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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Sa 09.11.2013 | | Autor: | bettyr |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^4 [/mm] -> [mm] \IR^4 [/mm] die lineare Abbildung x->f(x)=Cx mit
C= [mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 & 8 \\
9 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 6 & 9
\end{pmatrix} [/mm] und sei bei eine Basis [mm] B=[v_1,v_2,v_3,v_4]
[/mm]
Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von f zur Basis B. |
Hallo,
habe eine kurze Frage dazu und zwar kommt mir mein Ansatz zu einfach vor, würde jetzt einfach folgendes rechnen:
[mm] C*v_1
[/mm]
[mm] C*v_2
[/mm]
[mm] C*v_3
[/mm]
[mm] C*v_4
[/mm]
Und diese ergebnisse in die Spalten einer Matrix schreiben, dies wäre dann meine Abbildungsmatrix zur Basis B. Kann ich das so machen?
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> Sei f: [mm]\IR^4[/mm] -> [mm]\IR^4[/mm] die lineare Abbildung x->f(x)=Cx mit
>
> C= [mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 & 8 \\
9 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 6 & 9
\end{pmatrix}[/mm]
> und sei bei eine Basis [mm]B=[v_1,v_2,v_3,v_4][/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Sei bei ? .....
Gemeint ist wohl, dass C die Abbildungsmatrix zur
Standardbasis mit den Basisvektoren [mm] e_1=(1,0,0,0)^T
[/mm]
etc. ist. Nun haben wir eine andere Basis, bestehend
aus den Basisvektoren [mm] v_i [/mm] . Gesucht ist die Abbildungs-
matrix von f zur Basis B, welche zwar dieselbe Abbildung
beschreiben soll, aber eben für Input sowohl als Output
in der neuen Basis ausgedrückt.
>
> Hallo,
>
> habe eine kurze Frage dazu und zwar kommt mir mein Ansatz
> zu einfach vor, würde jetzt einfach folgendes rechnen:
>
> [mm]C*v_1[/mm]
> [mm]C*v_2[/mm]
> [mm]C*v_3[/mm]
> [mm]C*v_4[/mm]
>
> Und diese ergebnisse in die Spalten einer Matrix schreiben,
> dies wäre dann meine Abbildungsmatrix zur Basis B. Kann
> ich das so machen?
Das ist tatsächlich etwas zu einfach ...
Man muss zwei Koordinatentransformationen vornehmen
(einmal hin, nachher zurück). Führen wir ein paar Bezeich-
nungen ein:
x sei ein Vektor, der in Standardbasis als Spaltenvektor [mm] x_S
[/mm]
und in der Basis B als Spaltenvektor [mm] x_B [/mm] erscheint. Bezeichnen
wir auch das Bild f(x)=y in der Standardbasis mit [mm] y_S [/mm] und in
der neuen Basis mit [mm] y_B [/mm] .
Die gegebene Abbildungsmatrix C beschreibt die Abbildung f
im Standardsystem, also
$\ [mm] y_S\ [/mm] =\ [mm] C*x_S$
[/mm]
Gesucht ist nun die Matrix M, welche dasselbe bezüglich der
neuen Basis schafft. Es soll also gelten:
$\ [mm] y_B\ [/mm] =\ [mm] M*x_B$
[/mm]
Die Frage ist, wie man nun die neue Matrix M aus der alten C
und der Basis B berechnen kann. Ich bezeichne jetzt auch
die Matrix, die aus der Zusammenfassung der 4 Basis-Spalten-
vektoren zu einer [mm] 4\times4 [/mm] - Tabelle entsteht, mit dem Symbol B .
Nun muss man sich noch klar machen, welche Abbildung
eigentlich durch diese Matrix B beschrieben wird.
Bekanntlich stehen in den Spalten einer Matrix genau die
Bilder der Grundvektoren der Standardbasis. Also ist
$\ [mm] B*e_i\ [/mm] =\ [mm] v_i$ [/mm] (i=1,2,3,4)
Man kann nun zeigen, dass man z.B. aus [mm] x_B [/mm] den Vektor [mm] x_S
[/mm]
durch Multiplikation (von links) mit der Basismatrix B erhält,
also:
$\ [mm] B*x_B\ [/mm] =\ [mm] x_S$
[/mm]
(Übungsaufgabe !)
Analog gilt dann auch $\ [mm] B*y_B\ [/mm] =\ [mm] y_S$
[/mm]
So, jetzt muss man eigentlich nur die vorliegenden
Bausteine richtig zusammenfügen, um zur Formel zu
kommen, welche die Matrix M durch die Matrizen C
und B darstellt.
LG , Al-Chw.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:54 Sa 09.11.2013 | | Autor: | bettyr |
Wie man eine Basiswechselmatrix aufstellt ist mir klar, nur wie bestimme ich die Basis von C? Nach deinen Aussagen wäre die Basis von C einfach C multipliziert mit den einzelnen [mm] e_i [/mm] also wären die Basisvektoren einfach die Spalten von C, habe ich das richtig verstanden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 11.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Sei f: [mm]\IR^4[/mm] -> [mm]\IR^4[/mm] die lineare Abbildung x->f(x)=Cx mit
>
> C= [mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 & 8 \\
9 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 6 & 9
\end{pmatrix}[/mm]
> und sei bei eine Basis [mm]B=[v_1,v_2,v_3,v_4][/mm]
>
> Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von f zur Basis B.
Hallo,
könnte es sein, daß die Vektoren [mm] v_i [/mm] irgendwo im Vorwort Deiner Aufgabe konkret angegeben sind?
LG Angela
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