Abbildungen kürzen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es seien $X, Y$ Mengen und $f: X [mm] \rightarrow [/mm] Y$ eine Abbildung. Man beweise:
1. $f$ ist injektiv genau dann, wenn für alle Mengen $W$ und alle Abbildungen $g: W [mm] \rightarrow [/mm] X$ und $h : W [mm] \rightarrow [/mm] X$ mit $f [mm] \circ [/mm] g = f [mm] \circ [/mm] h$ gilt $g = h$.
2. $f$ ist surjektiv genau dann, wenn für alle Mengen $Z$ und alle Abbildungen $g: Y [mm] \rightarrow [/mm] Z$ und $h : Y [mm] \rightarrow [/mm] Z$ mit $g [mm] \circ [/mm] f = h [mm] \circ [/mm] f$ gilt $g=h$. |
Also, ich habe die Aufgabenstellung so verstanden.
1 $f$ ist injektiv [mm] $\gdw [/mm] f [mm] \circ [/mm] g = f [mm] \circ [/mm] h : g = h$
Es muss also ein Hin- und Rückrichtung geben
Hinrichtung.
Man setzt voraus $f$ ist injektiv. z.z.: $f [mm] \circ [/mm] g = f [mm] \circ [/mm] h [mm] \Rightarrow [/mm] g=h$
x [mm] \in [/mm] W. f(g(x)) = f(h(x)) [mm] \Rightarrow [/mm] $f$ injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] g(x) = h(x)
Rückrichtung
Da bin ich mir unsicher, wie ich es mathematisch korrekt aufschreiben könnte.
2. $f$ ist surjektiv [mm] $\gdw [/mm] g [mm] \circ [/mm] f = h [mm] \circ [/mm] f : g = h$
Surjektivität bedeutet, [mm] $\forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y [mm] \exists [/mm] x : f(x) = y$
Ich weiß aber nicht, wie ich hier mit dem Beweis beginnen soll.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:49 Do 01.05.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> x $ [mm] \in [/mm] $ W. f(g(x)) = f(h(x)) $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ f injektiv $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ g(x) = h(x)
Das ist zu kurz.
Das sagt ja kaum mehr als das, was du beweisen willst. Dann kannst du gleich "trivial" schreiben.
Zudem sollte anstatt der ersten [mm] \Rightarrow [/mm] ein "mit" stehen.
Das sind so wie es aussieht alles Beweise nach den Schema:
Vorraussetzung : ...
Zu beweisen : ...
Annahne : Das gilt nicht.
[mm] \Rightarrow [/mm] dann kann die Vorraussetzung nicht stimmen
[mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch
[mm] \Rightarrow [/mm] zu Beweisendes stimmt !
Ciao.
|
|
|
|
