Abbildungsmatrix bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] B_1 =\{(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)\} [/mm] die Standardbasis im [mm] \IR^3 [/mm] und sei [mm] B_2 [/mm] := [mm] \{ (1, 2, 0); (0, 1, 2); (2, 0,-7)\} [/mm] eine andere Basis vom [mm] \IR^3. [/mm]
Weiter sei [mm] f:\IR^3\rightarrow\IR^3, [/mm] (x; y; z) [mm] \mapsto [/mm] (-7x + 4y - 2z; y; 28x - 14y + 8z) eine lineare Abbildung.
Bestimmen Sie die Abbildungsmatrizen [mm] A_{B_1B_1} [/mm] , [mm] A_{B_2B_1} [/mm] , [mm] A_{B_1B_2} [/mm] und [mm] A_{B_2B_2} [/mm] von
f bezüglich dieser Basen. |
Hallo,
ich habe leider große Probleme mit diesen Abbildungsmatrizen. Es geht ja irgendwie darum, dass wir die lineare Abbildung durch eine Matrix beschreiben wollen. Aber was genau ist [mm] A_{B_1B_1} [/mm] , [mm] A_{B_2B_1} [/mm] usw. Was genau machen die?
Und wie bestimme ich die?
Vielen Dank schonmal 
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Hallo Balendilin,
> Sei [mm]B_1 =\{(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)\}[/mm] die Standardbasis im
> [mm]\IR^3[/mm] und sei [mm]B_2[/mm] := [mm]\{ (1, 2, 0); (0, 1, 2); (2, 0,-7)\}[/mm]
> eine andere Basis vom [mm]\IR^3.[/mm]
> Weiter sei [mm]f:\IR^3\rightarrow\IR^3,[/mm] (x; y; z) [mm]\mapsto[/mm] (-7x
> + 4y - 2z; y; 28x - 14y + 8z) eine lineare Abbildung.
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> Bestimmen Sie die Abbildungsmatrizen [mm]A_{B_1B_1}[/mm] ,
> [mm]A_{B_2B_1}[/mm] , [mm]A_{B_1B_2}[/mm] und [mm]A_{B_2B_2}[/mm] von
> f bezüglich dieser Basen.
> Hallo,
>
> ich habe leider große Probleme mit diesen
> Abbildungsmatrizen. Es geht ja irgendwie darum, dass wir
> die lineare Abbildung durch eine Matrix beschreiben wollen.
> Aber was genau ist [mm]A_{B_1B_1}[/mm] , [mm]A_{B_2B_1}[/mm] usw. Was genau
> machen die?
> Und wie bestimme ich die?
>
Die Abbildungsmatrizen bilden die Basislemente der Basis [mm]B_{i}[/mm] ab
und stellen sie als Linearkombination der Vektoren aus der Basis [mm]B_{j}[/mm] dar.
> Vielen Dank schonmal
Gruss
MathePower
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> Hallo Balendilin,
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> > Sei [mm]B_1 =\{(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)\}[/mm] die Standardbasis im
> > [mm]\IR^3[/mm] und sei [mm]B_2[/mm] := [mm]\{ (1, 2, 0); (0, 1, 2); (2, 0,-7)\}[/mm]
> > eine andere Basis vom [mm]\IR^3.[/mm]
> > Weiter sei [mm]f:\IR^3\rightarrow\IR^3,[/mm] (x; y; z) [mm]\mapsto[/mm] (-7x
> > + 4y - 2z; y; 28x - 14y + 8z) eine lineare Abbildung.
> >
> > Bestimmen Sie die Abbildungsmatrizen [mm]A_{B_1B_1}[/mm] ,
> > [mm]A_{B_2B_1}[/mm] , [mm]A_{B_1B_2}[/mm] und [mm]A_{B_2B_2}[/mm] von
> > f bezüglich dieser Basen.
> > Hallo,
> >
> > ich habe leider große Probleme mit diesen
> > Abbildungsmatrizen. Es geht ja irgendwie darum, dass wir
> > die lineare Abbildung durch eine Matrix beschreiben wollen.
> > Aber was genau ist [mm]A_{B_1B_1}[/mm] , [mm]A_{B_2B_1}[/mm] usw. Was genau
> > machen die?
> > Und wie bestimme ich die?
> >
>
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> Die Abbildungsmatrizen bilden die Basislemente der Basis
> [mm]B_{i}[/mm] ab
> und stellen sie als Linearkombination der Vektoren aus der
> Basis [mm]B_{j}[/mm] dar.
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Aha. Und wie berechne ich mit diesem Wissen die Abbildungsmatrix?
>
> > Vielen Dank schonmal
>
>
> Gruss
> MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Mo 12.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die spalten der abbildungsmatrix sind die bilder der Basisvektoren! und die bilder wirst du doch wohl finden!
Gruss leduart
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> Hallo
> die spalten der abbildungsmatrix sind die bilder der
> Basisvektoren! und die bilder wirst du doch wohl finden!
> Gruss leduart
Das habe ich versucht und ich bekomme, wenn ich die Basisvektoren aus [mm] B_2 [/mm] einsetze:
[mm] (1;2;0)\mapsto [/mm] (1;2;0)
[mm] (0;1;2)\mapsto(0;1;2)
[/mm]
[mm] (2;0;-7)\mapsto(0;0;0)
[/mm]
Wenn ich diese Bilder als Spalten in die Matrix schreibe bekomme ich:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 }
[/mm]
Wenn ich das nun aber ausprobiere und (1;2;0) von rechts an die Matrix multipliziere kommt raus: (1;4;4). Und jetzt? Das ist ja irgendwie nicht die Linearkombination der [mm] B_1-Basisvektoren, [/mm] die (1;2;0) darstellen soll (das wäre ja [mm] 1\cdot(1;0;0)+2\cdot(0;1;0)+0\cdot(0;0;1) [/mm] ).
Hab ich irgendwas falsch gemacht?
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> Das habe ich versucht und ich bekomme, wenn ich die
> Basisvektoren aus [mm]B_2[/mm] einsetze:
>
> [mm](1;2;0)\mapsto[/mm] (1;2;0)
> [mm](0;1;2)\mapsto(0;1;2)[/mm]
> [mm](2;0;-7)\mapsto(0;0;0)[/mm]
>
> Wenn ich diese Bilder als Spalten in die Matrix schreibe
> bekomme ich:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0\\
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 0 }[/mm]
Hallo,
die Matrix, die Du aufgestellt hast, ist die Matrix, die die Abbildung f bzgl. der Basis [mm] B_2 [/mm] im Urbildraum und der Standardbasis [mm] B_1 [/mm] im Bildraum darstellt.
Ich weiß nicht genau, ob das in Eurer Notation [mm] A_{B_1B_2} [/mm] oder [mm] A_{B_2B_1} [/mm] ist. Das findest Du aber durch einen Blick in Euer Skript heraus. - und Du solltest es unbedingt herausfinden.
Was tut diese Matrix?
Wenn man sie mit Vektoren, die in Koordinaten bzgl. [mm] B_2 [/mm] gegeben sind, füttert, liefert sie das Bild dieser Vektoren in Standardkoordinaten.
> Wenn ich das nun aber ausprobiere und (1;2;0) von rechts an
> die Matrix multipliziere kommt raus: (1;4;4). Und jetzt?
Jetzt weißt Du, daß f(1*(1, 2, 0)+2*(0, 1, 2)+0*(2, 0,-7))=(1,4,4).
Wenn Du das Bild von [mm] \vektor{1\\2\\0} [/mm] mithilfe Deiner Matrix ausrechnen willst, mußt Du [mm] \vektor{1\\2\\0} [/mm] erst in Koordinaten bzgl [mm] B_2 [/mm] schreiben.
Es ist [mm] \vektor{1\\2\\0}=\vektor{1\\0\\0}_{B_2},
[/mm]
und [mm] $\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 }$*\vektor{1\\0\\0}=\vektor{1\\2\\0}.
[/mm]
Alles in Butter also!
Gruß v. Angela
> Das ist ja irgendwie nicht die Linearkombination der
> [mm]B_1-Basisvektoren,[/mm] die (1;2;0) darstellen soll (das wäre
> ja [mm]1\cdot(1;0;0)+2\cdot(0;1;0)+0\cdot(0;0;1)[/mm] ).
>
> Hab ich irgendwas falsch gemacht?
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