Abelsche Gruppe - a²=e < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Sa 10.11.2012 | | Autor: | AntonK |
Hallo Leute,
und zwar steht bei uns im Skript, dass eine Gruppe abelsch ist, wenn [mm] a^2=e [/mm] ist für alle a [mm] \in [/mm] G.
1. Das heißt doch, dass dies für alle Element gelten muss, damit G abelsch ist oder?
2. Kann ich das so beweisen?
a,b [mm] \in [/mm] G
[mm] (ab)^2=e [/mm] <=> (ab)(ab)=e <=> [mm] ab=(ab)^{-1} [/mm] <=> [mm] ab=b^{-1}a^{-1}
[/mm]
Da aber a und b selbstinvers sind gilt: [mm] a^{-1}=a [/mm] und [mm] b^{-1}=b
[/mm]
=> ab=ba => Abelsch
Kann ich das so machen?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Sa 10.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo AntonK,
> und zwar steht bei uns im Skript, dass eine Gruppe abelsch
> ist, wenn [mm]a^2=e[/mm] ist für alle a [mm]\in[/mm] G.
>
> 1. Das heißt doch, dass dies für alle Element gelten
> muss, damit G abelsch ist oder?
Umgekehrt: Damit dies für alle Elemente [mm] $a\in [/mm] G$ gilt, muss G abelsch sein.
> 2. Kann ich das so beweisen?
>
> a,b [mm]\in[/mm] G
>
> [mm](ab)^2=e[/mm] <=> (ab)(ab)=e <=> [mm]ab=(ab)^{-1}[/mm] <=>
> [mm]ab=b^{-1}a^{-1}[/mm]
>
> Da aber a und b selbstinvers sind gilt: [mm]a^{-1}=a[/mm] und
> [mm]b^{-1}=b[/mm]
>
> => ab=ba => Abelsch
>
> Kann ich das so machen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja!
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Sa 10.11.2012 | | Autor: | AntonK |
Danke für die fixe Antwort, das heißt doch aber, wenn ich eine Gruppe bekomme und ich prüfen soll, ob diese abelsch ist, könnte ich theoretisch auch testen, ob für alle Element [mm] a^2=e [/mm] gilt oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Sa 10.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Danke für die fixe Antwort, das heißt doch aber, wenn ich
> eine Gruppe bekomme und ich prüfen soll, ob diese abelsch
> ist, könnte ich theoretisch auch testen, ob für alle
> Element [mm]a^2=e[/mm] gilt oder?
Falls Letzteres gilt, hättest du nachgewiesen, dass die Gruppe abelsch ist. Gilt aber nicht [mm] $a^2=e$ [/mm] für alle $a$ aus der Gruppe, kann die Gruppe trotzdem abelsch sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Sa 10.11.2012 | | Autor: | AntonK |
Ok, danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 So 18.11.2012 | | Autor: | AntonK |
Hätte noch eine Frage dazu und zwar kommutieren Elemente der Ordnung 2 in einer Gruppe? Gehen wir davon aus, dass die Gruppe ingesamt nicht abelsch ist, wir aber zwei Elemente a und b aus Gruppe nehmen, mit der Ordnung 2. Diese beiden Elemente kommutieren doch oder? Der Beweis dazu ist doch analog wie oben, nur gilt er nicht für die gesamte Gruppe, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 So 18.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Hätte noch eine Frage dazu und zwar kommutieren Elemente
> der Ordnung 2 in einer Gruppe? Gehen wir davon aus, dass
> die Gruppe ingesamt nicht abelsch ist, wir aber zwei
> Elemente a und b aus Gruppe nehmen, mit der Ordnung 2.
> Diese beiden Elemente kommutieren doch oder? Der Beweis
> dazu ist doch analog wie oben, nur gilt er nicht für die
> gesamte Gruppe, richtig?
Nein. Betrachte als Gegenbeispiel mal die Gruppe [mm] $S_3$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 So 18.11.2012 | | Autor: | AntonK |
Stimmt, danke!
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