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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Wichi20 |
| Aufgabe | Sei [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] eine Gerade im [mm] \IR^{2}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass diese Gerade ein Unterraum von [mm] \IR^{2} [/mm] ist.
b) Abbildung p projeziert jeden Vektor im [mm] \IR^{2} [/mm] auf diesen Unterraum. Geben Sie die Abbildungsmatrix in der natürlichen Basis an
c) Zeigen Sie , dass [mm] b1=(1,1)^{T} [/mm] , [mm] b2=(0,1)^{T} [/mm] eine Basis im [mm] \IR^{2} [/mm] ist. Berechnen Sie die Koordinaten von p(x) in dieser Basis. Geben Sie die Abbildungsmatrix von p in der Basis ( b1,b2)an. |
Also zu a) bin ich soweit , dass ich
[mm] \alpha [/mm] *u1 + [mm] \beta [/mm] *v1 und
[mm] \alpha [/mm] *u2 + [mm] \beta [/mm] *v2 habe,damit die Eigenschaften für den UR erfüllt sind. Aber = was setze ich diese Gleichungen denn ...
und zu b) Verstehe ich das Richtig , dass ich dann
[mm] p\vektor{x \\ y}=\vektor{x \\ x} [/mm] habe und dann einfach
[mm] p\vektor{1 \\ 0}=\vektor{1 \\ 1} [/mm] und
[mm] p\vektor{0 \\ 1}= \vektor{0 \\ 0} [/mm] und für die Matrix dann A= [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] bekomme?
und zu c) hab ich keine Ahnung wie ich auf die Koordinaten kommen soll...
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> Sei [mm]x_{1}[/mm] = [mm]x_{2}[/mm] eine Gerade im [mm]\IR^{2}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass diese Gerade ein Unterraum von [mm]\IR^{2}[/mm]
> ist.
> b) Abbildung p projeziert jeden Vektor im [mm]\IR^{2}[/mm] auf
> diesen Unterraum. Geben Sie die Abbildungsmatrix in der
> natürlichen Basis an
> c) Zeigen Sie , dass [mm]b1=(1,1)^{T}[/mm] , [mm]b2=(0,1)^{T}[/mm] eine Basis
> im [mm]\IR^{2}[/mm] ist. Berechnen Sie die Koordinaten von p(x) in
> dieser Basis. Geben Sie die Abbildungsmatrix von p in der
> Basis ( b1,b2)an.
> Also zu a) bin ich soweit , dass ich
>
> [mm]\alpha[/mm] *u1 + [mm]\beta[/mm] *v1 und
> [mm]\alpha[/mm] *u2 + [mm]\beta[/mm] *v2 habe,damit die Eigenschaften für
> den UR erfüllt sind. Aber = was setze ich diese Gleichungen
> denn ...
Hallo,
vielleicht sagst Du erstmal auf, wie die Unterraumkriterien bei Euch lauten.
Diese Gerade g kannst Du ja so schreiben [mm] g=\{\vektor{x\\x}| x\in \IR}.
[/mm]
Jetzt mußt Du zeigen, daß die Menge nichtleer ist, daß die Summe zweier vektoren aus g wieder in g ist und daß das salare Vielfache solch eines Vektors auch in g ist.
> [mm]p\vektor{x \\ y}=\vektor{x \\ x}[/mm] habe und dann einfach
Nein.
Vielleicht schaust Du erstmal in Deinen Unterlagen nach, was eine Projektion ist. Ich gehe bis auf weiteres davon aus, daß eine orthogonale Projektion jemeint ist.
Die natürliche Basis bestünde in diesem Fall aus einem Vektor in Richtung der geraden und aus einem, der senkrecht dazu ist.
Bestimme nun die Bilder der beiden Basisvektoren und schreibe sie in Koordinaten bzgl. dieser nat. Basis.
Daraus gewinnst Du die Abbildungsmatrix, die Bilder in Koordinaten bzgl. der nat. Basis kommen in ihre Spalten.
>
> [mm]p\vektor{1 \\ 0}=\vektor{1 \\ 1}[/mm] und
> [mm]p\vektor{0 \\ 1}= \vektor{0 \\ 0}[/mm] und für die Matrix dann
> A= [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm] bekomme?
>
> und zu c) hab ich keine Ahnung wie ich auf die Koordinaten
> kommen soll...
Das Stichwort wäre hier Basistransformation. Falls das noch nicht dran war, geht's auch mehr zu Fuß.
Es bespricht sich aber leichter, wenn der Rest erstmal steht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Wichi20 |
zu a) Die Unterraumkriterien lauten genauso , wie du es gesagt hast , das habe ich ja aber auch schon hingeschrieben mit den 2 Gleichungen , damit kann ich doch dann quasi "2 in 1 " erledigen ... Also die 2 Bedingungen mit der Addition und der skalaren Multiplikation , aber ich hab keine Ahnung was ich als nächsten Schritt machen muss. Also was muss hinterdem = stehen , damit ich gezeigt habe, dass es wieder im [mm] \IR^{2} [/mm] ist...
zu b) ja, orthogonale Projektion . Das bedeutet doch, dass diese Abbildung jeden Vektor auf die Gerade projeziert... Dann hab ich glaub ich ein Problem mit dem Verständnis was x1=x2 für eine Gerade beschreibt... Wenn ich ne Geradengleichung im Raum habe mit Richtungsvektor , dann habe ich doch
[mm] \vektor{u1 \\ u2} [/mm] + [mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{v1 \\ v2} [/mm] für x1=x2 bedeutet das doch dann , dass u1=u2 und v1=v2 :o
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Sa 09.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
angela hat dir doch gesagt, dass die Vektoren deines Raumes die Form
[mm] \vektor{u1 \\ u1} [/mm] oder [mm] \vektor{x \\ x} [/mm] oder [mm] \vektor{r \\ r} [/mm] haben. Du sollst zeigen, dass wenn du einen davon mit a mult. er wieder dazu gehoert (nicht, dass er im [mm] |IR^2 [/mm] liegt, sondern in dem Unterraum, und dass die Addition wieder einen aus dem UR gibt, und die t $ [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] muss auch enthalten sein.
dann zeichne dir mal die Gerade in ein Koordinatensystem.
faelle die Senkrechte von $ [mm] \vektor{1\\ 0} [/mm] $ auf die gerade, das ist die Projektion und damit das Bild von $ [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] $ dasselbe mit$ [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] $
die 2 Bilder sind die Spalten deiner Abbildungsmatrix.
du bist nicht auf den post wirklich eingegangen.
wenn du was nicht verstehst, zitier den post und frage nach.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 So 10.05.2009 | | Autor: | Wichi20 |
> Hallo
> angela hat dir doch gesagt, dass die Vektoren deines
> Raumes die Form
> [mm]\vektor{u1 \\ u1}[/mm] oder [mm]\vektor{x \\ x}[/mm] oder [mm]\vektor{r \\ r}[/mm]
> haben. Du sollst zeigen, dass wenn du einen davon mit a
> mult. er wieder dazu gehoert (nicht, dass er im [mm]|IR^2[/mm]
> liegt, sondern in dem Unterraum, und dass die Addition
> wieder einen aus dem UR gibt
d.h ich schreib [mm] \alpha*u1+\beta*v1 [/mm] = c
[mm] \alpha*u2+\beta*v2 [/mm] = c
und da ich u1=u2 und v1=v2 habe ergebit sich dann [mm] \alpha*u1 [/mm] + [mm] \beta [/mm] *v1 = alpha*u1+beta*v2 und fertig?
und ich weiß nicht, was es mir bringt, wenn ich mir das zeichne, ich kann mir das vorstellen , aber wie komme ich da rechnerisch drauf ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 So 10.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
rechtwinklige Dreiecke, die man sich vorstellen kann, kann man auch berechnen, wenn man eine Seite und die winkel kennt.
kennt.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 So 10.05.2009 | | Autor: | Wichi20 |
> Hallo
> rechtwinklige Dreiecke, die man sich vorstellen kann,
> kann man auch berechnen, wenn man eine Seite und die
> winkel kennt.
> kennt.
> gruss leduart
Was für eine Berechnung kenn ich denn , womit ich aus einer Seite und den Winkeln auf die beiden Abbildungsvektoren komme ???!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:19 Mo 11.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast ein geleichschenkliges rechtw. Dreieck mit der Basis 1 kannst du die Hoehe rauskriegen? das ist die y Koordinate der Fusspunkt die x koordinate des Punktes.
Gruss leduart
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> zu b) ja, orthogonale Projektion . Das bedeutet doch, dass
> diese Abbildung jeden Vektor auf die Gerade projeziert...
Hallo,
ja, und zwar senkrecht.
Den zu projezierenden Vektor mußt Du zerlegen in eine Komponente parallel zur geraden und eine, die senkrecht dazu ist.
Wenn Du das hast, überlege Dir, was das Bild dieses Vektors ist.
Hast Du die natürliche basis jetzt mal aufgeschrieben?
> Dann hab ich glaub ich ein Problem mit dem Verständnis was
> x1=x2 für eine Gerade beschreibt...
Ich hab' doch schon gesagt, welche Gerade das ist: die Gerade, auf der nur Punkte mit dem Ortsvektor [mm] \vektor{x\\x} [/mm] liegen, also die Gerade g: [mm] \vec{x}=\lambda\vektor{1\\1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 So 10.05.2009 | | Autor: | Wichi20 |
>
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> > zu b) ja, orthogonale Projektion . Das bedeutet doch, dass
> > diese Abbildung jeden Vektor auf die Gerade projeziert...
>
> Hallo,
>
> ja, und zwar senkrecht.
>
> Den zu projezierenden Vektor mußt Du zerlegen in eine
> Komponente parallel zur geraden und eine, die senkrecht
> dazu ist.
>
> Wenn Du das hast, überlege Dir, was das Bild dieses Vektors
> ist.
>
> Hast Du die natürliche basis jetzt mal aufgeschrieben?
>
Ich hab keine Ahnung -.-' Also aus der Zeichnung ergibt sich dann [mm] \vektor{-1/2 \\ 1/2} [/mm] und [mm] \vektor{1/2 \\ 1/2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 So 10.05.2009 | | Autor: | Wichi20 |
Also ich glaub ich weiß , wie ichden Rest der Aufgabe lösen kann , aber mir fehlt dafür diese Teilaufgabe -.-. Irgendwie denk ich zu quer oder was weiß ich jedenfalls kommt das alles nicht hin ... Ich würde mich über eine Lösung bezüglich dieser Sache mit den Komponenten freuen + einer Erklärung damit ich es für die Zukunft vielleicht verstehe, weil ich aus der Vorlesung auch nicht wirklich schlau werde diesbezüglich...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Mo 11.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du solltest vielleicht doch ne Zeichnung machen. Wenn du (1,0) auf die Winkelhalbierende projizierst, bekomsst du doch den Vektor (0.5,0.5) wie du auf den zweiten Vektor kommst mit -0,5 versteh ich nicht, der liegt doch gar nicht auf der Geraden?
also haben die 2 basisvektoren welche Bilder?
und diese Bilder sind die Spaltenvektoren der gesuchten Matrix. den ersten hast du schon richtig . den zweiten solltest du leicht finden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Wichi20 |
> Hallo
> Du solltest vielleicht doch ne Zeichnung machen. Wenn du
> (1,0) auf die Winkelhalbierende projizierst, bekomsst du
> doch den Vektor (0.5,0.5) wie du auf den zweiten Vektor
> kommst mit -0,5 versteh ich nicht, der liegt doch gar nicht
> auf der Geraden?
> also haben die 2 basisvektoren welche Bilder?
> und diese Bilder sind die Spaltenvektoren der gesuchten
> Matrix. den ersten hast du schon richtig . den zweiten
> solltest du leicht finden.
> Gruss leduart
Du hast doch gesagt (1,0) zerlegen in die beiden Komponenten und dann bekommst du einmal (0.5/0.5) und (-0.5 / 0.5) als senkrechte KOmponente?
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> Du hast doch gesagt (1,0) zerlegen in die beiden
> Komponenten und dann bekommst du einmal (0.5/0.5) und (-0.5
> / 0.5) als senkrechte KOmponente?
Hallo,
ich glaub', hier gibt's grad ein bißchen Durcheinander, weil Dir zwei verschiedene Leute antworten, leduart und ich.
Das ist eigentlich kein Problem - bloß sind hier unsere Vorstellungen, was die "natürliche Basis" ist, bzgl derer Du die Abbildungsmatrix angeben sollst, verschiedene...
A. leduart hilft Dir gerade, die Abbildungsmatrix bzgl der Standardbasis [mm] (e_1:=\vektor{1\\0}, e_2:=\vektor{0\\1}) [/mm] aufzustellen.
Hierfür mußt Du die Bilder von [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] berechnen und in die Spalte einer Matrix schreiben.
B. Ich meine, daß mit "natürlicher Basis" hier die der Abbildung angepaßte Basis [mm] C:=(c_1:=\vektor{1\\1} [/mm] , [mm] c_2:=(-1\\1)) [/mm] gemeint ist - alternativ kann man auch alles mit Halben in den Einträgen machen.
Um die Matrix bzgl. C herauszufinden, mußt Du die Bilder von [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] herausfinden und in Koordinaten bzgl C schreiben und erhältst so Deine Matrix.
Hier erübrigt sich jede weitere noch so einfache geometrische Überlegung, sofern man begriffen hat. was "Projektion" ist.
Vielleicht sagst Du vor dem Weiterwurschteln mal, mit welcher Basis gewurschtelt werden soll.
Beides kann man machen, aber wenn wir alle über dasselbe reden würden, ginge es bestimmt zügiger und verständlicher dem Ziel entgegen.
Gruß v. Angela
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