Abbildungen zwischen Mengen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Mi 27.10.2004 | | Autor: | gIlioner |
Hallo,
ich studiere Mathe (1. Semester) und scheitere bisher an einer Teilaufgabe des 2. Übungsblattes.
Wir sollen folgendes zeigen:
[mm]
f(M_1\cap M_2)\subset f(M_1)\cap f(M_2)
[/mm]
Was ich nicht verstehe, ist, dass es sich nur um eine Teilmenge handelt. Es wird zwar durch ein entsprechendes Gegenbeispiel deutlich, aber dann müsste doch in meinem Beweis ein Fehler sein!? Den finde ich nicht..
[mm]
y \in f \left( M_1 \cap M_2 \right) = f^{-1}\left( y \right) \in \left( M_1 \cap M_2 \left)\\
{} = f^{-1}\left( y \right) \in M_1 \wedge f^{-1}\left( y \right) \in M_2\\
{} = y \in f \left( M_1 \right) \wedge y \in f \left( M_2 \right)\\
{} = f\left( M_1 \right) \cap f\left( M_2 \right)
[/mm]
Wo ist jetzt mein Denkfehler?
Könnt ihr mir helfen?
THX
Sebastian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo!
> Wo ist jetzt mein Denkfehler?
Dein Denkfehler besteht darin, dass du davon ausgehst, dass f bijektiv ist (denn du hast ja die Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] benutzt).
Übrigens solltest du die Gleichheitszeichen durch Äquivalenzzeichen ersetzen, denn hier werden Aussagen und nicht Terme in Beziehung gesetzt.
Gruß Clemens
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Anndie |
Also, wenn du den gleichen Übungszettel hast wie ich, dann steht da:
f(M1 [mm] \cap [/mm] M2) [mm] \subset [/mm] f(M1) [mm] \cap [/mm] (M2)
ist das nicht ein unterschied??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:35 Do 28.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Anndie,
> Also, wenn du den gleichen Übungszettel hast wie ich, dann
> steht da:
> f(M1 [mm]\cap[/mm] M2) [mm]\subset[/mm] f(M1) [mm]\cap[/mm] (M2)
> ist das nicht ein unterschied??
Spielst du darauf an, dass vor dem rechten "(M2)" ein f fehlt?
Das kann nur ein Druckfehler sein; die Aufgabe macht nur so Sinn:
[mm] $f(M_1 \cap M_2)\subset f(M_1)\cap \red{f}(M_2)$
[/mm]
Im Allgemeinen sind ja [mm] f(M_1) [/mm] und [mm] M_2 [/mm] aus zwei verschiedenen Grundmengen, weswegen der Schnitt der beiden Mengen dann leer wäre.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:01 Do 28.10.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sebastian,
> Hallo,
>
> ich studiere Mathe (1. Semester) und scheitere bisher an
> einer Teilaufgabe des 2. Übungsblattes.
>
> Wir sollen folgendes zeigen:
>
> [mm]f(M_1\cap M_2)\subset f(M_1)\cap f(M_2)[/mm]
>
> Was ich nicht verstehe, ist, dass es sich nur um eine
> Teilmenge handelt. Es wird zwar durch ein entsprechendes
> Gegenbeispiel deutlich, aber dann müsste doch in meinem
> Beweis ein Fehler sein!? Den finde ich nicht..
>
Clemens hat dir ja schon deinen Denkfehler erklärt. Ich schreibe dir aber jetzt mal, wie der Beweis eigentlich auszusehen hätte:
$y [mm] \in [/mm] f [mm] \left( M_1 \cap M_2 \right)$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $\exists [/mm] x [mm] \in (M_1 \cap M_2)$ [/mm] mit $f(x)=y$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[m]x \in M_1 [/m] [mm] $\wedge$[/mm] [m]x \in M_2[/m]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[m]y \in f \left( M_1 \right)[/m] [mm] $\wedge$[/mm] [m]y \in f \left( M_2 \right)[/m]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[m]y \in f\left( M_1 \right) \cap f\left( M_2 \right)[/m]
Erkennst du, an welcher Stelle die Rückrichtung scheitern würde? (Du darfst hier nämlich nicht einfach alle [mm] $\Rightarrow$ [/mm] durch [mm] $\gdw$ [/mm] ersetzen. Clemens meinte eigentlich, dass du das machen dürftest, in dem Falle der Existenz der Umkehrfunktion, also unter der Voraussetzung der Bijektivität von $f$, die hier ja nicht gegeben ist!)
Liebe Grüße,
Marcel
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