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| Aufgabe | | Man bestimme (bis auf Isomorphie) alle abelschen Gruppen der Ordnung 144. |
Hallo Mathematiker,
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
kann jemand schauen, ob ich die Aufgabe so richtig gelöst habe?
Meine Lösung:
144= [mm] 2^{4}*3^{2} \to [/mm] 4*2=8 [mm] \Rightarrow [/mm] 8 Gruppen
[mm] G_{1}= Z_{2} \times Z_{2} \times Z_{2} \times Z_{2} \times Z_{3} \times Z_{3}
[/mm]
[mm] G_{2}= Z_{2} \times Z_{2} \times Z_{2} \times Z_{2} \times Z_{9} [/mm]
[mm] G_{3}= Z_{2} \times Z_{2} \times Z_{4} \times Z_{3} \times Z_{3}
[/mm]
[mm] G_{4}= Z_{2} \times Z_{2} \times Z_{4} \times Z_{9}
[/mm]
[mm] G_{5}= Z_{2} \times Z_{8} \times Z_{3} \times Z_{3}
[/mm]
[mm] G_{6}= Z_{2} \times Z_{8} \times Z_{9}
[/mm]
[mm] G_{7}= Z_{16} \times Z_{3} \times Z_{3}
[/mm]
[mm] G_{8}= Z_{16} \times Z_{9}
[/mm]
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Hallo Bitter-Schokolade,
Was ist mit der Gruppe [mm] $\mathbb [/mm] { Z } _ [mm] 4\times\mathbb [/mm] { Z } _ 4$ von der Ordnung 16?
Liebe Grüße,
UniverselllesObjekt
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Hallo UniverselllesObjekt ,
danke erst einmal für deine Antwort.
Das heißt also, dass es doch nicht 8 Gruppen sind? Denn ich müsste dann, wie du geschrieben hast noch
[mm] Z_{4} \times Z_{4} \times Z_{9} [/mm] aufstellen, was somit 9 Gruppen ergibt...
und was ist dann mit [mm] Z_{4} \times Z_{4} \times Z_{3}\times Z_{3}
[/mm]
dann hätte man sogar 10!..
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Genau, für jeden Primteiler musst du sehen, auf wie viele Weisen du den Exponenten in Summanden zerlegen kannst, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Beim Exponent 4 sind das 1+1+1+1, 1+1+2, 1+3, 4 und 2+2, also insgesamt 5. Beim Exponent 2 sind das nur 1+1 und 2, darum hast du die Gruppen der Ordnung 9 vollständig gehabt.
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oowwh jaa, vielen Dank! :)
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