Abbildungsmatrix bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Duckx |
| Aufgabe | $f: [mm] K^3 \rightarrow K^4$ [/mm] sei eine lineare Abbildung von Vektorräumen und [mm] $K^3=$, $K^4=, f(e_1)=e'_1-e'_2+e'_3-e'_4, f(e_2)=e'_1-2e'_3, f(e_3)=e'_2-3e'_3+e'_4$
[/mm]
Bestimmen Sie eine Matrix A, sodass für alle $x [mm] \in K^3$ [/mm] gilt: $f(x)=A*x$
Bestimmen Sie außerdem Kern und Bild von f. |
Ich bin mir nicht sicher, wie ich die Matrix darstellen soll.
[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & -3 \\ -1 & 0 & 1 }
[/mm]
Ist das so korrekt?
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Hallo,
> [mm]f: K^3 \rightarrow K^4[/mm] sei eine lineare Abbildung von
> Vektorräumen und [mm]K^3=[/mm],
> [mm]K^4=, f(e_1)=e'_1-e'_2+e'_3-e'_4, f(e_2)=e'_1-2e'_3, f(e_3)=e'_2-3e'_3+e'_4[/mm]
>
> Bestimmen Sie eine Matrix A, sodass für alle [mm]x \in K^3[/mm]
> gilt: [mm]f(x)=A*x[/mm]
> Bestimmen Sie außerdem Kern und Bild von f.
> Ich bin mir nicht sicher, wie ich die Matrix darstellen
> soll.
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 1 \\
1 & -2 & -3 \\
-1 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
ja, ist korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Duckx |
nun zum kern von f
[mm] $\vmat{ 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 1 & 0 }$
[/mm]
$ [mm] \rightarrow \vmat{ 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & 0 & 0 }$
[/mm]
[mm] $\rightarrow \vmat{ 1 & -1 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
$0=e'_1-e'_2+e'_3-e'_4$
$0=e'_1-2e'_3$
$e'_1=t [mm] \rightarrow [/mm] e'_3=t/2$
[mm] $\frac{3}{2}t= [/mm] e'_2+e'_4$
$e'_2=c [mm] \rightarrow \frac{3}{2}t-c=e'_4$
[/mm]
ich weiß nicht ob man das so allgemein schreiben kann.
$Ker(f)=y* [mm] \vektor{t \\ c \\ t/2 \\ (3t/2)-c}$
[/mm]
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Hallo,
ich hoffe, es reicht dir aus, wenn ich dir die Richtigkeit deines Ansatzes bestätige (bedeutet: ich habe es nicht durchgerechnet). Die Nullzeile nach Addition der Zeilen I u. II ist klar, also muss die Lösungsmenge von zwei Parametern abhängen. Das einzige, was man also bemängeln könnte, wäre deine originelle Parameterwahl, für gewöhnlich nimmt man aufeinanderfolgende Buchstaben. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Duckx |
und ist dann : [mm] $Im(f)=\IK \vektor{1\\ -1\\1\\-1}+ \IK \vektor{1\\0\\-2\\0}$?
[/mm]
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Hallo,
> und ist dann : [mm]Im(f)=\IK \vektor{1\\
-1\\
1\\
-1}+ \IK \vektor{1\\
0\\
-2\\
0}[/mm]?
ja, das stimmt auch.
Gruß, Diophant
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