Abelsche Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Di 23.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | Wir betrachten die Menge M = {0,1,2} und definieren in ihr
eine Addition [mm] \oplus [/mm] durch folgende Tabelle:
[mm] \oplus [/mm] 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
a) Zeigen Sie, dass [mm] (M,\oplus) [/mm] eine Abelsche Gruppe ist.
b) Überlegen Sie sich, dass sich die definierte Addition ergibt, wenn man in M wie üblich addiert und danach den Rest bei Division durch 3 als Ergebnis aufschreibt. Finden Sie mit Hilfe dieser Überlegungen eine Abelsche Gruppe mit genau 5 Elementen, geben Sie eine Gruppentabelle an! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Erste Aufgabe a)habe ich schon gelöst! Ich bin mir aber nicht ob ich diese richtig gemacht habe, deshalb wäre es schön wenn mal jemand drüber schauen könnte!
Die zweite Aufgabe b)fällt mir jedoch schwer! Erstens weis ich nicht was mit "den Rest" gemeint ist. Meine erste Überlegung ist, dass die ersten drei Elemente ja aus der Gruppe [mm] (M,\oplus) [/mm] stammen müssten, also 0,1,2!
Hier erstmal meine Lösungsansätze zu a):
Ich hab das anhand der Additionsaxiome bewiesen!
A1: zu beliebigem Element a,b [mm] \in \IR [/mm] existiert eindeutig ein Element a+b [mm] \in \IR [/mm]
Das heist für M 0,2 [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] 0+2=2 [mm] \in [/mm] M
frage noch hierzu: wenn ich [mm] 1,2\in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] 1+2=3 [mm] \not\in [/mm] M 3 ist doch nicht in M wie kann es dann eine Abelsche gruppe sein?
A2: Kommutativgesetz
a+b =b+a
für M: 1+2=2+1
A3: Assoziativgesetz
a+(b+c)=(a+b)+c
für M:0+(1+2)=(0+1)+2
3=3
A4: neutrales Element
ist in diesem Fall 0
A5:Es gibt zu jedem Element ein Entgegengesetztes Element
a x 1/a = 1/a x a
1 x 1/1=1/1 x 1 = 1
2 x 1/2=1/2 x 2 = 1
ist das als Beweis ausreichend?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Mi 24.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Toni,
> Wir betrachten die Menge M = {0,1,2} und definieren in ihr
> eine Addition [mm]\oplus[/mm] durch folgende Tabelle:
>
> [mm]\oplus[/mm] 0 1 2
> 0 0 1 2
> 1 1 2 0
> 2 2 0 1
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm](M,\oplus)[/mm] eine Abelsche Gruppe ist.
> b) Überlegen Sie sich, dass sich die definierte Addition
> ergibt, wenn man in M wie üblich addiert und danach den
> Rest bei Division durch 3 als Ergebnis aufschreibt. Finden
> Sie mit Hilfe dieser Überlegungen eine Abelsche Gruppe mit
> genau 5 Elementen, geben Sie eine Gruppentabelle an!
> Die zweite Aufgabe b)fällt mir jedoch schwer! Erstens weis
> ich nicht was mit "den Rest" gemeint ist.
Wir dividieren mal spaßeshalber 12 : 7.
Die 7 paßt einmal in die 12, übrig bleiben 5. Das ist der "Rest" der ganzzahligen Division.
> Meine erste
> Überlegung ist, dass die ersten drei Elemente ja aus der
> Gruppe [mm](M,\oplus)[/mm] stammen müssten, also 0,1,2!
>
> Hier erstmal meine Lösungsansätze zu a):
>
> Ich hab das anhand der Additionsaxiome bewiesen!
>
> A1: zu beliebigem Element a,b [mm]\in \IR[/mm] existiert eindeutig
> ein Element a+b [mm]\in \IR[/mm]
>
> Das heist für M 0,2 [mm]\in[/mm] M [mm]\Rightarrow[/mm] 0+2=2 [mm]\in[/mm] M
>
> frage noch hierzu: wenn ich [mm]1,2\in[/mm] M [mm]\Rightarrow[/mm] 1+2=3
> [mm]\not\in[/mm] M
1 + 2 = 0 in der Gruppe oben und 2 + 1 = 0 ebenfalls.
Überprüfe, daß a+b=b+a in der Gruppe gilt und bedenke: Das "+" bedeutet nicht die gewöhnliche Addition reeller Zahlen sondern ist die Gruppenoperation wie oben in der Tafel definiert.
> A2: Kommutativgesetz
> a+b =b+a
> für M: 1+2=2+1
Das mußt du natürlich für ALLE möglichen Additionen prüfen.
Ich würde einfach darauf hinweisen, daß die Tabelle offenbar symmetrisch zur Hauptdiagonalen ist. Das sollte reichen.
> A3: Assoziativgesetz
> a+(b+c)=(a+b)+c
> für M:0+(1+2)=(0+1)+2
> 3=3
Das mußt du natürlich wieder für ALLE Möglichkeiten prüfen.
Das ist zugegebenermaßen äußerst mühsam.
> A4: neutrales Element
> ist in diesem Fall 0
Behaupten reicht nicht. Zeig es!
> A5:Es gibt zu jedem Element ein Entgegengesetztes Element
> a x 1/a = 1/a x a
>
> 1 x 1/1=1/1 x 1 = 1
> 2 x 1/2=1/2 x 2 = 1
ne, leider nicht!
Das "inverse Element" ist ein Element, daß verknüpft mit dem ursprünglichen Element die Null ergibt, und zwar in der Gruppe.
Beispiel: Invers zu 2 ist 1, denn 2 + 1 = 0.
Du mußt für diese Aufgabe unbedingt alles vergessen, was du über "rechnen" gelernt hat.
Es existiert nur eine einzige Rechenoperation: Das "+", und das wird berechnet, wie in der Gruppentafel angegeben und nicht, wie du es gewohnt bist.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mi 24.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
Ach so ist das! Also gibt die Gruppe quasi das Ergebnis schon vor?
Ok dann werde ich das noch für jedes Element machen, das hab ich mir schon fast gedacht!
Also das inverse Element von 2 ist 1 da 2+1=0 und das Inverse Element von 1 ist 2 da 1+2=0
Muss ich dann noch das inverse Element von 0 bestimmen? Das ist ja das neutrale Element.
Und wenn in einer anderen Gruppe das neutrale Element 1 ist, muss ich dann schauen welches Element mit welchem 1 ergibt? Oder nehme ich für die Bestimmung des inversen Elements immer die 0?
Zur Aufgabe b)
Was ein Rest ist, das ist mir schon klar!
Nur weis ich nicht wie ich an die Aufgabe ran gehen soll.
Ich habe also die Menge von M={0,1,2}! Die definierte Addition ist das jetzt die Addition aus der Gruppe, oder ist das die "richige" Addition 1+2=3? Da steht ja wenn man in M wie üblich addiert, dann gehe ich davon aus, das die Addition 1+2=0 gemeint ist.
Jetzt meine Frage wo ergibt sich denn da ein Rest, den ich dann durch 3 dividieren soll?
das thema ist für mich ziemlich neu!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Mi 24.10.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Abend,
> Also das inverse Element von 2 ist 1 da 2+1=0 und das
> Inverse Element von 1 ist 2 da 1+2=0
>
> Muss ich dann noch das inverse Element von 0 bestimmen? Das
> ist ja das neutrale Element.
Wenn du gezeigt hast, daß 0 das neutrale Element ist, dann reicht das eigentlich,
denn das neutrale ist immer zu sich selbst invers. Völlig trivial, aber du kannst es ja erwähnen. Schaden kann es nicht.
> Und wenn in einer anderen Gruppe das neutrale Element 1
> ist, muss ich dann schauen welches Element mit welchem 1
> ergibt? Oder nehme ich für die Bestimmung des inversen
> Elements immer die 0?
Nein, dann nimmst du die 1.
> Zur Aufgabe b)
>
> Was ein Rest ist, das ist mir schon klar!
>
> Nur weis ich nicht wie ich an die Aufgabe ran gehen soll.
>
> Ich habe also die Menge von M={0,1,2}! Die definierte
> Addition ist das jetzt die Addition aus der Gruppe, oder
> ist das die "richige" Addition 1+2=3? Da steht ja wenn man
> in M wie üblich addiert, dann gehe ich davon aus, das die
> Addition 1+2=0 gemeint ist.
> Jetzt meine Frage wo ergibt sich denn da ein Rest, den ich
> dann durch 3 dividieren soll?
Nehmen wir die Addition 2 + 2:
In der Gruppe gilt 2 + 2 = 1
In der "gewöhnlichen" Addition ganzer Zahlen gilt 2 + 2 = 4
Nun dividiere 4 durch 3 mit Rest. Ergebnis: 1, das Ergebnis aus der Addition in der Gruppe.
Probiere das auch ruhig mal weiter aus.
Wenn du Elemente aus der Gruppe "gewöhnlich" addierst und dann den Rest bei Division durch 3 bildest, dann erhältst du das Ergebnis aus der entsprechenden Gruppenoperation.
LG
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
aha ok
is das dann eine richtige abelsche Gruppe für diese Aufgabe?
(+) 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 1 2
2 0 0 1 2 0
3 0 1 2 0 1
4 1 2 0 1 2
Gruß, Toni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Sa 27.10.2007 | | Autor: | koepper |
> aha ok
>
> is das dann eine richtige abelsche Gruppe für diese
> Aufgabe?
>
> (+) 0 1 2 3 4
> 0 0 0 0 0 1
> 1 0 0 0 1 2
> 2 0 0 1 2 0
> 3 0 1 2 0 1
> 4 1 2 0 1 2
>
> Gruß, Toni
Hallo Toni,
ich befürchte, das ist nicht einmal eine Gruppe. Warum nicht?
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
weil die axiome nicht erfüllt sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Sa 27.10.2007 | | Autor: | koepper |
welches genau ist nicht erfüllt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
zu jedem Element gibt es ein Inverses Element!
Ist die Tabelle komplett falsch? ich weis aber auch nicht wie ich sie umändern kann, damit es korrekt wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
kannst du mir mal ein paar beispiel gruppen aufzählen, mit unterschiedlich vielen Elementen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Sa 27.10.2007 | | Autor: | koepper |
> zu jedem Element gibt es ein Inverses Element!
Hi Toni,
ich sehe nicht einmal ein neutrales Element. Da können wir über inverse noch gar nicht reden.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 So 28.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
mhh dann ist die tabelle komplett falsch!
verstehe ich das richtig, dass ich laut der aufgabenstellung die Elemente aus M mit in meiner neuen Gruppe einbeziehen muss?
Gruß, Toni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 So 28.10.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Abend Toni,
ich sehe nicht, welche "neue Gruppe" du überhaupt meinst. Lt. Aufgabe ist die Grupe gegeben.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
na ich soll doch in b) eine Gruppentabelle mit genau Elementen erstellen.
Vielleicht verstehe ich das auch falsch. und komme deshalb überhaupt nicht aufs Ergebnis.
Meiner Meinung nach muss ich mit der gegebenen Gruppe eine neue Gruppe erstellen die statt 3 Elementen,wie in M, 5 Elemente hat, also müssen doch noch 2 Elemente dazu kommen.
ich muss das morgen abgeben hab nun schon alle Aufgaben gelöst, mir fehlt nur noch die tabelle die ich angeben soll.
ich hoffe du kannst mir da nochmal helfen, ich werde morgen nochmal reinschauen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Mo 29.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Toni,
betrachte doch einfach mal eine entsprechende Gruppe wie gegeben, nur eben mit der Addition modulo 5.
Bsp.: 2 + 3 = 0, 3 + 3 = 1, 3 + 4 = 2 ... usw.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Di 30.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
ich hab jetzt mal diese Tabelle erstellt:
[mm] \oplus [/mm] 1 2 3 4 5
1 0 0 1 2 0
2 0 1 2 0 1
3 1 2 0 1 2
4 2 0 1 2 0
5 0 1 2 0 1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Di 30.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
[mm] \oplus [/mm] 1 2 3 4 5
1 2 0 1 2 0
2 0 1 2 0 1
3 1 2 0 1 2
4 2 0 1 2 0
5 0 1 2 0 1
hab oben links in der ecke noch was berichtigt!
müsste dann doch jetzt die fertige gruppentabelle sein oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Di 30.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Toni,
welches Element ist das neutrale?
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Di 30.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
gibts keins!
[mm] \oplus [/mm] 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 0 1 2
2 2 0 1 2 0
3 3 1 2 0 1
4 4 2 0 1 2
neutrales Element ist 0
Kommutativgesetzt stimmt auch
inverse Elemente
0 selbst invers
1 + 2 = 0
2 + 1 = 0
2 + 4 = 0
4 + 2 = 0
3 + 3 = 0
aber mit drei geht doch nich kann doch nicht zu sich selbst invers sein.
und dann kann doch auch nicht die 2 inverses Element von 1 und 4 sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Di 30.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Toni,
> [mm]\oplus[/mm] 0 1 2 3 4
> 0 0 1 2 3 4
> 1 1 2 0 1 2
> 2 2 0 1 2 0
> 3 3 1 2 0 1
> 4 4 2 0 1 2
die erste Zeile und die erste Spalte gefallen mir schon richtig gut, der Rest nicht so.
Denk doch mal an die Addition modulo 5. Dann ist es auch nicht so aufwändig, alle Axiome zu kontrollieren.
>
> neutrales Element ist 0
> Kommutativgesetzt stimmt auch
> inverse Elemente
> 0 selbst invers
> 1 + 2 = 0
> 2 + 1 = 0
> 2 + 4 = 0
> 4 + 2 = 0
> 3 + 3 = 0
>
> aber mit drei geht doch nich kann doch nicht zu sich selbst
> invers sein.
> und dann kann doch auch nicht die 2 inverses Element von 1
> und 4 sein.
Tja, so ist das. Und vergiß nicht das Assoziativgesetz. Das will auch erfüllt sein.
Und das an so einer selbstgebastelten Tafel zu kontrollieren ist ziemlich mühsam.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Di 30.10.2007 | | Autor: | Toni908 |
mhhh
ich hab den rest der dir nicht so gefällt mit mod 3 gemacht
das ist doch das gleiche wie du in modulo 5 machst oder nicht? nur mit 3 eben und nicht mit 5.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Di 30.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hi Toni,
> mhhh
>
> ich hab den rest der dir nicht so gefällt mit mod 3
> gemacht
>
> das ist doch das gleiche wie du in modulo 5 machst oder
> nicht? nur mit 3 eben und nicht mit 5.
ja, schon. Aber es wäre sinnvoller du würdest alle Operationen modulo 5 machen.
Sonst bekommen wir garantiert nicht alle Axiome hin.
Gruß
Will
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Do 01.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
laut aufgabe muss ich doch aber durch 3 teilen und dann den rest angeben.
dann müssen wir andere Elemente nehmen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Do 01.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein laut Aufgabe sollst du das mit den 3er Resten als Idee nehmen, und dann ne andere Gruppe "erfinden"
Die Idee ist das mit den Resten, die dürfen dann auch die ner anderen Zahl, also z.Bsp 5 sein.
Lies die Aufgabe nochmal ganz genau!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Do 01.11.2007 | | Autor: | Toni908 |
also da steht doch eindeutig bei division durch 3 und nirgendwo steht ein beispielsweise bei division durch 3
aber ich habs mal mit mod 5 gemacht
[mm] \oplus [/mm] 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
neutrales Element ist 0
0+1=1
0+2=2
etc.
Kommutativgesetzt stimmt auch
2+3=3+2 (ich spare mir jetzt mal die schreibarbeit)
inverse Elemente
0 selbst invers
1 + 4 = 0
2 + 3 = 0
2 + 4 = 0
4 + 1 = 0
3 + 2 = 0
Assoziativgesetz
0+(1+2)=(0+1)+2
3 = 3
2+(3+4)=(2+3)+4
9 = 9
das müsste reichen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Do 01.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> also da steht doch eindeutig bei division durch 3 und
> nirgendwo steht ein beispielsweise bei division durch 3
Da steht für mich:
" Finden Sie mit Hilfe dieser Überlegungen eine Abelsche Gruppe mit genau 5 Elementen, geben Sie eine Gruppentabelle an!"
das heisst mit Hilfe DIESER ÜBERLEGUNGEN und nichts von wieder mit Division durch 3!
>
> aber ich habs mal mit mod 5 gemacht
>
>
> [mm]\oplus[/mm] 0 1 2 3 4
> 0 0 1 2 3 4
> 1 1 2 3 4 0
> 2 2 3 4 0 1
> 3 3 4 0 1 2
> 4 4 0 1 2 3
>
> neutrales Element ist 0
>
> 0+1=1
> 0+2=2
> etc.
>
> Kommutativgesetzt stimmt auch
> 2+3=3+2 (ich spare mir jetzt mal die schreibarbeit)
>
> inverse Elemente
> 0 selbst invers
> 1 + 4 = 0
> 2 + 3 = 0
> 2 + 4 = 0
> 4 + 1 = 0
> 3 + 2 = 0
>
> Assoziativgesetz
>
> 0+(1+2)=(0+1)+2
> 3 = 3
>
> 2+(3+4)=(2+3)+4
> 9 = 9
>
> das müsste reichen!
Da du jetzt ja (fast) die Addition in [mm] \IZ [/mm] verwendest, kannst du bei Ass. gesetz einfach darauf verweisen, genau wie bei Kommutativges. Nur die Inversen muss man angeben (da auch nur die ersten 3)
Gruss leduart
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