Abbildungsmatrix und Basen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Fr 09.09.2005 | | Autor: | Anja1983 |
Hallöchen allerseits,
bin hier noch recht neu und würde mich gerne in eure Gemeinschaft hier eingliedern.
Doch nun zu meiner Frage:
B={ [mm] \vec{b_1},\vec{b_2},\vec{b_3},\vec{b_4} [/mm] } und C = { [mm] \vec{c_1},\vec{c_2},\vec{c_3} [/mm] } seien Basen des [mm] \IR^{4} [/mm] bzw. des [mm] \IR^{3}. [/mm] Es sei A = [mm] \pmat{ 2 & 3 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 0 & -2 } [/mm] die Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung [mm] \vec{f} [/mm] : [mm] \IR^{4} \to \IR^{3} [/mm] bezüglich dieser Basen.
Bestimmen Sie Basen M des [mm] \IR^{4} [/mm] und N des [mm] \IR^{3} [/mm] so, dass [mm] \vec{f} [/mm] bezogen auf diese Basen die Abbildungsmatrix [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] besitzt.
Was mir fehlt ist so die Verbindung zwischen den beiden Matrizen, damit ich mir überhaupt mal überlegen kann wie es funktionieren könnte. Also sozusagen der Startimpuls.
Viele Grüße aus Karlsruhe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Fr 09.09.2005 | | Autor: | Julius |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Anja!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> bin hier noch recht neu und würde mich gerne in eure
> Gemeinschaft hier eingliedern.
Das finde ich super! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
> Doch nun zu meiner Frage:
>
> B={ [mm]\vec{b_1},\vec{b_2},\vec{b_3},\vec{b_4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} und C = {
> [mm]\vec{c_1},\vec{c_2},\vec{c_3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} seien Basen des [mm]\IR^{4}[/mm]
> bzw. des [mm]\IR^{3}.[/mm] Es sei A = [mm]\pmat{ 2 & 3 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 0 & -2 }[/mm]
> die Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung [mm]\vec{f}[/mm] :
> [mm]\IR^{4} \to \IR^{3}[/mm] bezüglich dieser Basen.
>
> Bestimmen Sie Basen M des [mm]\IR^{4}[/mm] und N des [mm]\IR^{3}[/mm] so,
> dass [mm]\vec{f}[/mm] bezogen auf diese Basen die Abbildungsmatrix
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
> besitzt.
>
> Was mir fehlt ist so die Verbindung zwischen den beiden
> Matrizen, damit ich mir überhaupt mal überlegen kann wie es
> funktionieren könnte. Also sozusagen der Startimpuls.
Den kann ich dir geben. 
Zunächst einmal stellt man fest, dass die Matrix $A$ den Rang $2$ hat, denn die erste Zeile addiert zum $(-2)$-Fachen der zweiten Zeile ergibt die dritte Zeile.
Da $f$ im [mm] $\IR^4$ [/mm] startet, muss die Dimension des Kerns von $f$ gleich $2$ sein, denn es gilt allgemein die folgende Dimensionsformel für eine lineare Abbildung [mm] $f:\IR^n \to \IR^m$:
[/mm]
$n = [mm] \dim(Bild(f)) [/mm] + [mm] \dim(Kern(f))$,
[/mm]
und [mm] $\dim(Bild(f))$ [/mm] entspricht genau dem Rang der Abbildungsmatrix.
Finde also zwei linear unabhängige Vektoren [mm] $\hat{b_3}$ [/mm] und [mm] $\hat{b_4}$ [/mm] (in Form von Linearkombinationen aus Elementen der Menge [mm] $(b_1,b_2,b_3,b_4))$, [/mm] die in $Kern(f)$ liegen.
Diese ergänzt du mit geeigneten davon linear unabhängigen Vektoren [mm] $\hat{b_1}$ [/mm] und [mm] $\hat{b_2}$ [/mm] zu einer Basis [mm] $(\hat{b_1},\ldots,\hat{b_4})$ [/mm] des [mm] $\IR^4$.
[/mm]
Nun definierst du
[mm] $\hat{c_1}:=f(\hat{b_1})$
[/mm]
und
[mm] $\hat{c_2}:=f(\hat{b_2})$.
[/mm]
Ergänze nun [mm] $\hat{c_1}$ [/mm] und [mm] $\hat{c_2}$ [/mm] mit einem davon linear unabhängigen Vektor [mm] $\hat{c_3}$ [/mm] zu einer Basis [mm] $(\hat{c_1},\hat{c_2},\hat{c_3})$ [/mm] des [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Dann hast du deine Basen gefunden, denn jetzt gilt:
[mm] $f(\hat{b_1}) [/mm] = [mm] \hat{c_1} [/mm] = 1 [mm] \cdot \hat{c_1} [/mm] + 0 [mm] \cdot \hat{c_2} [/mm] + 0 [mm] \cdot \hat{c_3}$,
[/mm]
[mm] $f(\hat{b_2}) [/mm] = [mm] \hat{c_2}= [/mm] 0 [mm] \cdot \hat{c_1} [/mm] + 1 [mm] \cdot \hat{c_2} [/mm] + 0 [mm] \cdot \hat{c_3}$,
[/mm]
[mm] $f(\hat{b_3}) [/mm] = 0 = 0 [mm] \cdot \hat{c_1} [/mm] + 0 [mm] \cdot \hat{c_2} [/mm] + 0 [mm] \cdot \hat{c_3}$,
[/mm]
[mm] $f(\hat{b_4}) [/mm] = 0 = 0 [mm] \cdot \hat{c_1} [/mm] + 0 [mm] \cdot \hat{c_2} [/mm] + 0 [mm] \cdot \hat{c_3}$.
[/mm]
Wie du siehst, hat also die Abbildungsmatrix von $f$ bezüglich der Basen [mm] $(\hat{b_1},\hat{b_2},\hat{b_3},\hat{b_4})$ [/mm] und [mm] $(\hat{c_1},\hat{c_2},\hat{c_3})$ [/mm] die gewünschte Gestalt.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Fr 09.09.2005 | | Autor: | statler |
Hallo Anja, hallo Julius,
das ist natürlich alles schön und richtig, aber ich vermute, daß man sich die gesuchten (neuen) Basen als Linearkombinationen aus den gegebenen alten Basen zusammenbauen soll, oder? Man soll dann eben doch eine "konkrete" Lösung finden.
Correct me if I'm wrong
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Fr 09.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Dieter!
Das ginge auch, wäre aber sehr umständlich.
Ach so, ich weiß jetzt, was du meinst. Klar, das meinte ich ja: Man muss sich die Elemente des Kerns ja gerade aus solchen Linearkombinationen zusammenstellen! Dann erhält man doch genau das, was ich meinte.
Viele Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Fr 09.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Damit es nicht so abtrakt bleibt:
Offenbar gilt:
1.Spalte - 3. Spalte + 2mal 4.Spalte =0.
Daher liegt:
[mm] $b_1-b_3+2b_4$
[/mm]
in $Kern (f)$.
Findest du so einen zweiten Vektor aus dem Kern?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Fr 09.09.2005 | | Autor: | Anja1983 |
Vielen Dank erstmal für die sehr schnellen antworten, hat mich sehr überrascht.
mein vorgehen war jetzt:
1. Kern ermitteln aus erster Matrix
2. Mithilfe des Kerns der ersten Matrix eine neue Basis M des [mm] \IR^{4} [/mm] zu formen ( [mm] b_1, b_2, b_1-b_3+2b_4, 2b_2-3 b_3+b_4 [/mm] )
-hier meine erste Verständnisfrage, laut Aufgabenstellung soll ich ja ne neue Basis konstruieren wieso hängt die nicht vom Kern der neuen Abbildungsmatrix ab ?
3. Definition [mm] c_1 [/mm] = [mm] f(b_1), c_2 [/mm] = [mm] f(c_2) [/mm] ergänzt mit einem l. u. vektor [mm] c_3
[/mm]
- Damit definiere ich doch, dass [mm] f(b_1) [/mm] auf den vektor [mm] c_1 [/mm] abgebildet werden soll ? Dieser Punkt ist mir auf jeden Fall in der Vorstellung recht unklar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Fr 09.09.2005 | | Autor: | Anja1983 |
Den kompletten Durchblick hab ich noch nicht, denke dazu werde ich noch einige Aufgaben rechnen müssen aber mal vielen dank für die Mühe, ich bin jetzt auf jeden fall nen Schritt weiter.
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
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![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
