. Bemühe dein "Bild vor Augen", das ist eine sehr gute Methode und versuche dir vorzustellen, ob es ein Gegenbeispiel zu der betrachteten Aussage geben könnte.
Bis gleich.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Sa 23.10.2010 | | Autor: | jarna37 |
Ich habe mir jetzt einfach mal zwei bijektive Funktionen überlegt und die ersten 3 Aussagen daran geprüft:
f(x)=x+2 , g(x)=x+3
f [mm] \circ [/mm] g = x+5 -> f [mm] \circ [/mm] g ist bijektiv, 1. Aussage stimmt
f+g = 2x+5 -> f+g ist bijektiv, 2. Aussage stimmt
f*g = x²+5x+6 -> f*g ist surjektic, 3. Aussage ist falsch
Habe ich mit meiner Idee recht? Den dann hab ich das Problem, was den überhaupt ein Beispiel für eine injektive Funktion sein soll...
Die 4. Aussage ist mit etwas suspekt, wie ich von Funktion zu Abbildung zu Teilmenge komme.
Bei der 5. und 6. Aussage verstehe ich die Schreibweise g(n)=(n,f(n)) nicht so ganz...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich fange mal mit der dritten an :
> f*g = x²+5x+6 -> f*g ist surjektic, 3. Aussage ist falsch
Die Schreibweise sollte noch verbessert werden, aber dein Ergebnis ist richtig. Da hast du aber Glück gehabt, dass du gerade zwei Funktionen erwischt hast, die als Gegenbeispiel taugen.
Bei der zweiten Aussage hattest du nicht so viel Glück, die Aussage ist nämlich ebenfalls falsch. Die Tatsache, dass dein Beispiel kein Gegenbeispiel darstellt, beweist ja noch nicht, dass es nicht doch ein Gegenbeispiel gibt. Mit anderen Funktionen f und g kann nämlich durchaus f+g nicht bijektiv sein. Such mal weiter.
Die erste Aussage stimmt tatsächlich, aber wie in 2. ist die Angabe eines positiven Beispiels kein Beweis für die Allgemeingültigkeit einer Aussage. Allerdings verlangt die Aufgabenstellung einen solchen Beweis ja auch nicht.
4. ist nicht so schwierig, bemühe noch mal dein "Bild vor Augen".
Die Schreibweise g(n) = (n, f(n)) erläutere ich dir mal an einem Beispiel :
wenn f(n) = [mm] n^2 [/mm] ist, dann wird durch g die Zahl 3 abgebildet auf das Zahlenpaar (3,9), die Zahl 7 wird auf das Zahlenpaar (7,49) abgebildet und g(5) = (5,25). Übrigens : Zwei Zahlenpaare (r,s) und (u,v) sind genau dann gleich, wenn r=u und s=v ist.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Sa 23.10.2010 | | Autor: | jarna37 |
Verdammt... ich steh wohl gerade etwas auf dem Schlauch...
Ich hab jetzt einfach mal nach weiteren bijektiven Funktionen gesucht, um ein passendes Gegenbeispiel für die 2. Aussage zu finden. Allerdings kam ich bisher nur f(x)=x³ oder ^eine ungerade Zahl... allerdings ist x³ + x immer noch bijektiv.
Auch bei den anderen 3 bin ich hilflos.
Die Aussage 4 formuliert als deutschen Satz: Durch die Abbildung f wird M auf N abgebildet. L ist eine Teilmenge von N so dass g M auf L abbildet und surjektiv ist - richtig? Aber trotzdem komm ih nicht weiter.
Tut mir leid, wenn ich etwas schwer von Begriff sein sollte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
denke doch auch mal an negative Zahlen...
> Die Aussage 4 formuliert als deutschen Satz: Durch die Abbildung f wird M auf N abgebildet
Nein, eben nicht notwendigerweise "auf" (dann wäre f surjektiv), sondern "in". Es können noch Zahlen in N vorkommen, die durch kein x aus M per f(x) erwischt werden. Und wenn man N nun so verkleinert, dass diese Zahlen ausgeschlossen werden ...
> Tut mir leid, wenn ich etwas schwer von Begriff sein sollte
Ich finde im Gegenteil, dass wir ganz gute Fortschritte machen.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Sa 23.10.2010 | | Autor: | jarna37 |
> denke doch auch mal an negative Zahlen...
wie wäre es mit f(x)=x+3 und g(x)=-x+2
den dann ist f+g=5... also eine parallele zur x-achse und demnach eine surjektive funktion...?
> Nein, eben nicht notwendigerweise "auf" (dann wäre f
> surjektiv), sondern "in". Es können noch Zahlen in N
> vorkommen, die durch kein x aus M per f(x) erwischt werden.
> Und wenn man N nun so verkleinert, dass diese Zahlen
> ausgeschlossen werden ...
... dann hat man N auf L verkleinert?
DIese Aussage finde ich bei weitem nicht so "einfach", wie du am anfang angedeutet hast ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
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> wie wäre es mit f(x)=x+3 und g(x)=-x+2
> den dann ist f+g=5... also eine parallele zur x-achse
genau
> und demnach eine surjektive funktion...?
Unfug !
Weil doch die Bildmenge von f+g nur aus der einen einzigen Zahl 5 besteht, gibt es eine Zahl in [mm] \IR, [/mm] die nicht als Bild vorkommt (es gibt sogar unendlich viele Zahlen, die nicht als Bild vorkommen, aber eine reicht). f+g ist also gerade nicht surjektiv, und deshalb auch nicht bijektiv und sowas suchen wir doch gerade.
Übrigens funktioniert auch die Argumentation über Injektivität : weil 3,75 und 3,77 beide den Funktionswert 5 haben und weil 3,75 [mm] \not= [/mm] 3,77 ist, ist f+g auch nicht injektiv also auch nicht bijektiv.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Sa 23.10.2010 | | Autor: | jarna37 |
achso... ok, ich dachte eine funktion müsste immer surjektiv, injektiv oder bijektiv sein...
ok, dann wären also schon 2 gegenbeispiele gefunden - vielen vielen dank dafür schonmal
Wie komme ich allerdings bei den anderen drei weiter? Bei denen schaffe ich es irgendwie nicht, mir die so schön über funktionen dazustellen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
wir brauchen noch eine falsche Aussage. Das werden wir doch wohl noch schaffen.
Überlege dir zu 5. folgendes : Wenn g surjektiv ist, bedeutet das doch, dass alle Zahlenpaare aus [mm] \IN \times \IN [/mm] als Bilder auftauchen müssen. Ist das wirklich immer der Fall ?
Zu 6. : Wenn g injektiv ist, bedeutet das, dass man aus einem Funktionswert, also einem Zahlenpaar ( n , f(n) ) immer eindeutig auf das Original, also n zurückschließen kann. Ist das immer der Fall ?
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Sa 23.10.2010 | | Autor: | jarna37 |
ok... tut mir leid, aber irgendwie hilft mir das nicht so weiter. beides hört sich eigentlich so an, als ob man sagen könnte, nein, dass ist natürlich nicht immer der fall...
irgendwie ist heute nicht mein mathemtischer tag
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
wir machen jetzt ein Spielchen zu Nr. 6:
Du denkst dir irgendeine Funktion f : [mm] \IN \to \IN [/mm] aus. Dann denkst du dir irgendeine Zahl n [mm] \in \IN [/mm] aus. Du berechnest g(n) und teilst mir nur das Ergebnis-Zahlenpaar g(n) mit. Wetten, dass ich dir dein gedachtes n sagen kann ?
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Sa 23.10.2010 | | Autor: | jarna37 |
achso ok... ja, also nehme ich jetzt einfach mal an, dass 6 eine wahre aussage ist ;)
demnach ist aussage 5 die dritte falsche aussage. Sag mir doch einfach den Beweis dafür, da ich nicht denke, dass ich da heute noch drauf komm. so kann ich es dann zumindest nachvollziehen und geh nicht komplett ahnungslos ins bett
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> achso ok... ja, also nehme ich jetzt einfach mal an, dass 6
> eine wahre aussage ist ;)
Es wäre doch schön, wenn du das nicht einfach annehmen würdest, sondern ehrlich eingesehen hättest.
Noch eine Bemerkung zum Begriff der Injektivität :
In diesem Beispiel kann man tatsächlich aus der Angabe von g(n) das Ursprungs-n berechnen und damit ist natürlich klar, dass es eindeutig festgelegt ist. Es gibt auch Fälle, in denen es keine Methode gibt, das n explizit zu berechnen, aber wenn man weiß, dass es nur ein n geben kann (und nicht mehrere), dann ist die Injektivität von g gesichert.
> demnach ist aussage 5 die dritte falsche aussage. Sag mir
> doch einfach den Beweis dafür, da ich nicht denke, dass
> ich da heute noch drauf komm. so kann ich es dann zumindest
> nachvollziehen und geh nicht komplett ahnungslos ins bett
Das werde ich natürlich nicht tun.
Aber du musst doch nur eine Funktion f finden, so dass eben nicht alle Zahlenpaare aus [mm] \IN \times \IN [/mm] in der Menge { (n,f(n)) } auftauchen. Sowas hast du doch schon mal geschafft.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Sa 23.10.2010 | | Autor: | jarna37 |
achso ... ja ok... eine abschnittsweise definierte funktion (bzw. nicht stetige funktion? um auch mal ein paar andere begriffe in den topf zu werfen). da hätte ich wirklich noch selbst drauf kommen, hast schon recht.
vielen dank für deine hilfe, hat mir echt sehr viel gebracht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 So 24.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> achso ... ja ok... eine abschnittsweise definierte funktion
> (bzw. nicht stetige funktion? um auch mal ein paar andere
> begriffe in den topf zu werfen).
Nein !
Wie f definiert wird, spielt für die Aufgabe überhaupt keine Rolle. Entscheidend ist, dass nicht alle natürlichen Zahlen als Bilder bei f vorkommen. Nimm einfach die konstante Funktion f : f(n) = 5 wie oben.
Die abschnittsweise definierte Funktion f mit
[mm] f(n)=\begin{cases} n, & \mbox{für } n \mbox{ < 10,5} \\ n-1, & \mbox{für } n \mbox{ > 10,5} \end{cases}
[/mm]
ist surjektiv, jede natürliche Zahl kommt als Bild vor (10 kommt sogar zweimal vor).
Ich bin mir nicht sicher, ob du den Stetigkeitsbegriff hier wirklich anwenden kannst, weil wir ja nicht in [mm] \IR [/mm] sind sondern in [mm] \IN.
[/mm]
Generell haben Stetigkeit und Surjektivität nichts miteinander zu tun.
> da hätte ich wirklich
> noch selbst drauf kommen, hast schon recht.
> vielen dank für deine hilfe, hat mir echt sehr viel
> gebracht
Ich hoffe es, es war mir ein Vergnügen, gute Nacht.
Gruß Sax.
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